Элементы прикладной математики Я.Бзельдович Москва1965 614стр. ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является не систематическим учебником, а скорее, книгой для чтения. На простых примерах, взятых из физики, на различных математических задачах мы старались ввести читателя в круг идей и методов, широко распространенных сейчас в приложениях математики к физике, технике и некоторым другим областям. Некоторые из этих идей и методов (такие, как применение дельта-функции, принципа суперпозиции, получение асимптотических выражений и т. д.) еще недостаточно освещаются в распространенных математических учебниках для прикладников, так что здесь наша книга может служить дополнением к этим учебникам. Нашей целью было пояснить основные идеи математических методов и общие закономерности рассматриваемых явлений. Напротив, формальные доказательства, рассмотрение исключений и усложняющих факторов по возможности опущены. Взамен этого мы в некоторых местах старались входить более подробно в физическую картину рассматриваемых процессов.
Первоначально мы предполагали включить в книгу уравнения математической физики (уравнения с частными производными, интегральные уравнения и т. д.). Однако это настолько расширило бы объем, что пришлось себя здесь ограничить. Может быть, мы вернемся к этой мысли в будущем.
Предполагается, что читатель владеет основами дифференциального и интегрального исчислений для функций одной переменной, включая разложение таких функций в степенные ряды, и может применять эти разделы высшей математики к решению физических задач. Достаточно (но не необходимо!), например, знакомство с книгой Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике», на которую мы будем иногда
ссылаться, обозначая ее буквами ВМ (имеется в виду издание 3, «Наука», 1965). Более того, настоящая книга в какой-то степени может рассматриваться как продолжение ВМ. В немногих местах изложение близко книге А. Д. Мышкиса «Лекции по высшей математике» («Наука», 1964). Тем не менее настоящая книга является совершенно самостоятельной, поскольку от читателя никаких специальных познаний, помимо только что указанных, не потребуется.
Содержание книги ясно из прилагаемого оглавления. Ее не обязательно читать подряд: читатель может знакомиться с интересующими его разделами независимо от других разделов и только в явно указываемых случаях из этих других разделов потребуются отдельные сведения. Поэтому для удобства в начале отдельных глав и параграфов указываются сведения из предыдущих глав, знакомство с которыми необходимо. Нумерация параграфов и формул производится в каждой главе самостоятельно, а при ссылках в пределах одной главы ее номер не указывается.
Мы будем благодарны читателям за любые замечания по содержанию и изложению материала книги. Несомненно, что на отдельных местах книги сказались различные на-* выки ее авторов, один из которых является физиком, а другой — математиком. Порой мы упорно тянули в разные стороны. Теперь сюда приложит свои усилия еще и читатель, так что все эти усилия будут складываться *). Подобный случай был разобран еще в известной басне Крылова, однако мы надеемся, что у нас результаты будут не столь плачевны.
Авторы выражают свою признательность К. А. Семен-дяеву, который прочитал рукопись книги и сделал ряд ценных замечаний.
*) Сложение сил по векторному закону изложено в гл. IX.
Содержание книги ясно из прилагаемого оглавления. Ее не обязательно читать подряд: читатель может знакомиться с интересующими его разделами независимо от других разделов и только в явно указываемых случаях из этих других разделов потребуются отдельные сведения. Поэтому для удобства в начале отдельных глав и параграфов указываются сведения из предыдущих глав, знакомство с которыми необходимо. Нумерация параграфов и формул производится в каждой главе самостоятельно, а при ссылках в пределах одной главы ее номер не указывается.
Мы будем благодарны читателям аа любые замечания по содержанию и изложению материала книги. Несомненно, что на отдельных местах книги сказались различные на-- выки ее авторов, один из которых является физиком, а другой—математиком. Порой мы упорно тянули в разные стороны. Теперь сюда приложит свои усилия еще и читатель, так что все эти усилия будут складываться*). Подобный случай был разобран еще в известной басне Крылова, однако мы надеемся, что у нас результаты будут не столь плачевны.
Авторы выражают свою признательность К. А. Семен-дяеву, который прочитал рукопись книги и сделал ряд ценных замечаний.
