Задачи для внеклассной работы по математике в V—VI классах: Пособие для учителей/ Сост, В. Ю. Сафонова. Под ред. Д. Б. Фукса, А. Л. Гавронского.— М.: МИРОС, 1993.— 72 с.: ил.
ISBN 5—7084—0023—4
В пособии из различных источников собрано около 300 нестандартных задач, для решения которых достаточно сведений, полученных в ходе изучения математики в первых пяти классах. Сборник призван помочь учителю в постановке внеклассной работы по математике, формировании интереса к ней у учащихся. Достаточно полно представлены известные идеи как композиции, так и решения задач. Сборник посвящен главным образом арифметике, логике и комбинаторике — традиционным областям занимательной математики. Проведена подробная рубрикация задач — тем самым предпринята попытка их классификации. В конце задачника приведены советы учителю по использованию предлагаемого материала в практической работе. Книга может быть полезна как любознательным школьникам, так и родителям, следящим за развитием своих детей.
ISBN 5—7084—0023—4
В пособии из различных источников собрано около 300 нестандартных задач, для решения которых достаточно сведений, полученных в ходе изучения математики в первых пяти классах. Сборник призван помочь учителю в постановке внеклассной работы по математике, формировании интереса к ней у учащихся. Достаточно полно представлены известные идеи как композиции, так и решения задач. Сборник посвящен главным образом арифметике, логике и комбинаторике — традиционным областям занимательной математики. Проведена подробная рубрикация задач — тем самым предпринята попытка их классификации. В конце задачника приведены советы учителю по использованию предлагаемого материала в практической работе. Книга может быть полезна как любознательным школьникам, так и родителям, следящим за развитием своих детей.
b •»*____ ____К. _.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние десятилетия усилия специалистов в области школьной математики были сосредоточены на решении двух основных задач — это переход на новое содержание математического образования и обеспечение всеобщего среднего образования. При этом по ряду известных причин проблемы, относящиеся к работе с сильными учениками, отошли на периферию методики математики. В настоящее время сложилась ситуация, требующая быстрых и решительных мер, направленных на возрождение лучших традиций работы с учениками, проявляющими интерес и способности к математике.
Между тем хорошо известно, какое внимание уделялось такой работе еще сравнительно недавно. Математические олимпиады различного ранга и математические кружки, летние математические школы и постоянно действующие школы юных математиков, всевозможные конкурсы и турниры — вот далеко не полный перечень различных форм внеклассной работы с учащимися. Не будет преувеличением сказать, что в первую очередь благодаря усилиям многих энтузиастов нашли свой путь в науку практически все известные математики, школьные годы которых пришлись на период с 30-х годов, когда создавались основные традиции внеклассной
работы.
Необходимо самое бережное отношение к этим традициям -их нужно не только сохранять, но и приумножать. Учитывая массовость профессии учителя, нетрудно прийти к выводу, что первые шаги в этом направлении связаны с изданием соответствующей литературы и в первую очередь задачников, поскольку именно задачи привлекают ребят к занятиям математикой. При этом, естественно, речь должна идти о системе пособий — начиная с текстов для дошкольников и кончая литературой для учащихся
старших классов.
Как известно, устойчивый интерес к математике начинает формироваться в 14—15 лет. Но это не происходит само собой: для того, чтобы ученик VII или VIII класса начал всерьез заниматься математикой, необходимо, чтобы на предыдущих этапах он почув-
ствовал, что размышления над трудными, нестандартными задачами могут доставлять подлинную радость.
Необычайная популярность книг Я. И. Перельмана, интерес к появившимся в последнее время многочисленным головоломкам показывают не только целесообразность включения доступных математических (или «околоматематических») задач в сферу интересов детей, но и наличие определенного интеллектуального голода у ребят в возрасте 10—13 лет. В то же время задержки в развитии на этом этапе обучения трудно компенсировать позднее. Все это и определяет значение работы по развитию учащихся V—VI классов. Возрождение математических кружков — один из важных начальных этапов всей деятельности по совершенствованию системы работы с учащимися, интересующимися математикой.
