Как решать задачу(Д.Пойа)
Москва 1959
203стр.
Воспитание творческой активности учащихся в процессе изучения ими математики является одной из актуальных целей нашего школьного преподавания. Правильно поставленное упражнение учащихся в решении задач — основное средство для достижения указанной цели. Вполне оправдано поэтому то повышенное внимание, которое уделяют этому аспекту преподавания математики передовые учителя нашей школы.
Если обратиться, однако, к учебно-метод и ч ее коп литературе по математике, будь то отечественной или иностранной, то приходится констатировать, что при наличии большого количества в своем роде весьма ценных работ, посвященных методам решения отдельных типов математических задач (арифметических, конструктивно-геометрических и т. д.), до сего времени фактически отсутствовали труды, в которых серьезно разрабатывалась бы общая методика решения математических задач. Между тем ознакомление лишь со специальными способами решения отдельных типов задач создает реальную опасность того, что учащиеся ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и не приобретут умения самостоятельно справляться с «незнакомыми» задачами 1.
Издаваемая нами в русском переводе книга «Как решать задачу» («How to Solve It») известного американского математика Д. Пойа а имеет в виду заполнить указанны» пробел в методической литературе. В этой книге дается психологическо-педагогнческнй анализ проблемы решения математической задачи н предлагается определенная о б-щ а я методика обучения решению задач.
Лейтмотивом методики Пойа служит мысль о необходимости привития учащимся наряду с навыками логического рассуждения также прочных навыков э в р и.с тического мышления. Свою конкретизацию эта установка получает в тщательно продуманной системе («таблице») стереотипных указаний (выраженных либо в форме советов-рекомендаций, либо в форме наводящих вопросов), посредством ко-
1 «Мы в школе таких задач не решали» — подобное «веское» возражение можно часто услышать на приемных испытаниях в вузах от поступающих, не одолевших предложенных им задач.
5 Широкому математическому читателю Д. Пойа (или Г. Полна, по прежней транскрипции его фамилии в нашей литературе) известен прежде всего как автор книг «.Задачи и теоремы из анализа» и «Математика и правдоподобные рассуждения>, вышедших также в русском переводе.
Все содержание книги представляет собой по существу развернутый комментарий к таблице. Примеры, на которых автор иллюстрирует свой метод, почерпнуты главным образом из области элементарной математики (лишь немногие из них относятся к начальным элементам аналитической геометрии или дифференциального исчисления). Подчеркивая элементарный характер книги, автор сознательно не затрагивает в ней «более тонких или полемических» вопросов методологического порядка1.
Книга «Как решать задачу» — отрадное и яркое явление в современной зарубежной метод и ко-математической литературе. Справедливо выдвигая на передний план роль математической задачи в школьном преподавании и предлагая заслуживающую серьезного внимания и опытной проверки методику обучения решению задач (над которой ее автор основательно поработал в течение более двух десятилетий), книга эта ценна и тем, что в ней попутно защищается и ряд других здоровых, но нередко (особенно в практике американской средней школы) игнорируемых принципов педагогики математики. (Отметим в этой связи, в частности, убедительную защиту дедуктивного элемента в основном курсе геометрии в средней школе.) '.
В США и в Западной Европе книга Пойа выдержала уже целый ряд изданий — на языке оригинала и в переводе на другие языки—и приобрела себе многочисленных друзей. Один из них, видный современный алгебраист Б. Л. Ван-дер-Варден в своей вступительной лекции в Цюрихском университете (2 февраля 1952 г.) сказал, что «эту увлекательную книгу должен прочитать каждый студент, каждый ученый, а особенно каждый учитель». Присоединяясь к этой оценке, добавим все же, что подлинную пользу извлечет из книги тот читатель, который сумеет проштудировать ее активно, фактически поупражнявшись в применении метода Пойа на подходящем материале. Такое активное общение с данной книгой позволит, кстати, ее читателю увидеть, насколько неправ был Даламбер — большой ученый, но плохой педагог!— полагавший, что книги, трактующие об искусстве рассуждать, «полезны только для тех, кто может без них обойтись». fo. M. Гайдук
1 По этого рода вопросам см. книгу Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения (перевод И. А. Ваймштейна, под редакцией С. А. Яновской), ИИЛ, М., 1957.
