Элементы вычислительной математики
Москва 1966
205стр
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Новая программа по основному курсу высшей математики для высших технических учебных заведений предусматривает обязательное выполнение студентами ряда работ по вычислительному практикуму. Кроме того, ощущается острая необходимость в постановке дополнительных специальных курсов, дающих возможность будущим инженерам овладеть более широким кругом вычислительных методов и средств, столь необходимых в инженерной практике.
Предлагаемое пособие рассчитано на студентов заочных втузов и включает материал как для математического практикума, входящего в основной курс высшей математики, так и для небольшого специального курса по приближенным методам. Перечень глав представляет собой предлагаемую программу такого курса.
Первая глава написана И. А. Жабиным, вторая — М. И. Розенталь, третья — Д. П. Полозковым, четвертая-— X. Р. Сулеймановой, пятая и седьмая — С. Б. Нор-киным и шестая — Р. Я. Берри. Содержание глав подробно обсуждалось всем авторским коллективом.
Пособие рецензировалось на кафедрах высшей математики Московского энергетического института, вычислительной математики Московского университета, высшей математики Всесоюзных заочных энергетического и инженерно-строительного институтов. Авторы пользуются возможностью выразить искреннюю признательность сотрудникам указанных кафедр и в первую очередь Ю. И. Гросбергу, Л. 3. Румшискому, Ю. А. Шрейдфу, Л. В. Ершову и Я. А. Мачерету за ценные замечания, которые были учтены при подготовке рукописи к печати
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании добавлены главы восьмая и девятая, § 5 главы пятой, § 7 главы седьмой и расширен § 2 главы четвертой. Все добавления сделаны С. Б. Нор-киным. Ряд улучшений сделан в главе третьей. В остальном исправлены мелкие недочеты, частично обновлены задания.
Авторы пользуются возможностью выразить глубокую благодарность И. С. Березину и Ю. И. Гросбергу, прочитавшим рукопись, подготовленную для второго издания, и сделавшим ряд ценных замечаний.
г Авторы
Третье издание не отличается от второго. Исправлены только замеченные опечатки.
ВВЕДЕНИЕ
Применяя математические методы к решению тех-, нических задач, инженер чаще всего интересуется получающимся при этом конечным численным результатом. Вот почему в математическом образовании будущего инженера методы вычислительной математики должны "занять место, соответствующее их значению.
Методы вычислительной математики — приближенные методы, так как всякую величину мы можем при помощи вычислений найти лишь с некоторой определенной точностью. Для приложений, однако, этого вполне ..*• достаточно. В технических задачах и исходные данные и искомые величины обычно служат для определения размеров или других параметров изготавливаемых изделий. Поэтому в инженерных расчетах точность, превосходящая принятые «допуски», очевидно, является излишней.
Назначение предлагаемого пособия — ознакомить читателя, студента заочного высшего технического учебного заведения, с некоторыми простейшими методами вычислительной математики.
Две первые главы носят вводный характер. Первая' X из них посвящена общим" правилам действий над при-w ближенными числами и правилам учета возникающих й,-4. при этом погрешностей, вторая — работе с математиче-<'?, скими таблицами. Математические таблицы являются ^Необходимым пособием при выполнении вычислительных работ. С другой стороны, как промежуточные данные, так и окончательный результат вычислительной задачи часто располагают в виде таблицы. В соответствии с этим во второй главе рассматриваются правила работы с готовыми таблицами и правила составления таблиц по заданной формуле. • -
В гл. III-—IX рассматриваются вычислительные задачи, наиболее часто встречающиеся при решении конкретных технических задач: решение алгебраических и трансцендентных уравнений, систем линейных уравнений, построение интерполяционных полиномов, приближенное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных, уравнений, приближение функций по способу наименьших квадратов, практический гармонический анализ.
Список рекомендуемой литературы в конце книги предназначен для лиц, желающих расширить и углубить свои знания в области вычислительной математики.
