'мини редактора перевода...................11
ислопий аптора к первому и второму изданиям........ 13
• и краткий обзор...................... 15
I I I'. Р П Л Я
IMI 1»Ы ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ П ЧНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
и "(Плема устойчивости .................... 18
п.iii.nl изгиб стержня, защемленного на одном конце (18). 1.2. Продольный 1> к ни, пащемленного на одном конце и шарнирно опертого на другом (20). it, имИ изгиб стержня с учетом собственного веса (21). 1.4, Сжатый стержень i\ основании <22). 1.5. Опрокидывание консольной балки при изгибе (23). и if и опрокидывание двутавровой балки (25). 1.7. Сжатие и кручение вала (26). и тише круговой арки (28).
|,ачи о колебаниях...................... 30
'мнит свободно подвешенного каната (30). 2.2. Крутильные колебания стерж-
..'(. Изгибные колебания стержня (34). 2.4. Пример физической задачи с отри-
' nt собственными значениями (36). 2.5. Колебания стержня с учетом влияния
.1 ич> веса (38). 2.6. Критическое число оборотов вала с гироскопическим эффек-
.7. Крутильные колебания диска (41).
| Дополнения . -......................... 43
Мдпчн на собственные значения и проблема ветвления (43). 3.2. Системы диф-НЦИПЛьиых уравнений (44). 3.3. Другие краевые условия, соотношение между значе-и на обоих концах (_43). 3.4. Задачи на собственные значения для уравнений с част-i производными (45). 3.5. Упражнения (47).
!
А 4. Основные сведения о задачах на собственные значения . . , . 54
Уи, I'ttnличине случаи распределения собственных значений (54). 4.2. Обозначения (59). !•• Самосопряженность (61). 4.4. Обобщенная ортогональность (64). 4.5, Вещественность,
собственных значений (66). 4.6. Формула Дирихле (68). 4.7. Одночленный класс (69),
4.8. Пример самосопряженной задачи с невещественными собственными значениями (70).
4.9. Определенность задачи на собственные значения (71).
§ 5. Функция Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений................................ 7
5.1. Определение функции Грина (75). 5.2. Вывод формулы решения для краевой за-дачи (77). 5.3. Построение функции Грина из фундаментальной системы (78). 5.4. Сим-метрия функции Грина О (х, |) = С?(?, х) для самосопряженной краевой задачи (82). 5.5. Простые примеры функции Грина (85). 5.6. Резольвента Грина для несобственных значений (86). 5.7. Условия существования собственных значений (87). 5.8. Поведение резольвенты Грина в точках собственных значений К (90). 5.9. Кратные собственные значения (92). 5.10. Полуопределенные задачи на собственные значения (95).
§ 6. Функция Грина для уравнений с частными производными . . 9'
6.1. Основные понятия (96). 6.2. Частный класс задач (97). 6.3. Функция Грина, предварительные замечания (100). 6.4. Решение краевой задачи при помощи функции Грина (102). 6.5. Другие типы уравнений с частными производными (104).
§ 7. Связь с интегральными уравнениями.............105
7.1. Одночленный класс и интегральные уравнения (105). 7.2. Выводы из теории интегральных уравнений (108). 7.3. Применение к одночленному классу (111). 7.4. Интегральные уравнения и дифференциальные уравнения с частными производными (113). 7.5. Одночленный класс и интегральное уравнение Вольтерра (116). 7.6. Пример (120). 7.7. Асимптотическое распределение собственных значений (121). 7,8. Упражнения (125).
§ 8. Минимальные свойства собственных значений......... 131
8.1. Минимальное свойство наименьшего собственного значения (131). 8.2. Проведение доказательства (132). 8.§. Минимальные свойства, высших собственных значений (135). 8.4. Минимаксимальный принцип Куранта (138). 8.5. Теорема сравнения (140).
§ 9. Теорема включения.......................142
9.1. Формулировка теоремы (142). 9.2. Пример к теореме включения (143). 9.3. Доказательство теоремы включения (145). 9.4. Сравнение с задачами, разрешимыми в замкну-том виде (146).
§ 10 Теорема о разложении................... . . 147
10.1. Предварительные замечания (147). 10.2. Коэффициенты Фурье (148). 10.3. Формула Парсеваля (149). 10.4. Вспомогательная теорема о некоторых рядах по собственным функциям (152). 10.5. Сходимость ряда Фурье (10.5) (155). 10.6. Теорема о разложении. Доказательство в случае л-0 (156). 10.7. Замечание (157). 10.8. Теорема о разложении. Завершение доказательства для л>0 (159).
§ П. Дополнения.......................... 160
Ц.1. Элементарное обоснование минимальных свойств в случае уравнений второго порядка (160). 11.2. Минимальные свойства собственных значений в случае уравнений с частными производными (166). 11.3. Двупараметрические задачи на собственные значения, .кривые собственных значений (170). 11.4. Упражнения (171). ,
[ЕТВЕРТАЯ )СЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
^Топимые Шварца...................... 176
п'донатсльн-ых приближений в общем случае (176). 12.2. Введение по->ца иь и отношений ц^ (177). 12.3. u,t образуют монотонную невозра-!• ^Лательность (180). 12.4. Нижняя граница для первого собственного Г.(.Г>. Практическое проведение метода (185). 12.6. Примеры применения пителыплх приближений (187).
|фическое интегрирование................. 189
Kuo однократное интегрирование (189). 13.2. Переменное полюсное рас-lll.il. Графическое двукратное интегрирование (194). 13.4. Особый случай
(М'о црревочного многоугольника (197). 13.5. Учет краевых условий (197). проведение метода последовательных приближений (199). 13.7. Гра-
Ц)»ЛРЛ1чше Ц, (201).
