Основные дифференциальные уравнения Н.С.Кошляков Ленинград 1933 500стр ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ И ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящая книга представляет собою извлечения из лекций, читаемых мною в Ленинградском государственном университете и в Ленинградском электротехническом институте им. В. И. Ульянова (Ленина).
В виду невозможности издать свои лекции полностью, я был принужден опустить целый ряд отделов: так, например, решение задачи Dirichlet по способу арифметических средних, основы вариационного метода, интегральные уравнения и др. По той же причине мне пришлось отказаться от приведения доказательств ряда теорем, касающихся главным образом строгих обоснований излагаемых методов и ограничиться лишь указанием на то, что такие теоремы существуют.
//. Кошляков. Ленинград. 11 февраля 1931 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящее издание курса „Основные дифференциальные уравнения математической физики" значительно переработано по сравнению с двумя первыми изданиями, вышедшими в 1931 г. Прежде всего мною добавлен ряд новых отделов: продольные колеба ния стержня, малые колебания подвешенной и вращающейся нитей электрические колебания в линии при включении омического сопротивления и др„ Затем некоторые главы, написанные ранее слишком сжато, разработаны в настоящем издании более подробно. Кроме того, в конце каждой главы мною приведены задачи, снабженные в наиболее трудных случаях указаниями на способ их решения. На эти задачи следует обратить особое внимание при проработке материала.
Н. Кошляков.
28 ноября 1832 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
|В ведение
Глава I. Основные задачи математической физики. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными 2-го порядка........................ 5
§ 1, Предмет математической физики (5). § 2. Задача о поперечных колебаниях натянутой струны (5). § 3. Задача о распределении температуры в однородном изолированном стержне (7). § 4. Задача о стационарном тепловом состоянии изотропной пластинки. (8). § 5. Задачи Коши и Дирихле (8). § 6. Основные типы уравнений математической физики (9). § 7. Приведение линейного уравнения 2-го порядка к канонической форме (10).
'лава П. Интегральные формулы, применяемые в математической
физике.......................... 17
§ 1. Формула Грина-Адемара (17). § 2. Обобщение формулы Грина-Адемара для трехмерного пространства (21). § 3. Выражение оператора Лапласа в любой ортогональной системе координат (23). Литература (27). Задачи (27)
I. Дифференциальные уравнения гиперболического типа
А. Метод характеристик.
лава I. Каскадный метод Лапласа и некоторые другие способы решения линейных дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка............ 29
§ 1. Инварианты линейного уравнения гиперболического типа (29). § 1. Каскадный метод Лапласа (31). § 3. Интегрирование волнового уравнения по способу Даламбера (34). Литература (38). Задачи (39).
лава II. Задача Коши на плоскости................ 39
§ 1. Задача Коши на плоскости и ее решение по методу Римана (39). § 2. Примеры на приложение метода Римана (45). Литература (54). Задачи (55).
лава III, Применение метода характеристик к изучению малых
колебаний натянутой струны.............. 56
§ 1. Дифференциальные уравнения свободных колебаний струны (56). § 2. Явление распространения волн (60). § 3. Колебание бесконечной струны (61). § 4. Колебание струны, закрепленной на концах (65). .§ '5. Колебание защепленной струны (69). § б. Свойство пхарактеристик (71). § 7, Явление отражения волн в закре ленной струне (71).
§8. Отражение и поглощение волн в двух соединенных струнах (73). Литература (7б).53адачн (77).
Глава IV. Продольные колебания стержня.............
§ 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний цилиндрического стержня (78). §2. Колебания стержня с одним закрепленным концом (80). § 3. Дифференциальное уравнение продольных колебаний конического стержня (84). § 4. Продольный удар конического стержня (85). Литература (88). Задачи (89).
Глава V. Малые колебания газа в неограниченной цилиндрической трубке ..........................
§ 1. Дифференциальное уравнение продольных колебаний идеального газа (90). § 2. Распространение плоских волн при движущемся источнике звука (93). Литература (95). Задачи (95).
Глава VI. Применение метода характеристик к изучению электрических колебаний в проводах- .......... ...