В конце каждой главы, а в некоторых случаях в конце отдельных параграфов приводятся вопросы и задачи для самопроверки, назначение которых помочь читателю овладеть излагаемым материалом.
Задания, помещенные в конце гл. II—VII и IX, представляют собой материал для математического практикума, включенного в обязательную программу для высших технических учебных заведений. Указания относительно сроков и порядка выполнения этих заданий даются кафедрами высшей математики исходя из специфики профиля каждого втуза.
Предусматривается, что при выполнении заданий математического практикума студенты будут пользоваться малыми вычислительными средствами, такими, как арифмометры, клавишные вычислительные машины, а в тех случаях, где не требуется высокой точности, и счетными линейками.
Читателю хорошо известны успехи, достигнутые сов-
6
ременной электронной вычислительной техникой. Но десмотря на внедрение быстродействующих вычисли-;1Ч тельных машин и на самые широкие перспективы их дальнейшего развития, значение малых вычислительных средств нисколько не уменьшается. Это связано прежде всего с тем, что быстродействующие электронные машины эффективны лишь при выполнении громоздких и трудоемких вычислений. Использование быстродействующих машин для наиболее часто встречающихся в практике инженера-производственника сравнительно небольших расчетов не целесообразно, а иногда и просто неудобно. Вот почему будущему инженеру следует рекомендовать научиться работать на малых вычислительных машинах и пользоваться ими при выполнении заданий математического практикума, а затем и при выполнении расчетных работ по специальным дисциплинам и в своей будущей производственной деятельности. В качестве руководства для работы на малых машинах можно рекомендовать, например, книгу Л. С. Хренова «Малые вычислительные машины», М., Физматгиз, 1958 г.
Отметим, наконец, что огромный объем вычислений — это главное, что отличает задачи, решаемые на быстродействующих машинах. Что же касается методов решения этих задач, то наряду со специфическими, специально разработанными ' для машинного счета методами, широко применяются и общие* методы. К их числу относятся и многие методы, изложенные в этой книге.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие к первому изданию.............. 3
Предисловие ко второму изданию............., 4
Введение.................,....... 5
Глава I. Вычисления с приближенными числами и учет погрешностей
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности ....... 8
§ 2. Правила округления чисел .............. 11
§ 3. Вычисления с учетом погрешностей.......... 15
1°. Сложение и вычитание............. 15
2°. Умножение и деление............... 19
§ 4. Учет погрешности при вычислении приближенных значений функций .............. ...... 22
Задачи для самопроверки...........,. . . . 25
Глава II. Составление таблиц функций •
§ 1. Таблицы\функций и пользование ими......... 27
1°. Устройство таблиц функций........... 27
2е. Линейная интерполяция.............. 30
3°: Погрешность линейной интерполяции ........ 32
4°. Обратная интерполяция.............. 35
Задачи и вопросы для самопроверки........ 37
§ 2. Табличные разности .................. 37
1*. Разности различных порядков........... 37
2е. Связь между разностями и производными...... 39
3е. Использование разностей для контроля таблиц ... 40 4*. Оценка погрешности линейной интерполяции через
разности ...............>..... 43
204 .
! • - , Стр.
