Тарасов Л. В. ) Математический анализ: Беседы об основных понятиях. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1979.— 144 с., ил. В предлагаемой книге обстоятельно и достаточно живо, в форме Диалога между автором и читателем, рассматриваются основные понятия и определения математического анализа, изучаемого в средней школе. Книга предназначается учащимся IX и X классов, она может служить им дополнительным пособием к учебнику «Алгебра и начала анализа». ВСТУПЛЕНИЕ
Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но по-
, тому, что сии вещи не входят в круг
наших понятий.
Козьма Прутков
Откровения автора. Мое знакомство с математическим анализом ,,состоялось довольно давно — примерно четверть века назад. Это произошло в МИФИ, на великолепных лекциях Дмитрия Алексее-,аяча Василькова. До сих пор я помню то ощущение радости, почти восторженности, какое я тогда испытал. В беседах со своими свер-1 стайками я, помню, довольно горячо сравнивал высшую математи-•&у с литературой — моим наиболее любимым в то время предметом. .Конечно, сопоставлениям моим не хватало объективности и должной обоснованности. И тем не менее они были в определенной мере справедливы. Внутренняя логика, развитие, динамика, использование наиболее точных слов для выражения мысли — все эти характерные качества выдающихся произведений литературы, безусловно, обнаруживаются (разумеется, в иных формах) ив высшей ма-.тематике. Помню, что у меня было ощущение, будто казавшаяся дотоле скучной, «безжизненной» элементарная математика вдруг ожила, обнаружив внутренние движения, подчиняющиеся некой 'безупречной логике.
Миновали годы. За это время столь эмоциональное восприятие математического анализа, конечно, прошло. Математический анализ давно уже превратился для меня в рабочий аппарат. Однако - неизменно в памяти моей сохраняется то удивительно светлое чувство, какое я испытал в свое время при знакомстве с этим необычайно красивым миром идей, называемым высшей математикой.
Откровения читателя. На одном из прошлых уроков учитель математики сказал, что мы начинаем изучать новый предмет — математический анализ. Он сказал, что этот предмет есть основа высшей математики и что он очень труден. Мы уже рассмотрели дейст-Твительные числа, числовую прямую, бесконечные числовые последовательности, предел последовательности. Учитель был прав, когда говорил нам о трудности предмета. Я внимательно слушаю объяснения в классе и в тот же день разбираю соответствующие страницы учебника. Мне кажется, что я все понимаю, но при этом ^ощущаю какую-то внутреннюю неудовлетворенность. Мне трудно «составить» из частных сведений нечто целое, трудно запоминать! формулировки и определения, например определение предела по-? следовательности. Одним словом, что-то я никак не ухватываю. '
Возможно, что все впереди, но пока математический анализ для меня еще «не раскрылся». Более того, я как-то не чувствую качественного отличия математического анализа от алгебры. Просто все стало немного труднее восприниматься и еще труднее запоминаться. :
От автора. Эти два откровения дают возможность немного познакомиться с двумя действующими в данной книге лицами. Точнее говоря, не действующими, а беседующими, поскольку вся книга — это довольно свободный, непринужденный диалог между Автором и Читателем. От беседы к беседе Автор будет обсуждать вместе с любознательным и восприимчивым Читателем различные понятия, идеи, теоремы математического анализа, подчеркивая особо сложные и тонкие моменты, выделяя внутреннюю логику доказательств, расставляя определенные акценты. Автор надеется, что эти беседы помогут читателю книги в усвоении новых для него понятий (таких, как производная, первообразная, определенный интеграл, дифференциальное уравнение) и заставят более глубоко продумать и осознать такие понятия, как числовая последовательность, предел последовательности, функция. Коротко говоря, данные беседы предназначены для того, чтобы помочь школьнику вступить в новый для него мир математического анализа. И если в итоге читатель книги хотя бы в какой-то мере почувствует внутреннюю красоту, целостность, увлекательность высшей математики, то автор будет считать свою задачу полностью выполненной.
Работая над книгой, автор руководствовался существующими учебными пособиями для IX и X классов средней школы «Алгебра и начала анализа», написанными под редакцией А. Н. Колмогорова, а также специализированным учебным пособием Н. Я- Вилен-кина и С. И. Шварцбурда «Математический анализ». Большую помощь автору в работе над книгой оказали замечания и пожелания Н. ft. Виленкина, Б. М. Ивлева, А. М. Кисина, С. Н. Крачковского, Н. Ч. Крутицкой, которые они сделали при ознакомлении с первоначальным вариантом рукописи. Всем им автор выражает глубокую признательность. Автор особо благодарен А. Н. Тарасовой за помощь в подготовке рукописи.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вступление...............-. . 3
Беседа первая. Бесконечная числовая последовательность. 5
Беседа вторая. Предел последовательности. ..... 15
Беседа третья. Сходящиеся последовательности. . . . 22
Беседа четвертая. Функция............ 32
Беседа пятая. Функция (продолжение). ...... 41
Беседа шестая. Предел функции. ......... 56
Беседа седьмая. Предел функции (продолжение). . . 66
Беседа, восьмая. Скорость............ 75
Беседа девятая. Производная. .......... 82
Беседа десятая. Дифференцирование. . . . . . ... 92
Беседа одиннадцатая. Первообразная. ....... 106
Беседа двенадцатая. Интеграл. .......... 115
Беседа тринадцатая. Дифференциальные уравнения. . . Д23 Беседа четырнадцатая. Дифференциальные уравнения
(продолжение)..................... 131
Упражнения......................139