Методы теории функций комплексного переменного
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Имеющиеся в нашей литературе полные курсы теории функций комплексного переменного рассчитаны на читателей, избравших математику своей специальностью, другие же курсы обычно излагают лишь элементы теории. Между тем за последнее время в физике и технике получают все более широкое распространение методы, требующие обстоятельного применения теории функций. Почерпнуть необходимые для этого сведения из математических курсов нематематику трудно, а сведения, излагаемые в элементарных курсах, недостаточны.
Восполнение указанного пробела и является целью настоящей книги. Мы поставили своей задачей изложить в ней основные методы теории функций комплексного переменного для лиц, интересующихся этой теорией ради ее приложений к физическим и техническим задачам. Книга может быть использована в качестве учебного пособия студентами механических отделений, физических и физико-технических факультетов университетов и аспирантами технических вузов с достаточной математической подготовкой. Предполагается, что читатель знаком с основным курсом математического анализа в объеме двух первых томов книги В. И. Смирнова «Курс высшей математики» (Гостехиздат, 1949). Некоторые ссылки сделаны также на книгу Г. М. Фихтенгольца «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (т. 1—III, Гостехиздат, 1947—1949).
В первой главе излагаются все основные понятия теории функций, так что книгу можно читать независимо от других курсов по этой дисциплине. Однако по характеру изложения первая глава' несколько отличается от остальных — она написана более конспективно и сжато. При этом мы имели в виду, что по материалу первой главы имеется большое количество доступной литературы.
Остальные главы посвящены отдельным методам теории функций комплексного переменного, имеющим наибольшее значение для приложений. Изложение сопровождается большим числом примеров. Если читатель овладел тем или иным методом, разобрав несколько примеров, то дальнейшие примеры на этод метод можно не читать — лучше вернуться к ним по мере ссылок.
В книгу включено также большое число примеров приложения теории функций к различным физическим задачам. Не следует думать,
что, скажем, электротехнические примеры интересны лишь электрикам, а гидромеханические — лишь механикам. На самом деле методы, иллюстрируемые на одной задаче, часто с успехом могут быть применены и к решению аналогичной задачи с другим физическим содержанием. Знакомство с основами приложения теории функций к различным областям физики поможет читателям в дальнейшей работе использовать для своей области методы, излагаемые в литературе по другим областям.
Мы всюду стремились избежать усложняющих доказательства деталей, иногда умышленно допуская нестрогости в угоду наглядности изложения. Для простоты некоторые предложения доказаны в более жестких условиях, чем это необходимо, а некоторые предложения приведены без доказательства.
В заключение мы считаем своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность акад. М. В. Келдышу, который внимательно просмотрел всю рукопись и дал ряд весьма ценных советов и указаний. Мы признательны также А. В. Бицадзе и И. Г, Арамановичу за их замечания по отдельным главам
Москва, 1951 г. М. А. Лаврентьев
Б. В. Шабат
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Наша книга «Методы теории функций комплексного переменного», вышедшая в 1951 г., нашла по-видимому, достаточно широкий круг читателей как среди студентов университетов и втузов, так и среди аспирантов и исследователей в области гидро-аэродинампки, теории упругости, электро- и радиотехники и др.
В предлагаемом новом издании книги мы сохранили ее общее содержание, распределение материала и характер изложения с упором на геометрическую наглядность и связи с проблемами теории уравнений математической физики и с приложениями.
В новое издание мы внесли ряд изменений и дополнений; отметим наиболее существенные из них. В третьей главе добавлены новые технические и теоретические применения, особенно развивавшиеся за последние годы: теория кумулятивных зарядов, некоторые задачи газовой динамики, изучение решений уравнений с частными производными методами теории функций. В четвертой главе по-новому изложены выводы основных формул вариационного метода теории конформных отображений, к которому в последнее время усилился интерес как за рубежом, так и у нас в связи с новыми приложениями этого метода в задачах механики. В пятой главе упрощено и дополнено изложение применений теории функций к проблеме устойчивости и по-новому изложены методы асимптотических оценок. В главе шестой добавлен пункт об интегральных преобразованиях, отличных от преобразования Лапласа.
Кроме того, при подготовке нового издания особое внимание было обращено на ликвидацию многочисленных опечаток, сильно затруднявших пользование книгой.
Авторы выражают благодарность читателям Ким Сен Ену (Корея), Ипатову (Карельская АССР), Таичу (Уфа), Г. Ю. Степанову (Москва) и др., сообщившим в письмах свои замечания по первому изданию, а также А. В. Бицадзе, М. А. Евграфову и Н. Н. Моисееву, которые своими советами помогли внести в изложение существенные улучшения.
Москва, май 1957 г.
Авторы
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию ................... 7
Предисловие ко второму изданию................... 9
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Комплексные числа....................... 12
1. Комплексные числа..................... 12
2. Геометрическая иллюстрация................ 14
§ 2. Функции комплексного переменного.............. 17
3. Геометрические понятия .................. 17
4. Функции комплексного переменного............. 19
5. Дифференцируемость и аналитичность............. 20
§ 3. Элементарные функции .................... 24
6. Функции w = z" и w= у/ z................ 25
7. Функция Жуковского до =—( г -|-----) ............ 28
V ^ /
8. Показательная функция и логарифм............ . 31
9. Тригонометрические и гиперболические функции....... 36
. 10. Общая степенная функция да = 2°.............. 41
§ 4. Интегрирование функций комплексного переменного..... 42
11. Интеграл от функции комплексного переменного ...... 42
12. Теорема Коши....................... 44
13. Распространение на многосвязные области.......... 49
14. Формула Коши и теорема о среднем............ 52
15. Принцип максимума и лемма Шварца............ 54
16. Равномерная сходимость.................. 56
17. Высшие производные.................... 60
§ 5. Представление аналитических функций рядами........ 62
18. Ряды Тейлора....................... 62
19. Степенные ряды...................... 65
20. Теорема единственности................. . 68
21. Ряды Лорана........................ 70
22. Особые точки....................... 73
23. Теорема о вычетах. Принцип аргумента . . '........ 78
24. Бесконечно удаленная точка ................. 84
25. Аналитическое продолжение. Обобщение понятия аналитической функции....................... 87
26. Римановы поверхности...................