, $ 3. Составление таблицы функции ............. 45
Задачи для самопроверки .............. 47
Задания ..... ...... ........ ... 49
Глава III. Приближенное решение уравнений
§ 1. Постановка задачи ....... . .......... 51
§ 2. Отделение корней уравнения ...... 1 ....... 51
Вопросы и задачи для самопроверки ....... . 58
§ 3. Приближенное значение корня уравнения и его оценка 58
§ 4. Уточнение корня уравнения .............. 61
1е. Метод проб ........ ....... ..... 61
2°. Метод хорд .................... 62
3°. Метод касательных ... ............. 64
4°. Метод хорд и касательных ............ ' 66
§ 5. Решение уравнения с заданной степенью точности. Про-
стейшие итерационные методы ............. 66
1°. Метод проб ................ .... 67
2°. Метод хорд и касательных ........... . . 70
Вопросы и задачи для самопроверки ........... 73
§ 6. Некоторые общие замечания. Еще один итерационный
метод ....................... 74
Вопросы и задачи для самопроверки .... ..... 84
Задания s ......" ................ 84
Глава IV. Системы линейных уравнений
§ 1. Постановка задачи ,.........' ........ 85
§ 2. Решение системы линейных уравнений методом после-
довательного исключения неизвестных (метод Гаусса) . 87
§ 3. Итерационные методы решения системы линейных урав-
нений . . ..... ..'..:...:... ..... 97
1°. Метод простой итерации .... .......... 98
2°. Достаточный признак сходимости итерационного про-
' • цесса ........... .,.......»'... 99
3е Решение системы уравнений методом простой ите- >
' • '
4°. О приведении линейной системы к виду, пригодному.
для метода итерации ........ ........
5е. Метод Зейделя ..................
Вопросы для самопроверки ..... ..... •
, Задания . . .......... ..........
Стр Глава V. Интерполяционные полиномы
§ 1. Постановка задачи.................. НО
§ 2. Интерполяционный полином Лагранжа......... 112
§ 3. Интерполирование с равноотстоящими узлами. Интерполяционный полином Ньютона..........., 116
§ 4. Формула Ньютона для интерполирования назад .... 127
§ 5. Приближенное дифференцирование.......... 129
Вопросы и задачи для самопроверки ........ 133
Задания....................... 134
Глава VI. Приближенное вычисление интегралов
§ 1. Приближенное вычисление интеграла, основанное на его
определении. Метод прямоугольников......... 135
§ 2. Приближенное интегрирование, основанное на интерполяции. Метод трапеций. Метод парабол........ 137
§ 3. Оценка погрешностей и построение вычислительных схем 140
§ 4. Вычисление определенных интегралов с помощью разложения в ряд подынтегральной функции. Оценка погрешности ...................... 148
Вопросы и задачи для самопроверки ..... ... 152
Задания...................... 153
Глава VII. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений
§ 1. Постановка задачи , . .'............... 155
§ 2. Метод Эйлера..................... 156
§ 3. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений, основанное на интерполяции. Формулы Адамса 160
1е. Формула Адамса с первыми разностями...... 161
2°. Формула Адамса со вторыми разностями ,..... 162
§ 4. Методы составления начала таблицы для. применения
формул Адамса.................... 163
1°. Метод разложения в ряд . . . '............ 164
2°. Метод Эйлера с уравниванием........... 165
3°. Метод последовательных приближений А. Н. Крылова 165
§ 5. О точности |1етодов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Контроль........... 169
§ 6. Метод Адамса — Крылова приближенного интегрирования
дифференциальных уравнений............. 171 •
§ 7. Системы дифференциальных уравнений и дифференциальные уравнения высшего порядка............ 174
Вопросы и задачи для самопроверки .......... 176
Задания s..................... 177
Глава VIII. Линейное и параболическое приближение функ-ций по способу наименьших квадратов
; _ . 178
§ 1. Постановка задачи............. ,т
< § 2 Линейное приближение по способу наименьших квадратов
I. § 3. Квадратичное приближение по способу наименьших ^
I квадратов........• • • •.......... ,ос
' § 4. Замечания о выборе эмпирической формулы ....... ^
Вопросы для самопроверки ..............
Г л а в а IX. Практический гармонический анализ
- IR9-
§ 1. Формулы для вычисления коэффициентов Фурье .... i°»
§ 2. Схема Рунге для двенадцати ординат .^........
§ 3. Пример вычислений по схеме Рунге.........
§ 4. Построение гармоник. Графический метод .......
§ 5. Оценка приближения периодической функции тригономет- ;
рическими многочленами.............• :
Вопросы для самопроверки ... ..........
Задания.....................;.;.
Рекомендуемая литература ..............