Опыт показывает, что основной формой внеклассной работы по математике с учащимися V—VI классов могут стать проводимые раз в неделю (или раз в две недели) кружковые занятия, в ходе которых решаются задачи, выходящие за рамки программы, делаются краткие сообщения об интересных математических фактах или фактах из истории математики. Итоги занятий кружка подводятся на школьных математических олимпиадах (в ряде мест проводятся районные и городские олимпиады для учащихся V—VI классов), математических вечерах и т. п.
Как показывает анализ положения дел, в настоящее время кружковая работа переживает кризис. Внеклассная работа по математике вообще и в V—VI классах в частности ведется существенно менее активно, чем это было, скажем, в 60-е годы. Причин тому немало, и не последняя из них — дефицит литературы. Данная брошюра и призвана в какой-то мере восполнить этот пробел.
Предлагаемая подборка упражнений имеет экспериментальный характер. Известно, что успех в значительной мере предопределяет подбор задач, предлагаемых преподавателем с учетом особенностей данной аудитории (класс, кружок, группа юношеской математической школы), вкусов и степени подготовки учителя и т. д. Для этого необходим широкий исходный круг задач, дающий читателю свободу выбора. Однако в настоящее время поиск задач крайне затруднен. Имеющийся массив задач огромен, они разбросаны по многочисленным источникам, многие из которых стали библиографической редкостью. Составителем данного сборника сделана попытка собрать из различных источников достаточное число нестандартных задач, для решения которых должно хватить све-
дений, полученных в ходе изучения математики в первых пяти классах. Конечно, невозможно собрать все имеющиеся интересные задачи, доступные для учащихся V—VI классов. Но для нужд школы, строго говоря, такая подборка не нужна — важно иметь источник, в котором с необходимой полнотой представлены известные идеи, а точнее, идеи композиции и решений.
В этом сборнике принята подробная рубрикация, иногда, впрочем, несколько условная. Названия рубрик отражают содержание задач, объединенных общей идеей решения; тем самым сделана попытка классификации имеющихся задач. Сборник посвящен главным образом арифметике, логике и комбинаторике, т. е. традиционным темам занимательной математики.
Следует добавить, что арифметические задачи заслуживают особого внимания. Не секрет, что чрезмерное увлечение алгебра-изацией курса математики для IV—V классов привело к тому, что подавляющее большинство учащихся зачастую не могут решать даже простые задачи арифметическим способом. В то же время поиск таких решений требует подчас весьма остроумных рассуждений, умения глубоко вникнуть в ситуацию. Тем самым решение задач арифметическим способом оказывает весьма положительное влияние на развитие логического мышления.
Задачник предназначен в первую очередь учителю. Можно предположить, однако, что сборник привлечет внимание как родителей, так и любознательных школьников.
Член-корреспондент
Российской академии образования
А. М. АБРАМОВ
Директор МИРОСа
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................3
Раздел I. ЛОГИКА И СМЕКАЛКА .............6
§ 1. ПРОВЕРКА ВНИМАНИЯ.....................6
§ 2. ЗАДАЧИ НА СРАВНЕНИЕ ...................7
§ 3. ВЗВЕШИВАНИЯ..........................9
§ 4. КОМБИНАТОРИКА........................9
§ 5. СЮЖЕТНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
(найти соответствие) ................... И
§ 6. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ ..................... 14
§ 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СМЕСЬ ................. 15
Раздел II. ЦИФРЫ И ЧИСЛА................23
§ 8. ЦИФРОВЫЕ ЗАДАЧИ ..................... 23
§ 9. ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПИСЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА ... 25
§10. ЧИСЛОВЫЕ ИГРЫ....................... 26
§11. ПЕРЕЛИВАНИЕ, ПЕРЕКЛАДЫВАНИЕ........... 30
Раздел III. ДЕЛИМОСТЬ И ОСТАТКИ...........32
§ 12. ЧЕТНОСТЬ............................ 32
§13. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ................... 33
§14. ОСТАТКИ............................. 34
§ 15. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ,
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ............ 35
Раздел IV. ВЫЧИСЛЕНИЯ..................36
§16. ПРОСТО ПОДСЧЕТ ...................... 36
§17. ЗАДАЧИ «НА ДВИЖЕНИЕ» ................. 37
§18. ЗАДАЧИ «НА ЧАСТИ» .................... 38
§19. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ ............ 42
§20. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ................. 42
Ответы, указания, решения ........... 46
Советы учителю .................. 67
Литература...................... 71