Литература к главе I................... . 97
ГЛАВА II
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Общие положения. Примеры.................. 98
27. Понятие конформного отображения............. 99
28. Основная задача...................... 104
29. Соответствие границ.................... 107
30. Примеры ................
§ 2. Простейшие конформные отображения............. 119
31. Дробно-линейные отображения............... 120
32. Частные случаи ...................... 126
33. Примеры ......................... ]
34. Отображения круговых луночек............... 138
§ 3. Принцип симметрии и отображение многоугольников..... 148
35. Принцип симметрии .................... 148
36. Примеры ......................... 153
37. Отображение многоугольников............... 160
38. Дополнительные замечания................. 165
39. Примеры ......................... 172
40. Скругление углов..................... 180
Литература к главе II.................... 185
ГЛАВА III
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Гармонические функции.................... 187
41. Свойства гармонических функций.............. 187
42. Свойства гармонических функций (продолжение)....... 196
43. Задача Дирихле...................... 202
44. Примеры. Дополнения................... 209
45. Метод сеток........................ 217
§ 2. Физические представления. Постановка краевых задач .... 220
46. Плоское поле и комплексный потенциал........... 220
47. Физические представления.....,........... 229
48. Краевые задачи ...................... 238
49. Примеры. Приложения................... 244
50. Плоская задача теории упругости.............. 255
51. Краевые задачи теории упругости ............. 262
§ 3. Интеграл типа Коши и краевые задачи ............ 268
52. Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого.......... 268
53. Краевая задача Гильберта—Привалова............ 277
54. Формула Келдыша—Седова................. 284
55. Другие краевые задачи................... 289
§ 4, Приложения .......................... 294
56. Уравнения с частными производными........' . . . . 294
57. Задачи гидродинамики и газовой динамики.......... 308
58. Теория кумулятивного заряда................ 316
59. Задачи теории упругости .................. 326
Литература к главе III ................... 333
ГЛАВА IV
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§ 1. Основные вариационные принципы............... 334
60. Основной вариационный принцип .............. 334
61. Распространение принципа................. 340
62. Граничные производные.................. 345
§ 2. Отображения близких областей ................ 350
63. Области, близкие к кругу.................. 350
64. Области, близкие к данной................. 357
65. Распространение результатов................ 359
§ 3. Приложения .......................... 367
66. Пересчет подъемной силы................. 367
67. Волны в тяжелой жидкости................. 371
68. Обтекание со срывом струй ................ 377
69. Движение грунтовых вод.................. 379
Литература к главе IV.................... 386
ГЛАВА v ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
§ 1. Разложение в ряды и бесконечные произведения....... 388
70. Ряды Тейлора и Лорана.................. 388
71. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби . . 397
72. Разложение целых функций в бесконечные произведения . . 403
§ 2. Приложения теории вычетов.................. 409
73. Вычисление интегралов................... 409
74. Вычисление интегралов (продолжение) ........... 418
75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчивости......... 425
§ 3. Методы асимптотических оценок................ 440
76. Асимптотические разложения................ 440
77. Метод перевала...................... 446
78. Метод производящих функций ............... 455
Литература к главе V.................... 459
Г Л А В А VI
ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ I. Основные понятия и методы.................. 462
71). Преобразование Лапласа.................. 462
КО. Свойства преобразования Лапласа.............. 469
81. Теоремы умножения.................... 475
82. Теоремы разложения.................... 480
83. Примеры. Дополнения................... 486
§ '2. Приложения .......................... 500
cSl. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы . . . 500
Я"). Расчет электрических контуров............... 506
КО. Уравнения с частными производными....... .... 514
87. Расчет длинных линий................... 525
88. Другие интегральные преобразования............ 531
Литература к главе VI.................... 543
ГЛАВА VII
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Гамма-функция Эйлера..................... 544
89. Определение и основные свойства ............. 544
90. Примеры. Дополнения................... 553
§ 2. Ортогональные многочлены .................. 559
91. Ортогональные системы функций.............. 559
92. Ортогональные многочлены................. 564
93. Выражение через вес. Производящие функции........ 570
94. Примеры. Приложения................... 577
§ 3. Цилиндрические функции................... 589
95. Цилиндрические функции первого рода........... 590
96. Другие цилиндрические функции.............. 600
97. Асимптотические выражения для цилиндрических функций . . 608
98. Графики цилиндрических функций. Распределение нулей ... 614
99. Примеры. Приложения.................. . 620
§ 4. Эллиптические функции.................... 632
100. Периодические функции ................. 632
101. Общие свойства эллиптических функций........... 637
102. Эллиптические интегралы и функции Якоби , ,....... 643
103. Функции Вейерштрасса. Тета-функции............ 651
104. Примеры. Приложения................... 663
Литература к главе VII.................... 670
Предметный указатель........................ 671
