Методы вычисления(1Том) И.С.Березин Москва1962 463стр. АННОТАЦИЯ В первом томе книги рассмотрены действия с приближенными числами, теория интерполирования, численное дифференцирование и интегрирование, равномерные и среднеквадратичные приближения функций. Книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов механико-математических и физико-математических факультетов, специализирующихся по вычислительной математике, и лиц, интересующихся теорией и практикой численных методов. ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой обработанный и расширенный курс лекций, прочитанных для студентов III и IV курсов механико-математического факультета Московского государственного университета, специализирующихся по вычислительной математике.
Авторы ставили своей задачей изложить с возможной строгостью сложившиеся в настоящее время методы численного решения важнейших математических задач. Развитие вычислительной техники за последние годы наложило свой отпечаток на вычислительную математику. Авторы старались отразить это в своем курсе. Но тут встретились большие трудности, вызванные двумя причинами. С одной стороны, требовалось дать не очень обширное систематическое изложение важнейших численных методов лицам, не знакомым со спецификой вычислительной работы. С другой стороны, многие направления современной вычислительной математики еще не сложились
окончательно.
В последние годы в вычислительную математику все глубже и глубже проникают идеи функционального анализа. Благодаря этому лучше выясняется существо каждого отдельного метода, вскрывается глубокая связь между различными на первый взгляд методами. В настоящем курсе делается попытка использовать функциональноанали-тическую базу при изложении каждого раздела. Так как знание функционального анализа не предполагается, то в курс введены посвященные ему параграфы. Эти параграфы вводятся в том месте, где возникает необходимость использовать соответствующий материал. Изучение вычислительной математики немыслимо без решения значительного количества задач. Было бы затруднительно в одной книге дать разбор большого количества примеров на различные случаи, с которыми вычислитель может встретиться на практике. Поэтому здесь мы приводим лишь очень простые примеры, иллюстрирующие основной материал книги. В конце каждой главы приведены упражнения, решение которых должно способствовать лучшему усвоению излагаемого материала. Предполагается, что студенты параллельно со слушанием курса решают практические задачи под руководством преподавателя, от которого получают необходимые указания по практике вычислений.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Необходимо указать, что никакой курс не может дать окончательных рецептов для решения всех конкретных задач вычислительной математики. Вычислительная работа, как и всякая научная работа, требует творческого подхода. Изложенный здесь материал призван служить лишь подспорьем, позволяющим с большей скоростью и эффективностью находить пути для решения задач практики.
Для более углубленного изучения отдельных разделов авторы отсылают к соответствующей литературе, указанной в конце каждой главы.
План книги и рукопись обсуждались на кафедре вычислительной математики Московского университета. В процессе обсуждения было высказано много ценных замечаний и предложений. Авторы выражают глубокую благодарность участникам обсуждения: зав. кафедрой акад. С. Л. Соболеву, чл.-корр. АН СССР, проф. Л. А. Люстернику, профессорам А. А. Ляпунову и М. Р. Шуре-Буре, доцентам А. Д. Горбунову, В. Г. Карманову, В. В. Русанову, Ю. А. Шрей-деру и ассистенту Н. С. Бахвалову. Авторы выражают также глубокую благодарность чл.-корр. АН СССР, проф. А. Н. Тихонову и доц. Б. М. Будаку за их труд по рецензированию книги и за ряд ценных предложений и замечаний.
Большой объем книги и широта охваченного материала вызвали большие трудности при ее написании. Конечно, эти трудности не всегда удавалось преодолеть наилучшим образом. Читатели, вероятно, смогут высказать много замечаний и дать свои предложения по улучшению книги. Авторы просят присылать им эти предложения и замечания и заранее благодарят за них читателей.
Книга разбита на два тома; первый из них содержит главы 1—5, второй — главы 6—10, что соответствует также разделению курса «Методов вычислений» на первую и вторую части, читаемые для студентов 3-го и 4-го годов обучения.
*. И. С. Березам, Н. П. Жидков

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................. 7
Введение .............................. 9
§ 1. Предмет вычислительной математики............. 9
§ 2. Метод вычислительной математики.............. 10
1. Функциональные метрические пространства (10). 2. Функции, определенные на функциональных пространствах (12). 3. Метод вычислительной математики (13). § 3. Средства вычислений..................... 16
1. Арифмометр. Клавишные вычислительные машины (17).
