Теория комплексной переменной А.Г.Свешников москва1970 мосва 1970 ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержание этого выпуска в основном соответствует курсу лекций по теории функций комплексной переменной, читавшемуся авторами в течение ряда лет на физическом факультете МГУ.
Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального мотрения элементарных функций комплексной переменной в самом начале курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций действительной переменной.
Естественно, что стремление к цельности изложения заставило рассмотреть отдельные вопросы несколько подробнее, чем обычно удается в рамках сжатой лекционной программы. В первую очередь это относится к общим принципам конформного отображения и применениям методов теории функций комплексной переменной к решению краевых задач гидродинамики и электростатики.^ Кроме того, в книге имеются два приложения, посвященные изложению метода перевала и метода Винера—Хопфа, которыми физики обычно весьма широко пользуются.

ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
Настоящая книга представляет собой четвертый выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики» и посвящена изложению основ теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. В книге также даны примеры применения методов теории функций комплексной переменной к задачам гидродинамики и электростатики и разобраны некоторые вопросы метода перевала и метода Винера—-Хопфа.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержание этого выпуска в основном соответствует курсу лекций по теории функций комплексной переменной, читавшемуся авторами в течение ряда лет на физическом факультете МГУ.
Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной пере-мгшюИ и самом начале курса, как это делается в боль-niMiiCTLie учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций действительной переменной.
Естественно, что стремление к цельности изложения заставило рассмотреть отдельные вопросы несколько подробнее, чем обычно удается в рамках сжатой лекционной программы. В первую очередь это относится к общим принципам конформного отображения и применениям методов теории функций комплексной переменной к решению краевых задач гидродинамики и электростатики. Кроме того, в книге имеются два приложения, посвященные изложению метода перевала и метода Винера—Хопфа, которыми физики обычно весьма широко пользуются.
При работе над книгой мы пользовались советами многих наших товарищей

ВВЕДЕНИЕ'
В настоящем выпуске излагаются основные понятия теории функций комплексной переменной. Понятие комплексного числа возникло ;вую очередь в результате потребностей автоматизации вычислений. Даже простейшие алгебраические операции над действительными числами выводят за пределы области действительных чисел. Как известно, не всякое алгебраическое уравнение может быть разрешено в действительных числах. Тем самым надо или отказаться от автоматического применения установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возможности их применения, или расширить область действительных чисел с тем, чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнены. Таким- расширением области действительных чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел является тот факт, что основные математические операции над комплексными числами не выводят из области комплексных чисел.
Введение комплексных чисел и функций комплексной переменной удобно также при интегрировании элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д., где часто приходится выходить в область комплексных чисел. Комплексная форма записи оказывается удобной и при математической формулировке многих физических положений (например, в электро- и радиотехнике, электродинамике и т. д.).
Один из основных классов функций комплексной переменной — аналитические функции — находится в тесной связи с решениями уравнения Лапласа, к которому приводятся многие задачи механики и физики. Поэтому методы теории функций комплексной переменной нашли весьма широкое и эффективное применение при решении большого круга задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, электродинамики и других естественных наук.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии ................................. 8
эвие....................................... 9
ше......................................... И
'лава 1. Комплексная переменная и функции комплексной переменной ...............................~......... 12
§ 1. Комплексное число и действия над комплексными числами. ... 12 1. Понятие комплексного числа (12). 2. Действия над комплексными числами (12). 3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел (14). 4. Извлечение корня из комплексного числа (16).
§ 2. Предел последовательности комплексных чисел........... 18
1. Определение сходящейся последовательности (18). 2. Критерий Коши (19). 3. Бесконечно удаленная точка (20).
§ 3. Понятие функции комплексной переменной. Непрерывность ... 21 1. Основные определения (21). 2. Непрерывность (24). 3. Примеры (26).
§ 4. Дифференцирование функции комплексной переменной...... 31
1. Определение. Условия Коши—Римана (31). 2. Свойства аналитических функций (34). 3. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной (35). 4. Примеры (37).
§ 5. Интеграл по комплексной переменной................. 38
1. Основные свойства (38). 2. Теорема Коши (41). 3. Неопределенный интеграл (44).
§ 6. Интеграл Коши................................ 46
1. Рывод формулы Коши (46). 2. Следствия из формулы Коши (48). 3. Принцип максимума модуля аналитической функции (49).
