Математическая обработка наблюдений Б.М.Щиголев Москва1962 345стр ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана по программе курса «Математическая обработка наблюдений» для студентов астрономической специальности механико-математических и физико-математических факультетов университетов. При составлении книги был использован опыт чтения курса в МГУ. В течении семестра студенты обычно успевают прослушать материал, включенный в программу. В книгу включен также дополнительный материал, не входящий в программу; его можно предложить студентам для самостоятельного изучения или включить в курс, если число часов может быть увеличено.
Программа курса несколько шире его названия, так как в него включены не только задачи, связанные с обработкой наблюдений в тесном смысле, но и задачи приближенных вычислений, которые не всегда оказываются задачами обработки наблюдений, хотя их и приходится решать именно в связи с ней. Достаточно указать, например, на точечное интерполирование по таблицам функции, если значения функции вычислены по ее определению (например, с помощью ряда). Такого рода задачи также включены в книгу.
Название «Математическая обработка наблюдений» в подобном расширенном смысле укоренилось, и вряд ли есть надобность менять его.
Задачи, рассмотренные в этой книге применительно к потребностям астрономии, приходится весьма часто решать в самых разнообразных отделах естествознания и техники. Поэтому автор надеется, что книга или по крайней мере некоторые ее части будут полезны не только астрономам.
Книга подразделена на части и главы.
Нумерация глав и параграфов в книге сквозная. Для формул выбрана двойная нумерация: формула (16.10) будет десятой по до-рядку в главе 16,
В конце книги приведен небольшой список литературы в основном учебные пособия и руководства. Список составлен применительно к частям книги.
Автор считает своей приятной обязанностью поблагодарить сотрудников кафедры небесной механики МГУ Е. М. Славцеву и А. И. Рыбакова за помощь при подготовке рукописи к печати.
Автор будет очень благодарен читателям за указания на недостатки книги; просьба посылать такие указания по адресу: Москва, В-234, МГУ, Астрономическая обсерватория-
Автор искренно благодарит В. А. Чурикова (г. Тернополь) за сообщение об опечатках, обнаруженных им, которое полностью использовано при подготовке второго издания книги.
В. М. Щиголев
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ........................ ..... 7
Введение............................... 9
ЧАСТЬ I
ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
Глава 1. Оценки ошибок приближенных чисел.......... 12
§ 1. Основные задачи теории приближенных вычислений..... 12
§ 2. Точная ошибка приближенного числа............ 13
§ 3. Предельная абсолютная погрешность............ 14
§ 4. Предельная относительная погрешность........... 17
§ 5. Оценка ошибки по числу верных знаков........... 19
Глава 2. Погрешности результатов основных арифметических действий ........................... 22
§ 6. Сложение.......................... 22
§ 7. Статистическая оценка ошибки суммы ........... 24
§ 8. Вычитание близких чисел.................. 26
§ 9. Умножение......................... 28
§ 10. Деление .......................... 31
Глава 3. Оценка ошибки функции приближенных аргументов. . 34
§ 11. Предельные погрешности функции одного независимого переменного ........................... 34
§ 12. Погрешности простейших-элементарных функций...... 35
§ 13. Погрешность функции нескольких аргументов........ 42
§ 14. Понятие об обратной задаче теории приближенных вычислений 48
ЧАСТЬ и
ТОЧЕЧНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Глава 4. Общие сведения................,'.... 51
§ 15. Приближение табличных функций; понятие о точечной интерполяции ........................... 51
§ 16. Теорема существования интерполяционного полинома .... 55
§ 17. Интерполяционный полином Лагранжа ........... 57
§ 18. Оценка ошибки точечной интерполяции........... 60
Глава 5. Интерполирование по таблице с пэргмэнным шагом 66
§ 19. Разделенные разности табличной функции.......... 66
§ 20. Способ построения разностных интерполяционных формул . . 68 § 21. Интерполяционная формула Ньютона для таблицы с переменным шагом...... ............. 71
Г л а в а 6. Интерполирование по таблице с постоянным шагом . . 75
§ 22. Обыкновенные и центральные разности табличной функции
с постоянным шагом.................... 75
§ 23. Основные свойства обыкновенных разностей......... 79
§ 24. Способ построения интерполяционных формул для таблиц
с постоянным шагом.............,...... 84
§ 25. Формулы Ньютона для интерполяции вперед и назад .... 86
§ 26. Формула Стирлинга..................... 92
§ 27. Формула Бесселя (два варианта).............. 95
§ 28. Общие замечания о применении разностных интерполяционных формул........................ 101)
ЧАСТЬ III