2. Счетно-аналитические машины (20). 3. Электронный вычислитель (27). 4. Универсальные электронные цифровые вычислительные машины (30). 5. Средства вычислений и задачи вычислительной математики (33).
§ 4. Методы вычислений как раздел вычислительной математики.
Краткое содержание курса.................. 35
Глава 1. Действия с приближенными величинами........ 38
§ 1. Классификация погрешностей................. 38
1. Источники погрешности результатов вычислений (38).
2. Задачи, возникающие при работе с приближенными величинами (39). 3. Правила округления чисел (40). 4. Классификация погрешностей (41).
§ 2. Неустранимая погрешность.................. 42
1. Абсолютная и относительная погрешности числа (42). 2. Верные знаки числа (44). 3. Неустранимая погрешность значения функции для приближенных значений аргументов. Погрешности результатов арифметических операций (48).
§ 3. Погрешности округления................... 53
§ 4. Полная погрешность..................... 57
§ 5. Понятие о статистических методах оценки погрешностей ... 59
§ 6. Среднеквадратичные погрешности............... 64
1. Систематические и случайные ошибки (64). 2. Среднеквадратичные погрешности (66). 3. Обработка результатов по методу наименьших квадратов (68). 4. Среднеквадратичная погрешность функции (72). 5. Среднеквадратичная погрешность равномерно распределенной величины (74).
Упражнения............................ 76
Литература............................ 76
Глава 2. Теория интерполирования и некоторые ее приложения 77
§ 1. Постановка задачи.................i..... 77
1. Линейные множества. Линейно независимые системы элементов (78). 2. Задача интерполирования (78). 3. Построение
интерполирующей функции (79). 4. Системы Чебышева
(81). 5. Основные вопросы теории интерполирования (84).
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа........... 84
1. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа (84).
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов (87). 3. Интерполяционная схема Эйткена (88).
§ 3. Погрешности интерполяционной формулы Лагранжа..... 90
1. Остаточный член формулы Лагранжа и его оценки (90). •
2. Выбор узлов интерполирования (92). 3. Неустранимая погрешность формулы Лагранжа (96).
§ 4. Остаточный член общей интерполяционной формулы..... 98
§ 5. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков 102 1. Разделенные разности и их свойства (102). 2. Вывод формулы Ньютона для неравных промежутков (106). 3. Остаточный член формулы Ньютона (109).
§ 6. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков 112 1. Конечные разности и их свойства (113). 2. Вывод интерполяционных формул Ньютона (118). 3. Остаточные члены интерполяционных формул Ньютона (122).
§ 7. Интерполяционные формулы, использующие центральные разности ............................125
1. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя и Эверетта (125). 2. Остаточные члены интерполяционных формул с центральными разностями (136).
§ 8. Некоторые другие подходы к выводу формул интерполирования для равных промежутков................142
1. Диаграмма Фрезера (142). Понятие об операторном методе вывода формул интерполирования (145).
§ 9. Сходимость интерполяционного процесса...........149
§ 10. Интерполирование периодических функций..........152
§ 11. Общая задача интерполирования алгебраическими многочленами............................. lb'3
1. Интерполяционный многочлен Эрмита (163). 2. Общий вид интерполяционного многочлена Эрмита (169). 3. Остаточный член интерполяционной формулы Эрмита (172). 4. Разделенные разности с повторяющимися значениями аргумента (173). 5. Обобщенная интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями (179).
§ 12. Интерполирование функций многих независимых переменных 181 1. Трудности задачи интерполирования функций многих переменных (181). 2. Обобщение интерполяционных формул Ньютона на случай функций многих переменных (186). 3. Другие способы построения интерполяционных многочленов для функций многих переменных (192).
§ 13. Интерполирование функций комплексного переменного .... 195
§ 14. Применение интерполирования для составления таблиц .... 196
^ 15. Обратное интерполирование.................202
Упражнения............................206
Литература.............................216
Глава 3. Численное дифференцирование и интегрирование. . . 217
§ 1. Задача численного дифференцирования............217
§ 2. Формулы численного дифференцирования...........220
1. Формулы численного дифференцирования для неравноотстоящих узлов (220). 2. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих узлов (226). 3. Безразностные формулы численного дифференцирования (230). 4. Метод неопределен-
ных коэффициентов (234). 5. Выражение разностей через производные (235).
§ 3. Задача численного интегрирования..............237
• 4. Формулы Ньютона — Котеса.................240
1. Вывод формул (240). 2. Остаточные члены формул (243). 3. Формула трапеций и формула Симпсона (249).