§ 1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний (97), § 2. Телеграфное уравнение (99). § 3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Ри-мана (99). § 4. Электрические колебания в бесконечном проводи (102). § 5. Колебания в линии свободной от искажения (105). § б. Предельные условия в проводе конечной длины (105). § 7. Переходные явления в электрических iie-пях (106). § 8. Свободные колебания при включении разомкнутой линии на постоянное напряжение (109). § 9. Устанавливающиеся колебания в линии при включении 'омического сопротивления (115). Литература (118). Задачи (118).
Глава VII. Задача Коши в пространстве и ее решение по методу Ёольтерра............•...........
§ 1. Волновое уравнение с тремя независимыми переменными (120). § 2. Дифференциальное урявнение поперечных колебаний мембраны (120). § 3. Характеристический конус (122). § 4. Задача Коши для линейного уравнения с тремя независимыми переменными и ее решение по способу Воль-терра (123). § 5. Применение метода Вольтерра к интегрированию волнового уравнения (127). Литература (129). Задачи (129).
Глава VIII. Распространение звуковых волн в неограниченном среде. § 1. Волновое уравнение с четырьмя независимыми переменными (130). §2. Дифференциальные уравнения свободных колебаний газа (130). § 3. Интеграл Пуассона волнового уравнения счетырьмя независимыми переменными (135). §4. Распространение звуковых волн в неограниченной среде (138). § 5. Сферические волны (140). § 6. Цилиндрические волны-(146). § 7. Плоские волны (148). Литература (150). Задачи (150).
В. Метод Фурье.
Глава IX. Основные положения теории фундаментальных функций.
§ 1, Интеграл Бернулли (151). § 2. Основная идея метода
Фурье (152). § 3. Ряд Фурье (153). § 4- Интеграл Фурье (156).
§ 5. Интегрирование волнового уравнения но способу
Фурье (157). § 6. Общая схема решения задач
Стр
скоЙ физики по методу Фурье (162). § 7. Пример на применение общей схемы метода Фурье (170). Литература (172). Задачи (174).
Глава X. Фундаментальные функции тригонометрического класса . 176
§ 1. Уравнение Штурма-Лиувилля и фундаментальные функции тригонометрического класса (176). § 2. Об одном классе трансцендентных уравнений, определяющих уарактери-стические числа (177). § 3. Исследование положительных корней характеристического уравнения прир>0 (178). §4. Исследование положительных корней характеристического уравнения при — 1^р<0(180).§5. Определение фундаментальных функций (184). § 6. Разложение произвольной Функции в ряд, расположенный по фундаментальным функциям рассматриваемого класса (185). Литература (187). Задачи (187).
Глава XI. Применение метода Фурье к изучению малых колебаний
струн и стержней................... 188
§ 1. Приложение метода Фурье к решению некоторых задач теории малых колебаний (188). § 2. Колебания струны, . закрепленной на концчх (188). § 3. Колебание защепленной струны (190). § 4. Колебания струн пианино. (191) § 5. Продольные колебания стержня (192). § 6. Вынужденные колебания струн и стержней (195). § 7. Вынужденные колебания тяжелого стержня (195). § 8. Вынужденные колебания струны закрепленной на одном конце (19 ). § 9. Вынужденные колебания струны, закрепленной на обоих концах (202). § 10. Вынужденные колебания струны под действием сосредоточенной сллы (207). § 11. Колебания связанных струн (2^9), Литература (210). Задачи (211).
Глава XII. Малые колебания нити, подвешенной за оба конца . . . 213
§ 1. Дифференциальные уравнения малых колебаний подвешенной нити (213). §2. Приведение системы уравнений малых колебаний нити к линейному уравнению 2-го порядка (215). § 3. Колебания циклоидальной нити (217). § 4. Исследование частногослучая. когда угол а невелик (221). Литература (225).
Задачи (225).
*
Глава XIII. Малые колебания однородного газа в сосуде сферической формы....................... 226
§1. Радиальные колебания газа в сферическом сосуде (226). § 2. Интегрирование уравнения радиальных колебаний (227). Литература (231). Задачи (231).
Глава XIV. Крутильные колебания однородного стержня...... 232
§ 1. Распространение метода Фурье на случай неортогональных функций (232). §2. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний однородного стержня (232). § 3. Колебания стержня с одним прикрепленным шкивом (234). 4. Колебания стержня с двумя прикрепленными шкивами (241). Литература (245). Задачи (245).
