Шипачев В. С. Щ 63 Основы высшей математики: Учеб. пособие для втузов/Под ред. акад. А. Н. Тихонова.— М.: Высш. шк., 1989.—479 с.: ил. ISBN 5-06-000048-6 В пособии изложен общий курс математики для студентов втузов. Основная особенность книги — сочетание необходимого теоретического материала с широким использованием методов решения основных типов задач по всем разделам курса. Пособие отличается высоким уровнем строгости и методической продуманностью изложения, точностью формулировок основных понятий и теорем, краткостью и доступностью доказательств. ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию ............... 7
Глава I. Понятие производной и интеграла ........ 11
§ 1. Движение, путь и скорость............ 11
§ 2. Производная функции—предел отношения приращений ...................... 15
§ 3. Обозначения производной. Производная степенной
функции..................... 17
§ 4. Приближенное вычисление значений функции с помощью производной .............., 23
§ 5. Касательная к кривой.............. 26
§ 6. Рост и убывание, максимум и минимум функций . . 33
§ 7. Определение пути по скорости движения и площадь
под кривой................... 39
§ 8. Определенный интеграл.............. 46
§ 9. Связь между интегралом и производной (теорема
Ньютона—Лейбница)............... 52
§ 10. Интеграл от производной............, 55
§ 11. Неопределенный интеграл............. 57
§ 12. Свойства интегралов ............... 65
§ 13. Средние значения................. 71
§ 14. Различные примеры производных и интеграле:! . .
Заключение...................... 83
Глава II. Вычисление производных и интегралов...... 84
§ 1. Знак дифференциала. Производная суммы функций 84
§ 2. Производная обратной функции .......... 86
§ 3. Сложная функция .....,.......... 88
§ 4. Производная произведения функций.......
§ 5. Степенная функция................ 94
§ 6. Производные алгебраических функций с постоянными показателями................ 98
§ 7. Показательная функция ............. 99
§ 8. Число е ..................... 102
§ 9. Логарифмы.................... 106
§ 10. Тригонометрические функции........... 109
§ 11. Обратные тригонометрические функции...... 114
§ 12. Производная функции, заданной неявно . . . . .' . 117
§ 13. Интеграл. Постановка задачи...........121
§ 14. Простейшие интегралы........
§ 15. Общие свойства интегралов.......... . . 124
§ 16. Замена переменной в определенном интеграле . . .131
§ 17. Ряды ......................136
§ 18. Вычисление значений функций при помощи рядов 144
§ 19. Условие применимости рядов. Геометрическая прогрессия .....................149
§ 20. Бином Ньютона для целых и дробных показателей 1.г;б
§ 21. Порядок возрастания и убывания функций . . . ,160 Приложение к главе II.................165
Глава III. Приложения дифференциального и интегрального исчисления к исследованию функций и геометрии
§ 1. Исследование максимумов и минимумов функций при
помощи второй производной............172
§ 2. Другие виды максимумов и минимумов. Изломы и
разрывы ... 1.................181
§ 3. Вычисление площадей............... 190
§ 4. Средние значения.................195
§ 5. Длина дуги кривой и кривизна..........198
§ 6. Приближенное вычисление длины дуги.......202
§ 7. Вычисление объемов. Объем и поверхность тела вращения ......................207
§ 8. Как надо строить кривые............,.211
Глава IV. Функции и графики...............215
§ 1. Функциональная зависимость ...........215
§ 2. Координаты........•............218
§ 3. Геометрические величины, выраженные через координаты ......................222
§ 4. Графическое изображение функций. Уравнение
прямой......................226
§ 5. Парабола.....................231
§ 6. Кубическая парабола, гипербола, круг......238
§ 7. Изменение масштабов кривой ...........242
§ 8. Параметрическое задание кривой..........250
Глава V .-Вытекание воды. Радиоактивный распад и деление