*) Сложение сил по векторному закону изложено в гл. IX.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................., 7
Глава I. Некоторые численные методы.......... 9
§ 1. Численное интегрирование ............. 10
§ 2. Вычисление сумм при помощи интегралов...... 17
§ 3. Численное решение уравнений ........... 26
Ответы и решения .......,......... 36
Глава II, Математическая обработка результатов опыта 39
§ 1. Таблицы и разности ................ 39
§ 2. Интегрирование и дифференцирование функций, заданных таблично.................. 45
§ 3. Подбор формул по данным опыта по методу наименьших квадратов................... 51
§ 4. Графический способ подбора формул........ 57
Ответы и решения ................. 66
Глава III. Дополнительные сведения об интегралах и рядах 69
§ 1. Несобственные интегралы.............. 69
§ 2. Интегрирование быстроменяющихся функций .... 79
§ 3. Формула Стирлинга................ 89
§ 4. Числовые ряды......,............ 91
§ 5. Интегралы и ряды, зависящие от параметра ..... 104
Ответы и решения ................. 103
Глава IV. Функции нескольких переменных ........ 112
§ 1. Частные производные..........-...... 112
§ 2. Геометрический смысл функции двух переменных 120
§ 3. Неявные функции.................. 122
§ 4. Радиолампа..................... 131
§ 5. Огибающая семейства линий ........' . . . . 134
§ 6. Ряд Тейлора и задачи на экстремум ........ 137

§ 7. Кратные интегралы.................143
§ 8. Многомерное пространство и число степеней свободы 155
Ответы и решения .................159
Глава V. Функции комплексного переменного.......163
§ 1. Простейшие свойства комплексных чисел ......163
§ 2. Сопряженные комплексные числа..........166
§ 3. Возведение в мнимую степень. Формула Эйлера . . . 170
§ 4. Логарифмы и корни ................174
§ 5. Описание гармонических колебаний с помощью пока- ,
зательной функции от мнимого аргумента......179
§ 6. Производная функции комплексной переменной . . . 186
§ 7. Гармонические функции ..............189
§ 8. Интеграл от функции комплексного переменного . . . 192
§ 9. Вычеты.......................198
Ответы и решения.................207
Г л ава VI. Дельта-функция Дирака............211
§ 1. Дельта-функция Дирака Ь(х)............211
§ 2. Функция Грина ..................217
§ 3. Функции, связанные с дельта-функцией.......223
§ 4. Понятие об интеграле Стильтьеса.......... 230
Ответы и решения .................231
Глава VII. Дифференциальные уравнения.........233
§ 1. Геометрический смысл дифференциального уравнения
первого порядка ..................233
§ 2. Интегрируемые типы уравнений первого порядка 237
§ 3. Линейные однородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами...........246
§ 4. Простейшее линейное неоднородное уравнение второго порядка................. ... 252
^5. Линейные неоднородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами...........260
§ 6. Устойчивые и неустойчивые решения .......268
Ответы и решения.................275
Глава VIII. Дальнейшие сведения о дифференциальных
уравнениях....................276
§ 1. Особые точки ...................276
§ 2. Системы дифференциальных уравнений.......279
§ 3. Определители и решение линейных систем с постоянными коэффициентами ..............282
§ 4. Устойчивость по Ляпунову состояния равновесия 288 <& Г>. Построение приближенных формул для решения ... 291 § (>. Численное решение дифференциальных уравнений 301
§ 7. Краевые задачи..................311
(j H. Пограничный слой.................318
Ответы и решения.................320
IX. Векторы....................323
Простейшие операции над векторами .......324
§ '2. Скалярное произведение векторов.........332
§ 4. Движение материальной точки...........340
§ 5. Многомерное векторное пространство .......345
Ответы и решения.................349
Глава X. Теория поля..................352
§ 1. Введение .....................352
§ 2. Скалярное поле и градиент............353
§ 3. Потенциальная энергия и сила ..........358
§ 4. Поле скорости и поток ..............364
§ 5. Электростатическое поле, его потенциал и поток . . . 369
§ 6. Примеры..................... 373
§ 7. Общее векторное поле и его дивергенция .....383
§ 8. Дивергенция поля скорости и уравнение неразрывности 388 § 9. Дивергенция электрического поля и уравнение
Пуассона .....................391
§ 10. Вектор площадки и давление ...........393
Ответы и решения.................398
Глава XI. Векторное произведение и вращение......402
§ 1. Векторное произведение векторов ......... 402
§ 2. Некоторые приложения к механике ........406
§ 3. Примеры .....................410
§ 4. Истинные векторы и псевдовекторы ........414
§ 5. Ротор векторного поля...............416
§ 6. Оператор Гамильтона «набла»...........423
§ 7. Потенциальные поля................426
§ 8. Ротор поля скорости................431
§ 9. Магнитное поле и электрический ток .......434
§ 10. Электромагнитное поле и уравнения Максвелла . . . 439
§ 11. Потенциал в многосвязной области ........443
Ответы и решения.................447
Глава XII. Вариационное исчисление...........450
§ 1. Пример перехода от конечного числа степеней свободы к бесконечному................450
§ 2. Функционал....................457
§ 3. Необходимое условие экстремума .........461
§ 4. Уравнение Эйлера.................464
§ 5. Всегда ли существует решение поставленной задачи? 471
§ 6. Варианты основной задачи ........, . . . 476
§ 7. Условный экстремум для конечного числа степеней
свободы......................478
§ 8. Условный экстремум в вариационном исчислении 482
§ 9. Задачи на экстремум с ограничениями.......491
§ 10. Вариационные принципы. Принцип Ферма в оптике 494
§ 11. Принцип наименьшего действия..........502
§ 12. Прямые методы..................507
Ответы и решения.................512
Глава XIII. Теория вероятностей.............519
§ 1. Постановка вопроса................519
§ 2. Умножение вероятностей .............523
§ 3. Анализ результатов многих испытаний.......530
§ 4. Радиоактивный распад. Формула Пуассона .... 542
§ 5. Другой вывод распределения Пуассона ......547
§ 6. Непрерывно распределенные величины.......549
§ 7. Случай весьма большого числа испытаний.....554
§ 8. О распределении простых чисел..........562
Ответы и решения.................570
Глава XIV. Преобразование Фурье............576
§ 1. Введение .....................576
§ 2. Формулы преобразования Фурье..........582
§ 3. Свойства преобразования Фурье ..........590
§ 4. Преобразование колокола и принцип неопределен-
- ности.......................591
§ 5. Спектральный анализ периодической функции . . . 596
§ 6. Пространство Гильберта..............600
Ответы и решения.................603
Предметный указатель ...................610