Пособие по математике для поступающих в вузы Москва 1982 К.А.Катасов 608стр. ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана для учащихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания, с тем чтобы лучше подготовиться к вступительным экзаменам в вузы. Она может помочь и тем, кто уже окончил школу, но продолжает изучать математику самостоятельно или на подготовительных курсах и отделениях. Авторы надеются, что учителя средних школ, преподаватели профтехучилищ и техникумов, руководители математических кружков и студенты педагогических вузов найдут в книге материал, который смогут использовать в своей работе. Наконец, книга может представлять интерес как сборник, содержащий более 2000 задач, из которых треть задач приведены с решениями. Значительная часть задач предлагалась на вступительных экзаменах в различных вузах.
Книга написана в соответствии с программой по математике для средних школ, и в ней используются терминология и обозначения, принятые сейчас в школе. Пособие не содержит систематического изложения школьного курса математики и не может заменить школьные учебники. Тем не менее все основные и важные, по мнению авторов, вопросы освещены достаточно подробно. В некоторых случаях добавлен материал, несколько выходящий за рамки ныне действующей программы для поступающих в вузы. Авторы считают, что изучение этого материала будет способствовать развитию математической культуры учащихся, а также принесет пользу при дальнейшем обучении в вузах.
Книга состоит из 17 глав. Каждая глава содержит теоретический материал и задачи. Изложение теории сопровождается разбором большого числа примеров различной трудности. Задачи в каждой главе разбиты на два раздела: задачи первого раздела Даны с решениями, задачи второго раздела — только с ответами. Авторы настоятельно советуют учащимся обращаться к приведенным
в книге решениям задач 1-го раздела только писле настойчивых попыток решить задачу самостоятельно. Самостоятельное решение одной задачи часто приносит больше пользы, чем разбор готовых решений нескольких задач. Учащимся, которые желают поступить в вузы с повышенными требованиями по математике, следует изучать материал более глубоко с непременным решением достаточного количества задач.
В конце книги в «Приложении» даны образцы вариантов письменных экзаменационных работ по математике, предлагавшихся в 1977—1979 гг. Они дают представление о степени трудности задач на приемных экзаменах в различных вузах страны.
В заключение отметим, что пособие написано на основе опыта заочного обучения математике школьников 8—10 классов в заочной физико-технической школе при Московском физико-техническом институте. Авторы благодарят директора ЗФТШ, заслуженного учителя РСФСР Т. А. Чугунову за помощь в работе. Авторы гыражают также глубокую благодарность профессору Г. Н. Яковлеву, советами и рекомендациями которого они постоянно пользовались.

Предисловие ....................................... 7
Глава I. Множества. Понятие функции и обратной функции. ...... 9
§ 1. Множество. Подмножество. Объединение и пересечение множеств.
Числовые множества ,.,,,,,,.,,.,..,....,....•>. 9
§ 2. Понятие функции .,..,.,.,,...,,............... 13
§ 3. Координатная плоскость. График функции .,.,.,,.,..... 21
§ 4. Обратная функция ............................. 22
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I ............ . ................ ..... 25
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА U ......................... . ....... "
Глава II. Элементы логики. Взаимно обратные и взаимно противопо-
ложные теоремы. Метод математической индукции, ...,,,,..... 30
§ 1. Высказывания, Операции над высказываниями ........... 30
§ 2. Предложения, зависящие от переменной ,,,..,....,.... 37
§ 3. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы, Необ-
ходимые и достаточные условия, .......... ..... . . . . • 42
§ 4. Метод математической индукции, ..,....,,.. ......... 47
ВАДАЧИ РАЗДЕЛА 1 ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II
Глава III. Уравнения и системы уравнении ,,,.,, ........... 58
§ 1. Уравнения с одним и несколькими переменными .... ...... 58
§ 2. Системы уравнений ..,.........,,,... ..... ...... 63
§ 3. Системы линейных уравнений ...... ......... ....... 67
§ 4. Задачи на составление уравнений, ................... 72
ВАДАЧИ РАЗДЕЛА 1 .................................. 75
ВАДАЧИ РАЗДЕЛА II ................................. 76
Глава IV. Алгебраические неравенства .................... 81
§ 1. Функциональные неравенства. Понятие равносильности нера-
венств ...,,.,,,.,,...,,,,.......,,, ..... ... 81
2. Рациональные неравенства Метод интервалов , , ....... ... 83
' 3. Иррациональные неравенства , , ....... .,.,,.,,..... 87
4. Неравенства с модулем .,,,,,..,,,,.,,.,..,,...., 89
5. Неравенства с параметрами ..... ...... ,.,.,,....,, 90
6. Доказательство неравенств . , ..... . ...... , . ........ 94
§ 7. Приложение неравенств к задачам на наибольшие и наименьшие
значения ...,,.,.«,,,...,,., ..... ,.,.,..,,.. 98
ВАДАЧИ РАЗДЕЛА I . ................. ............... 100
ВАДАЧИ РАЗДЕЛА И ............. ,....., ....... ,.,,.. 101
Глава V. Последовательности. Предел последовательности. Предел функции. Производная............................. 105
§ 1. Бесконечные последовательности. Последовательности ограниченные и неограниченные ...,.,..................... 105
§ 2. Предел последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях , , . . ,...........................it 107
§ 3. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса , , . . • Ш
§ 4. Арифметическая прогрессия , . , .................... ИЗ
§ 5. Геометрическая прогрессия........................ 115
§ 6. Предел функции. Непрерывность функции ............. 117
§ 7. Производная, ее геометрический смысл........'........ 121
§ 8. Предел функции на бесконечности .................. 125
§ 9. Односторонние пределы. Бесконечные пределы........... 126
ЗАДА ЧИ РАЗДЕЛА I................................. 129
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 131
Глава VI. Исследование функции и построение их графиков ...... 136
§ 1. Четные и нечетные функции.....................• 136
§ 2. Периодические функции.......................... 138
§ 3. Асимптоты.................................. 140
§ 4. Преобразования графиков функций.................. 143
§ 5. Элементарные функции и их графики................. 145
§ 6. Построение графиков функций...................... 153
§ 7. Применение производной к исследованию функций и построению
их графиков......................,.......... 155
§ 8. Наибольшее и наименьшее значения функции ........... 158
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 1.................................. 160