2 Менее благоприятно будет расценено советским читателем то место в книге (стр. 185 настоящего издания), где ее автор «раскланивается» перед некоторыми модными на Западе представителями реакционной философии и психологии. Впрочем, этот реверанс носит у Попа скорее платонический характер и в сущности плохо согласуется с его прогрессивными в своей основе педагогическими взглядами.
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора русского перевода .... ............ 3
Предисловие......................... 5
Введение........................ 9
Часть I. в КЛАССЕ Назначение таблицы
1. Помощь ученику.................... 12
2. Вопросы .советы, мыслительные процессы........ —
3. Общность . . •..................... 13
4. Здравый смысл..................... —
5. Учитель и ученик. Подражание и опыт........ 14
Главные части таблицы, главные вопросы
6. Четыре ступени.................... 16
7. Понимание постановки задачи.............. —
8. Пример........................ 17
9. Составление плана................... 18
10. Пример........................ 20
11. Осуществление плана.................. 22
12. Пример ........................ 23
13. Анализ решения.................... 24
14. Пример......................... 25
15. Различные способы................... 28
16. Методика задавания вопросов............. 29
17. Хорошие вопросы и плохие вопросы.......... 30
Дальнейшие примеры
18. Задача на построение.................. 31
19. Задача на доказательство ....''............ 33
20. Задача на определение скорости процесса....... 36
Часть II. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ
Ц налог ........................... 40
Часть III. КРАТКИЙ ЭВРИСТИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ
Аналогия......................... 44
Блестящая идея..............•........ 51
Больцано......................... 53
Будущий математик.......,'..............53
Видоизменение задачи.....................54
Вдумчивый решающий задачу человек..............59
Вдумчивый читатель......................60
Возможно ли удовлетворить условию?.............—
Вот задача, родственная с данной и уже решенная.......61
Все ли данные вами использованы?.............63
Вспомогательная задача .................... 65
Вспомогательные элементы ..................71
Геометрические фигуры....................75
Головоломки ........................79
Декарт............................81
Диагноз............................ —
Если данную задачу решить не удается............82
Задачи на нахождение, задачи на доказательство......... 83
Зачем нужны доказательства?................85
Известна лл вам какая-нибудь родственная задача?......91
Индукция и математическая индукция............92
Лейбниц............................98
Лемма............................99
Лишние дгньые1 ......................—
Мудрость пословиц......................—
Настойчивость, надежда, успех................103
Не встречалась ли вам раньше эта задача?...........105
Нельзя ли использовать полученный результат?.........106
Нельзя ли получить тот же результат иначе?..........109
Нельзя ли проверить результат?...............111
Нельзя ли сформулировать задачу иначе? *..........114
Обобщение..........................—
Обозначения...........................115
Определение термина.....................122
Осуществление плана......................128
Папп..............................132
Парадокс изобретателя.....................138
Педантизм и мастерство................. . . . —
Подсознательная работа............"........ 139
Правила, как делать открытия..................141
Правила преподавания ..................... —
Правила стиля.........................—
Практические задачи..........ч............142
Проверка по размерностям...................146
Продвижение и достижение....................148
Противоречивость *......................151
Работать от конца к началу...................152
Разделите условие на части ............. ...... 157
Разложение и составление новых комбинаций..........—
Рассмотрите неизвестное.....................166
Reductio ad absurdum и косвенное доказательство.......171
Сделайте чертеж1 ........................180
Симметрия..........................—
Следствие...........................jgj
Современная эвристика................'.*.'.'.' __
Составление уравнений................'.'..'. 185
Специализация.................'.'.'..'.'.. 189
Термины старые и новые..............'.'..'.'.. 195
Типовая задача................... • • • ^^
Традиционный тип профессора математики...... . . 198
Условие....................... ' __
Что неизвестно? ........... .......... 199
Эвристика.................'..'.'.'.'.'..'. 200
Эвристическое рассуждение...............'. '. ' __
Таблица *Как решать задачу» ........'..''' 202
Приложение...................'...'.'.'. 204