§ 7. Интегралы, зависящие от параметра.................. 51
1. Аналитическая зависимость от параметра (51). 2. Существование производных всех порядков у аналитической функции (53).
Глава 2. Ряды аналитических функций.................. 56
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной ........................................ 56
1. Числовые ряды (56). 2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость (57). 3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса (60).
§ 2. Степенные ряды. Ряд Тейлора...................... 64
1. Теорема Абеля (64). 2. Ряд Тейлора (69).
Определения аналитической функции........ 72
1. Нули аналитической функции (72). 2. Теорема единственности (73).
Глава 3. Аналитическое продолжение. Элементарные функции комплексной переменной............................ 76
§ 1. Элементарные функции комплексной переменной. Продолжение
с действительной оси............................ 76
1. Продолжение с действительной оси (76). 2. Продолжение соотношений (80). 3. Свойства элементарных функций (83). 4. Отображения элементарных функций (87).
§ 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности 92
1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности (92).
2. Аналитическое продолжение через границу (94). 3. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение через границу (96). 4. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение с помощью степенных рядов (100). 5. Правильные и особые точки аналитической функции (103). 6. Понятие полной аналитической функции (106).
Глава 4. Ряд Лорана и изолированные особые точки......
§ 1. Ряд Лорана
1. Обла'сть сходимости ряда Лорана (108). 2. Разложение
108 108
ана-
литической функции в р'яд Лорана (ПО). § 2. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции.............................112
Глава 5. Теория вычетов и их приложения............... 120
§ 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. . 120 1. Определение и формулы вычисления вычета (120). 2. Основная теорема теории вычетов (122).
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.... 124
1. Интегралы вида \ К (cos 6, sin 8) rf6 (125). 2. Интегралы вида
со со
x (126). 3. Интегралы вида j etaxf(x)dx. Лемма
— —00
Жордана (128). 4. Случай многозначных функций (134).
§ 3. Логарифмический вычет.......................... 140
1. Понятие логарифмического вычета (140). 2. Подсчет числа нулей* аналитической функции (141).
Глава 6. Конформное отображение..................... 145
§ 1. Общие свойства......,........................ 145
1. Определение конформного отображения (145). 2. Простейшие примеры (149). 3. Основные принципы (152). 4. Теорема Римана (157).
§ 2. Дробно-линейная функция......................... 161
§ 3. Функция Жуковского............................ 170
§ 4. Интеграл Шварца—Кристоффеля. Отображение многоугольников........................................173
Глава 7. Применение аналитических функций к решению краевых" задач ...................................... 182
§ 1. Общие положения..............................182
1. Связь аналитических и гармонических функций (182). 2. Сохранение оператора Лапласа .при конформном отображении (183). 3. Задача Дирихле (185). 4. Построение функции источника (188).
§ 2. Приложения к задачам механики и физики.............. 190
1. Плоское установившееся движение жидкости (190). 2. Плоское электростатическое поле (201).
Глава 8. Основные понятия операционного исчисления......211
§ 1. Основные свойства преобразования Лапласа.............211
1. Определение преобразования Лапласа (211). 2. Изображение нчпарных функции (215). 3. Свойства изображения (217). и'ишца свойств изображений (225). 5. Таблица изображении с'25).
1 ()прсдсление оригинала по изображению . . . . ,..........227
1. Формула Меллина (227). 2. Условия существования оригинала (230). 3. Вычисление интеграла Меллина (233). 4. Случай регулярной на бесконечности функции (237).
§ 3. Решение задач для линейных дифференциальных уравнений операционным методом.............................240
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (240). 2. Уравнение теплопроводности (245). 3. Краевая задача для уравнения в частных производных (247).
Приложение 1. Метод перевала......................250
1. Вводные замечания (250). 2. Метод Лапласа (253). 3. Метод перевала (260).
Приложение 2. Метод Винера—Хопфа.................269
1. Вводные замечания (269). 2. Аналитические свойства преобразования Фурье (273). 3. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов (276). 4. Общая схема метода Винера—Хопфа (281). 5. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов (285). 5.1. Вывод уравнения Милна (285). 5.2. Исследование решения уравнения Милна (289). 5.3. Дифракция на плоском экране (293). 6. Решение краевых задач для уравнений в частных производных методом Винера—Хопфа (294).
Литература.......................................299
Предметный указатель ................................300