Глава XV. Электрические колебания в линиях........... 247
§ 1. Устанавливающийся процесс при включении разомкнутой линии на постоянное напряжение (247). § 2. Свободные колебания в проводе при его разряде через дроссельную катушку (251). Литература (258). Задачи (258).*
Стр. Глава XVI. Функции Бесселя..................... 260
§ 1. Уравнение Бесселя (260). § 2. Функции Бесселя и их основные свойства (261). § 3. Некоторые частные случаи Бесселевых функций (266). §4. Корни функций Бесселя (26й). § 5. Разложение произвольной функции в ряды, расположенные по функциям Бесселя (273). Литература (275). Задачи (276).
Глава XVII. Малые колебания нити, подвешенной за один конец . . 277
§ I. Дифферендиальное уравнение малых колебаний подвешенной нити (277). § 2. Интегрирование уравнения малых колебаний ннти по способу Фурье (Ti 8). § 3. Вынужденные колебания подвешенной нити (281). § 4. Вынужденные колебания нити под действием сосредоточенной силы (286). Литература (289). Задачи (289).
Глава XVIII. Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндрической трубке...................... 291
§ 1. Дифференциальное уравнение свободных колебаний газа (291). § 2. Интегрирование уравнения свободных колебаний газа (292). Литература (295). Задачи (295).
Глава XIX. Радиальные колебания круглой мембраны....... 299
§ 1. Интегрирование уравнения свободных колебаний мембраны (296). § 2. Вынужденные колебания круглой мембраны (299). § 3. Вынужденные колебания мембраны под действием силы, сосредоточенной в ее центре (300). Литература (302). Задачи (303).
Глава XX. Применение метода Фурье к исследованию малых колебаний прямоугольной и круглой мембраны....... 304
§ 1. Интегрирование уравнения малых колебаний прямоугольной мембраны (304). §2. Вынужденные колебания прямоугольной мембраны (309). § 3. Интегрирование уравнения свободных колебаний круглой мембраны (311). Литература (317). Задачи (317).
Глава XXI. Полиномы Лежандра................... 318
§1. Дифференциальное уравнение полиномов Лежандра(318). § 2. Основные свойства полиномов Лежандра (320). §3. Функции Qn(x) (325). Литература (32о). Задачи (326).
Глава XXII. Приложение полиномов Лежандра к изучению малых колебаний вращающейся нити............... 327
§ 1. Дифференциальное уравнение свободных колебаний вращающейся нити (327). § 2. Интегрирование уравнен я свободных колебаний нити по способу Фурье (328). § 3. Вынужденные колебания вращающейся нити (331). § 4. Вынужденные колебания нити под действием сосредоточенной силы (332). Литература (336). Задачи (336).
II. Дифференциальные уравнения эллиптического типа
Глава I. Теория гармонических функций............ 338
§ 1. Уравнение Лапласа (338). §2. Основные свойства гармонических функций внутри области (339). § 3. Теория функ-
ций гармонических в области, лежащей вне замкнута и поверхности (344). Литература (347). Задачи (347).
Глава II. Основные предельные задачи математической физики, приводящиеся к уравнению Лапласа..........
§ 1. Задача о ^стационарном тепловом состоянии изотропного тела (349). § 2. Задача о равновесии электрических масс на поверхности проводника (351). § 3. Задача об установившемся движении несжимаемой жидкости внутри замкнутого сосуда (355). § 4. Задача о движении тела в неограниченном потоке несжимаемой жидкости (35У). § 5. Смешанная предельная задача эллиптического типа (360). Литература (361). Задачи (361).
Стр.
349
361
Глава II). Теория Ньютона потенциалов.............
§ 1. Различные формы Ньютонова потенциала простого слоя (361). § 2. Непрерывность Ньютонова потенциала простого слоя на поверхности (364). § 3. Ньютонов потенциал двойного слоя (367). § 4. Разрыв непрерывности потенциала двойного слоя на поверхности (370). § 5. Разрыв непрерывности нормальной производной потенциала простого слоя на поверхности (373). § 6 Ньютонов потенциал масс, распространенных по объему. (475J § 7. Формула Гаусса (380). Литература (382). Задачи (382).