жеиия......,.................. . 204
)слелшп1тсльны'< приближений для дифференциальных уравнений с част-Киыми (204). 14.2. Теорема включения Крылова —Боголюбова для одно-|| ('„'(Hi). 14.3. Доказательство основной формулы (12.19) при помощи тео-К9НШ1 (209). 14.4. Сходимость итерационного процесса для краевых задач <»д Коха для высших собственных значений (214). 14.6. Упражнения (215).
Т Л VI '
1 РЕАЛИЗАЦИЯ МИНИМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ М метода Ритца..................... 221
• 1 и них принципа (221). 15.2. Общий метод Ритца (224). 15.3. Уравнения
Сведение к вековому уравнению (227). 15.5. Линейное представле-
;|.'11.иого принципа Камке (231). 15.6. Уравнения Граммеля (232). 15.7.
('ЛИ). 15.8. Приближения Ритца для высших собственных значений
те развитие метода Ритца.............. 240
ypiiiniciiiiu Эйлера (240). 16.2. Пример. Задача на собственные зна-|>НТ11ПЯ постановка задачи и метод Ритца (245). 16.4. Энергетический >луошшях (246). 16.5. Изгибные колебания (248). 16.6. Пример. Кру-','!!()). 16.7. Энергетический метод для дифференциальных уравнений шыми (253). 16.8. Проблема потери устойчивости (255). 16.9. Графи-п'тоЛа 'Ритца (255). 16.10. Графическое получение уравнений Грам-
iliDKIU'HIIH (260).
ОВОТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ МАТРИЦ
ч
г снедеиия о задачах на собственные значения для ..............•.............267
ltij)i 17.Й. Матрицы с особыми свойствами (268). 17.3. Квадратичные 1 (МО). 17.4. Вещественность характеристических чисел (275). 17.5. • i i мветь собетпопиых векторов (277). 17.6. Примеры промежуточных
задач на собственные значения из механики (278) 17 7 Ппим™» пК
стенные значения из механики (284) 17 я ч„1 пРимеры общих задач на соб-
тегро-дифференциальных урав^и?^) "-сопряженность в случае ин-
§ 18. Экстремальные свойства характеристических чисел
^
*;. мальный принцип Куранта
;^ некие теоремы включения (313). - "" "....."-«"»«» ^ч>. ю.а. численное приме-
| § 19. Итерационный метод и главные векторы......... 31
« 19.1. Итерационный метод в общем случае (315) 10 ? и
характеристических чисел (321) 193 П™™« '' пижн*я и верхняя границы для
мер (325). 19.5. Введение 'гла^Г ве^ТрТ" 328^96 ^.Г ЧИСЛеННЫЙ ^ о разложении (330) 19.7. Схолимпсть мт= , Доказательство теоремы
ственные значений (332). ^Т^?^]™*™ ГС "* ^
,;.' ..; линейных дифференциальных уравнений (334Г1910 П 6МЫ обык«овенных
f;, ные векторы (337). УР^нении (334). 19.10. Постоянные коэффициенты и глав-
| § 20. Дополнения . .
................33!
139). 20.2. Функции
Оценки характеристических чисел матриц (348). ш.а. исооые методы получения характеристического уравнения (352) 20.6. Упражнения (354).
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
§ 21. Метод конечных разностей первого приближения для обыкновенных дифференциальных уравнений...............
21.1. Описание метода конечных разностей (359). 21.2. Пример для дифференциального уравнения второго порядка (361). 21.3. Пример для дифференциального уравнения четвертого порядка (363). 21.4. Прямые методы для разностных уравнений (365).
21.5. Минимальное свойство наименьшего собственного значения в методе конечных разностей (367).
§ 22. Улучшение метода конечных разностей............
22.1. Конечные выражения (369). 22.2. Метод конечных разностей повышенной точности (371). 22.3. Пример для разностного метода повышенной точности (372).
22.4. Вспомогательные формулы для многоточечного метода (372). 22.5. Пример (375).
22.6. Метод в общем случае (376).
§ 23. Метод конечных разностей для уравнений с частными производными ...............................;
23.1. Обыкновенный метод конечных разностей или метод первого приближения (378).
23.2. II|HiMi'|). Собственные колебания эллиптической мембраны ('380). 23.3. Метод конечных |>и:жостей повышенной точности (381). 23.4. Многоточечны^ метод (383V.
23.5. Примеры. Колебания мембпяны лчя^п оо с ^
НЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ
ОГЛАВЛЕНИЕ
|Тод возмущений ....................... 401
метода (401). 24.2. Кратные собственные значения (405). 24.3. Связь (Мим Рмея (407). 24.4. Пример к методу возмущений. Продольный изгиб |ТУ||-м1с11 (-109).
^угис методы ............... • ......... 411
^улм Данкерлея для сложных систем (411). 25.2. Формула Саусвелла (412).
)НМум среднеквадратичной ошибки (413). 25.4. Метод коллокаций (414).
luwt'imc п непрерывную дробь. Дифференциальное уравнение Матье (417). в виде ряда (420). 25.7. Упражнения (421).
(липни по выбору методов приближенного вычисления собетвен-
и /197
•чемии ............................. 4^'
WHIM. Перечень рассмотренных примеров. Таблицы ...... 429
[тельная литература . ...... ...,...,..,,,., 501