ядер. Поглощение света .............252
§ 1. Вытекание воды из сосуда. Постановка задачи .... 252
§ 2. Решение уравнения Ъ случае, когда производная
зависит от искомой функции...........256
§ 3. Радиоактивный распад ..............259
§ 4. Измерение среднего времени жизни радиоактивных
атомов.......................263
§ 5. Последовательный распад (радиоактивное семейство) 273
§ 6. Исследование решения для радиоактивного семейства 277
§ 7. Цепная реакция деления урана..........283
§ 8. Размножение нейтронов в большой массе.....285
§ 9. Вылет нейтронов.................287
§ 10. Критическая масса................290
§ 11. Подкритическая и надкритическая масса при непрерывном источнике нейтронов ........... 293
§ 1?. Величина критической массы . •..........296
§ 13. Поглощение света. Постановка задачи и грубая
оценка.......................298
§ 14. Уравнение поглощения и его решение.......300
§ 15. Соотношение между точным и грубым расчетами . . 301
§ 16. Эффективное сечение...............303
§ 17. Ослабление потока заряженных частиц а- и р-лучей 304
лава VI. Механика . .,..................308
§ 1. Сила, работа, мощность.........V .... 308
§ 2. Энергия .....................317
§ 3. Равновесие и устойчивость............325
§ 4. Второй закон Ньютона ..............332
§ 5. Импульс силы ..................334
§ 6. Кинетическая энергия ..............340
§ 7. Движение под действием силы, зависящей только
от скорости ...................346
§ 8. Движение под действием упругой силы......353
§ 9. Колебания....................360
§ 10. Энергия колебаний. Затухающие колебания .... 367
§ 11. Вынужденные колебания и резонанс........372
§ 12. О точных и приближенных решениях физических
задач ......................375
§ 13. Реактивное движение и формула К. Э. Циолковского ......................383
§ 14. Траектория снаряда ...............394
§ 15. Мгсса, центр тяжести и момент инерции стержня 399
§ 16. Колебания подвешенного стержня.........407
лава VII. Тепловое движение молекул и распределение плотности воздуха в атмосфере...........410
§ 1. Условие равновесия в атмосфере..........410
•§ 2. Связь между плотностью и давлением .......412
§ 3. Распределение плотности..............414
§ 4. Молекулярно-кинетическая теория распределения
плотности.....................417
§ 5. Броуновское движение и распределение молекул по
кинетической энергии ...............-122
§ 6. Скорости химических реакций...........425
§ 7. Испарение. Ток эмиссии катода ..........427
лава VIII. Электрические цепи и колебательные явления
в них....................432
§ 1. Основные понятия и единицы измерения......432
§ 2. Разряд емкости через сопротивление........442
§ 3. Колебания в цепи емкости с искровым промежутком 446
§ 4. Энергия конденсатора...............450
§ 5. Цепь с индуктивностью..............457
§ 6. Размыкание цепи с индуктивностью........461
§ 7. Энергия индуктивности..............465
§ 8. Колебательный контур..............471
§ 9. Затухающие колебания..............476
§ 10. Случай большого сопротивления..........480
§ 11. Переменный ток ...............'. . 483
§ 12. Средние величины, мощность и сдвиг фазы .... 488 § 13. Колебательный контур в цепи переменного тока.
Резонанс напряжений...............491
§ 14. Параллельное включение индуктивности и емкости.
Резонанс токов .................. 495
§ 15. Ток смещения и электромагнитная теория света . . 498 § 16. Нелинейное сопротивление и туннельный диод . . 499
Добавление. Замечательная дельта-функция Дирака . . . 504
§ 1. Различные способы определения функции.....504
§ 2. Дирак и его функция...............505
§ 3. Разрывные функции и их производные.......508
§ 4. Представление дельта-функции формулами.....511
§ 5. Применения дельта-функции............ 516
Заключение. Что дальше?................521
Ответы и решения......................527
Приложение. Латинский алфавит. Греческий алфавит . . 560