Глава IV. Основы теории сферических функций.......... 383
§ I. Электростатический потенциал шара (383). §2. Шаровые функции Лшласа (385). § 3. Функции Лежандра высшего порядка (388). § 4. Выражение Лапласовской функции через фундаментальные шаровые функции (392). § 5. Интегральные теоремы для функций Лапласа (393). § 6. Разложение произвольной функции в ряд, расположенный по функциям Лапласа (394). § 7. Интегрирование уравнения Лапласа с помощью разложений по шаровым функциям (396). Литература (397). Задачи (397).
Глава V. Приложение теории сферических функций к решению
некоторых задач математической физики........ 399
§ 1. Ньютонов потенциал однородной окружности (399). § 2. Электростатический потенциал сферического кондуктора (401). § 3. Задача о стационарном распределении температуры в шаре (404). § 4. Задача о распределении электричества на индуктивно заряженной сфере (406). § 5. Обтекание шара незавихренным потоком несжимаемой жидкости (410). § 6. Колебание однородного газа в сферическом сосуде (411). Литература (419). Задачи (419).
Глава VI. Решение задач Дирихле и Неймана по методу Грина . . 422
§ 1. Решение внутренней задачи Дирихле по методу Грина (422). §2. Функция Грина для шара (423). §3. Интеграл Пуассона-Шварца (424). § 4. Решение внешней задачи Дирихле по методу Грина (426). § 5. Решение внешней задачи Дирихле для шара (427). § 6. Решение внутренней задачи Неймана по способу Грина (429). § 7. Функция Неймана для шара (430). § 8. Решение внешней задачи Неймана по способу Грина (4^2). § 9. Решение внешней задачи Неймана для шара (433). Литература (435). Задачи (435).
Глава VII. Гармонические функции с двумя независимыми переменными ........................... 438
§ 1. Уравнение Лапласа (438). § 2. Притяжение точки неограниченн и прямой (441). § 3. Логарифмический потенциал простого слоя (442). § 4. Логарифмический потенциал двойного слоя (443). § 5. Разрыв нормальных производных логарифмического потенциала на контуре (445). § 6. Логарифмический потенциал масс, распространенных по площади (447). Литература (447). Задачи (448).
Глава VIII. Решение задач. Дирихле и Неймана по методу Грина . . 449
§ 1. Задача Дирихле для общего интеграла эллиптического типа (449). § 2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа с двумя независимыми переменными (452). § 3. Задача Неймана для уравнения Лапласа (455). Литература (456). Задачи (456).
Часть III. Дифференциальные уравнения параболического типа. .
Глава I. Интегрирование уравнений Фурье по методу Грина . . . 458
§ 1. Уравнение Фурье двумя независимыми переменными (458) § 2. Основное решение уравнении Фурье (458). § 3. Формула Пауссона (459). § 4. Решение основной задачи (462). §5.Урав-внение Фурье с тремя независимыми переменными (464). Литература (466).
Глава II. Дифференциальные уравнения теплопроводности, диффузии и электрических колебаний............ 466
§ 1. Уравнение распространения тепла в неограниченной среде (466). § 2. Уравнение распространения тепла в охлаждающемся кольце (46S). § 3. Дифференциальные уравнения диффузии (469). § 4. Уравнения распространения электрических колебаний (470). Литература (471). Задачи (471).
Глава III. Применение метода Грина к изучению распространения
тепла в стержнях и пластинках.....•....... 472
§1. Распространение тепла в неограниченном стержне (472). § 2. Распространение тепла в стержне, ограниченном с одного конца (474). § 3. Распространение тепла в неограниченной пластинке (4Т6). § 4. Распространение тепла в пластинке, ограниченной с одного края (477). Литература (479). Задачи (479).
Глава IV. Интегрирование уравнений теплопроводности по способу
Фурье......................., . . . 480
§ 1. Распространение тепла в неограниченной среде (480). § 2, Распространение тепла в бесконечном стержне (483). § 3. Распространение тепла в кольце Фурье (485). § 4. Распространение тепла в стержне, ограниченном с обоих концов (487). § 5. Распространение тепла в бесконечном цилиндре (492). § 6. Распространение тепла в однородной сфере (494). § 7. Распространение тепла в прямоугольной пластинке (497). § 8. Распространение тепла в прямоугольном параллелепипеде (499). Литература (501). Задачи (501).