§ 5. Формулы численного интегрирования Гаусса.........254
1. Построение формул. Абсциссы формул Гаусса (254). 2. Остаточный член формул Гаусса (258). 3. Коэффициенты формул Гаусса (260). 4. Формула численного интегрирования Эрмита (264). 5. Формулы численного интегрирования Маркова (266).
§ 6. Формулы численного интегрирования Чебышева.......269
1. Построение формул (269). 2. Остаточный член формул Чебышева (276).
§ 7. Сходимость квадратурных процессов.............279
§ 8. Формула Эйлера.......................284
1. Числа и многочлены Бернулли (284). 2. Формула Эйлера и примеры ее применения (289). § 9. Формулы численного интегрирования, содержащие разности
подынтегральной функции..................297
1. Формула Грегори (297). 2. Формула Лапласа и другие формулы (302).
§ 10. Некоторые замечания по поводу формул численного интегрирования ...........................305
1. Метод Рунге приближенной оценки погрешности численного интегрирования (306). 2. Замечание о вычислении интегралов с переменным верхним пределом (308).
§ 11. Вычисление несобственных интегралов............308
1. Метод выделения особенностей (309). 2. Специальные приемы (313).
§ 12. Приближенное вычисление кратных интегралов........315
1. Метод повторного применения квадратурных формул (315).
2. Метод замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом (319). 3. Метод Л. А. Люстерника и В. А. Дит-кина (322). 4. Замечание о методе Монте-Карло (324).
Уп-ражнения............................325
Литература............................330
Глава 4. Равномерные приближения...............331
§ 1. Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах ..........................333
1. Линейное нормированное пространство (333). 2. Элемент наилучшего приближения (333). 3. Существование элемента наилучшего приближения (334). 4. Единственность элемента наилучшего приближения (336).
§ 2. Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций
обобщенными многочленами.................337
1. Наилучшее приближение в пространстве С (337). 2. Тео-рем_а Хаара (337). 3. Теорема Чебышева (343).
§ 3. Алгебраические многочлены наилучшего равномерного приближения ............................347
1. Теорема Вейерштрасса (349). 2. Теоремы о порядке приближения с помощью многочленов Бернштейна (352). § 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения . . 355
§ 5. Некоторые теоремы о порядке наилучшего равномерного приближения непрерывных функций...............358
§ 6. Приближенное построение алгебраических многочленов наилучшего приближения ................... 364
1. Предварительные замечания (365). 2. Первый способ приближенного построения многочлена наилучшего приближения (373). 3. Второй способ приближенного построения многочлена наилучшего приближения (378).
Упражнения ........................... 384
Литература ........................... 385
Глава 5. Среднеквадратичные приближения ............ 386
§ 1. Гильбертовы пространства.................. 387
§ 2. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве.
Ряды Фурье ........................ 390
§ 3. Приближения в гильбертовом пространстве.......... 395
1. Построение элемента наилучшего приближения (396).
§ 4. Среднеквадратичные приближения функций алгебраическими
многочленами ....................... 398
1. Ортогональные системы многочленов (400). 2. Рекуррентные соотношения для ортогональных многочленов (401). 3. Тождество Кристофеля — Дарбу (403). 4 Свойства ортогональных многочленов (404). 5. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют ортогональные многочлены (405).
§ 5. Некоторые частные случаи ортогональных систем многочленов 406 1. Многочлены Якоби (406). 2. Многочлены Лежандра (411).
3. Многочлены Чебышева первого и второго рода (416).
4. Многочлены Лагерра и Эрмита (419).
§ 6. Сходимость рядов по ортогональным системам многочленов . 423
§ 7. Среднеквадратичные приближения функций тригонометрическими многочленами .................... 433
§ 8. Приближение функций, заданных таблицей, по методу наименьших квадратов..................... 434
§ 9. Приближения по методу наименьших квадратов алгебраическими многочленами .................... 436
1. Система многочленов, ортогональных на множестве равноотстоящих точек (437).
§ 10. Применение метода наименьших квадратов для сглаживания
результатов наблюдения .................. 444
§ 11. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических формул. Решение систем линейных алгебраических уравнений по методу наименьших квадратов......... 446
§ 12. Приближение функций, заданных таблицей, тригонометрическими многочленами по методу наименьших квадратов .... 451
§ 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов flo, a& , Ь^ в случае
N = 4р........................... 455
Упражнения ........................... 463
Литература ........................... 464