Несмотря на обилие публикаций, посвященных проблемам исследования и приближенного решения так называемых «некорректных задач», пока еще не было книги, с помощью которой можно познакомиться со всеми важнейшими результатами, полученными в настоящее время в численных методах их решения и представленными с неких единых позиций Существующие монографии посвящены в основном изложению работ их авторов и поэтому поневоле содержат только фрагменты современной теории. Многие важные результаты вообще не нашли отражение в литературе, доступной широкому кругу читателей.
Предлагаемая книга призвана восполнить этот пробел. Она содержит как материал, уже излагавшийся в монографиях (в частности, классическую вариационную схему Тихонова), так и результаты, известные лишь по журнальным публикациям. В целом она призвана дать с единых позиций достаточно полную картину современного состояния теории численного решения некорректных задач. Эффективность алгоритмов демонстрируется на реальных задачах (или, по крайней мере, на модельных примерах), чтобы дать возможность читателю самому убедиться в работоспособности того или иного метода.
На изложение материала в книге большое влияние оказало многолетнее научное общение с А. Н Тихоновым, а также многочисленные обсуждения затрагиваемых вопросов с коллегами на семинарах физического факультета и факультета ВМК МГУ.
ПРЕДИСЛОВИЕ............... Ь
ВВЕДЕНИЕ ................ 6
Глава I
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ РЕГУЛЯРИЗИРУЕМОСТИ
§ 1 Определение регуляризирующего алгоритма (РА) ... Ю § 2 Общие теоремы о регуляризируемости и принципы конструирования регуляризирующих алгоритмов ... 13 § 3 Оценки погрешности приближения при решении некорректных
задач ._ . . . 20
§ 4 Сравнение РА. Понятие оптимального метода .... 23
Глава II
РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ НА КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ
§ I. Нормальная разрешимость операторных уравнений ... 27 ^ 2 Теоремы об устойчивости обратных отображений . . 28 § 3 Квазирешение некорректной задачи . 31 § 4 Свойства б-квазирсшсний на множествах специальной структуры ........... . . 37
Глава ill
СХЕМА ТИХОНОВА В ЗАДАЧЕ ПОСТРОЕНИЯ РЕГУЛЯРИЗИРУЮ-
ЩИХ АЛГОРИТМОВ
§ 1 РА в схеме Тихонова с априорным выбором параметра регуляризации ... . . .42
<5 2 Выбор параметра регуляризации по обобщенной невязке . 45 §3 Применение схемы Тихонова к интегральным уравнениям
Фредгольма первого рода . ... . 54
§ 4. Схема Тихонова для нелинейных операторных уравнений 58
Глава IV
ОБЩИЕ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РА ДЛЯ ЛИНЕЙ
НЫХ ЗАДАЧ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1 Общая схема построения РА для линейных задач с вполне
непрерывным оператором . . (И
§ 2 Построение аппроксимирующих семейств и РА в общем случае 67 § 3 Оценки погрешности при решении линейных некорректных за
дач. Оптимальные алгоритмы . ... 78
§ 4 Регуляризация при возмущении оператора . . йб
§ 5 Построение линейных аппроксимирующих семейств i' PA в
банаховом пространстве . .... 98
§ 6 Стохастические помехи Аппроксимация и регуляризация решений линейных задач в условиях стохастических помех . 105
Глава V
ИТЕРАТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ. ПРИНЦИП ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
§ 1. Вариационные неравенства как способ формулировки нелинейных задач ... ..... .ill
§ 2 Эквивалентные преобразования вариационных неравенств . 114 § 3. Аппроксимация Браудера—Тихонова решений вариационных
неравенств.......... _ 118
§ 4. Принцип итеративной регуляризации.......122
§ 5. Итеративная регуляризация па основе методов нулевого порядка ....... . .....123
§ 6 Итеративная регуляризация на основе методов первого порядка (регуляризированный метод Ньютона).....130
§ 7. РА для решения вариационных неравенств.....134
§ 8. Оценки скорости сходимости методов итеративной регуляризации ........ ..... .139
Глава VI
ИТЕРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТИПИЧНЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Алгоритмы минимизации выпуклых функционалов Решение
нелинейных уравнений..... . ... 142
§ 2. Алгоритмы минимизации квадратичных функционалов. Нелинейные процессы решения линейных задач.....145
§ 3. Алгоритмы итеративного решения общих задач математического программирования........ . 149
§ 4, Алгоритмы нахождения седловых точек и точек равновесия в
играх................154
Глава VII
ПРИМЕНЕНИЕ РА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
§ 1, Корректность задач реконструктивной обработки фото- и телеизображений ....... .....160
§ 2, Математические проблемы реконструктивной обработки фото-
и телеизображений ... . .....161
§ 3, Псевдоитерационные РА для решения задач реконструктивной
обработки смазанных и дефокусированных изображений . . 170 § 4, Задачи реконструктивной рентгеновской томографии . . . 177 § 5. Рентгеновская томография в случае неполного задания диапазона углов..............179
§ 6. Томографические методы в инженерной сейсмике .... 184
§ 7. Обратные задачи гравиметрии ......... 189
§ 8. Задачи линейного программирования........191
Литература.................194