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА И................................. 161
Глава VII. Векторы................................ 163
§ 1, Некоторые необходимые определения и обозначения........ 163
§ 2. Векторы, их обозначение и изображение. Коллинеарные и компланарные векторы .........,..,,,............. 165
§ 3. Сумма' векторов. Противоположный вектор, Разность векторов , 167
§ 4. Умножение вектора на число, Признак коллинеарности..... 170
§ 5. Условие компланарности векторов. Разложение вектор? по трем
некомпланарным векторам..........,............. 171
§ 6. Угол между векторами Скалярное произведение векторов .... 173 § 7. Базис. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными
своими координатами.........................., 176
§ 8. Прямоугольная система координат. Уравнение плоскости. .... 178
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА 1................................. 181
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II.......................•......... 183
Глава VIII. Комплексные числа......................... 187
§ 1. Определение комплексных чисел.................... 187
§ 2. Свойства операций сложения и умножения............. 188
§ 3. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Правила действий с комплексными числами, записанными в алгебраической
форме...........,,,,,,,................... 190
§ 4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел Модуль и
аргументы комплексного числа ,.................... 193
§ 5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме..................,............. J98
§ 6. Возведение в степень и извлечение корня............., 200
§ 7. Алгебраические уравнения ,....................... 203
4
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 203
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 203
Глава IX. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства .... 211
§ 1. Тригонометрические уравнения..................... 211
§ 2. Системы тригонометрических уравнений................ 225
§ 3. Тригонометрические неравенства ,................... 234
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I.................................. ^ЗЭ
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 240
Глава X. Показательные и логарифмические уравнения, системы и неравенства.................................. 24 i
§ I. Показательные уравнения......................... 250
§ 2. Логарифмические уравнения....................... 251
§ 3. Разные примеры уравнений....................... 255
§ 4. Система показательных и логарифмических уравнении...... 253
§ 5. Показательные и логарифмические неравенства........... 260
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 265
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 265
Глава XI. Комбинаторика. Формула Ньютона для степени бинома. Случайные события и их вероятности ................ 273
§ 1. Размещения, перестановки, сочетания................. 273
§ 2. Формула Ньютона............................. 281
§ 3. Случайные события и их вероятности................. 28j
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА ', ................................. 283
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 289
Глава XII. Интеграл................................ 292
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл............. 292
§ 2. Интеграл и формула Ньютона —Лейбница.............. 298
§ 3. Площадь криволинейной трапеции................... 303
§ 4. Применение интеграла к вычислению объемов тел......... 308
§ 5. Применение интеграла при решении физических задач...... 312
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 314
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 313
Глава XIII. Решение планиметрических задач ,............... 319
§ 1. Разные задачи................................ 320
§ 2. Подобие треугольников. Теоремы синусов и косинусов...... 328
§ 3. Свойства хорд, секущих и касательных................ 333
§ 4. Алгебраические и тригонометрические методы решения. Применение векторной алгебры......................... 333
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 340
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 342
Глава XIV, Множества точек на плоскости и в пространстве. Задачи
на построение......................,.,,,. 343
§ 1. Множества точек, обладающих заданным свойством........ 343
§ 2. Применение метода координат...................... 354
S3. Задачи на построение........................... 350
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА i ....... 362
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА и .'..'.'.'.'..'......................... 363
Глава XV, Стереометрия (часть I)....................... 366
§ 1. Сечения многогранников.......................... 366
§ 2. Применение критериев коллинеарности и компланарности векторов в решении задач..........,.........,.,,,. 379
§ 3. Угол между прямыми в пространстве................. 385
§ 4. Применение скалярного произведенгтя векторов » решении задач 387
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 390
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 391
Глава XVI. Стереометрия (часть Н) ,...................., 399
§ 1. Перпендикулярные прямые и плоскости......,,..,.,... 399
§ 2. Об изображении на рисунках перпендикулярных прямых и плоскостей. Построение сечений, перпендикулярных прямой или
плоскости................,,.....,.,.. • .»•• i • 403
§ 3. Угол между прямой и плоскостью............,,,,... 407
§ 4, Расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми
и плоскостями................................ 410
§ 5, Двугранный угол. Угол между плоскостями. Биссектор. Трехгранный угол..........................,.,,., 414
§ 6. О вычислении объемов многогранников и их частей . ,...... 420
§ 7. Задачи на комбинации многогранников,,,..,.,,....... 423
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 425
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II................................. 426
Глава XVII. Фигуры вращения , ,....................... 434
§ 1. Цилиндр....,.,,............................ 434
§ 2. Конус..................................... 437
§ 3. Сфера........,............................ 441
§ 4. Комбинации сферы, конуса и цилиндра,.,..,,......... 451
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА I................................. 455
ЗАДАЧИ РАЗДЕЛА II.................................. 456
Приложение. Образцы вариантов, предлагавшихся в 1977 — 1979 гг.
на письменных вступительных экзаменах по математике, ,,,,,,,, 464
Решения задач I раздела,,....,,.,.,,.......,,......... 474
Ответы к задачам II раздела и приложения, , . , ,.............. 574
Список формул ,.,.,..,,,.,.,,,.........,.,,,,,,,,,. 600