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Глава 7. Случайные события; основные понятии и теоремы . . 103
§ 29. Случайные явления..................... 103
§ 30. Классическое определение вероятности ........... 106
§ 31. Примеры вычисления вероятности.............. 107
§ 32. Теорема сложения вероятностей............... 109
§ 33. Теорема умножения вероятностей.............. 111
§ 34. Полная вероятность; гипотезы................ 114
§ 35. Априорные и апостериорные вероятности гипотез...... 116
Глава 8. Задача о повторении испытаний............ 120
§ 36. Формулировка задачи и вывод основной формулы...... 120
§ 37. Распределение вероятностей чисел повторений события . . . 122 § 38. Приближенная формула Лапласа для вычисления вероятности
числа повторений события ................. 129
§ 39. Приближенная кривая распределения вероятностей..... 133
§ 40. Распределение Пуассона (закон редких событий)...... 134
Глава 9. Дискретные случайные величины............ 135
§ 41. Случайные величины.................... 135
§ 42. Математическое ожидание дискретной случайной величины . . 137
§ 43. Теоремы сложения и умножения математических ожиданий 140
§ 44. Дисперсия случайной величины; свойства дисперсии..... 142
§ 45. Математическое ожидание и дисперсия числа повторений 145
Глава 10. Закон больших чисел.................. 148
§ 46. Леима Чебышева — Маркова................ 148
§ 47. Теорема Я. Бернулли.................... 150
§ 48. Предельная теорема Лапласа................ 154
§ 49. Неравенство и теорема Чебышева.............. 158
§ 50. Замечания о законе больших чисел. Статистические вероятности ............................ 162
Глава 11. Непрерывные случайные величины........... 165
§ 51. Функция распределения непрерывной случайной величины . . 165
§ 52. Плотность вероятности................... 167
§ 53. Математическое ожидание, дисперсия и моменты...... 169
§ 54. Равномерное распределение вероятностей.......... 172
§ 55. Формулировка теоремы Ляпунова. Нормальное распределение
вероятностей ........................ 174
§ 56. Приближенный вывод нормального закона.......... 175
Kg 57. Параметры нормального закона. Кривая 1 аусса....... I/O § 58. Функция нормального распределения. Вычисление вероятностей ........................... 181
§ 59. Моменты нормального распределения............ 184
§ 60. Понятие о распределениях, отличных от нормального .... 186
Глава 12. Распределение совокупности двух непрерывных случайных величин.................... 193
§ 61. Плотность вероятности совокупности двух величин...... 1
§ 62. Условные плотности вероятности.............. 1
§ 63. Нормальное распределение двух случайных величин..... 198
§ 64. Плотность вероятности нормального распределения..... 201
ЧАСТЬ IV
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ (СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ)
Глава 13. Общие сведения об ошибках измерений . . . ... . . 209
§ 65. Виды ошибок измерений..................209
§ 66. Основная гипотеза теории случайных ошибок. Способы оценки
ошибок...........................212
Глава 14. Обработка равноточных измерений определенной
величины........................215
§ 67. Задача обработки измерений определенной величины .... 215 § 68. Наиболее вероятное значение измеряемой величины. Способ
наименьших квадратов...................215
§ 69. Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического . . 218 § 70. Наиболее вероятное значение средней квадратичной ошибки
одного измерения ...................... 219
§ 71. Второй вывод приближенного значения измеряемой величины
и приближенного значения средней квадратичной ошибки
одного измерения......................222
§ 72. Пример и схема обработки равноточных измерений одной
величины..........................224
Глава 15. Обработка неравноточных измерений определенной
величины........................227
§ 73. Понятие о неравноточных измерениях. Веса измерений . . . 227
§ 74. Наиболее вероятное значение измеряемой величины..... 229
§ 75. Средняя квадратичная ошибка среднего весового...... 231
§ 76. Наиболее вероятное значение средней квадратичной ошибки
измерения с весом единица ................. 232
§ 77. Пример и схема обработки неравноточных измерений определенной величины..................... 236
Глава 16. Определение нескольких неизвестных из уравнений
по способу наименьших квадратов..........239
§ 78. Условные и нормальные уравнения. Принцип Лежандра . . . 239
§ 79. Вероятностный смысл принципа Лежандра..........242
§ 80. Обобщение принципа Лежандра на неравноточпые условные уравнения. Приведение неравноточных уравнений к равноточным ...........................244
§ 81. Приведение нелинейных условных уравнений к линейному
виду............................246
§ 82. Линейные условные и нормальные уравнения........250

§ 83. Контроль составления нормальных уравнений ........ 254
§ 84. Решение системы линейных нормальных уравнений..... 258
§ 85. Вычисление весов неизвестных............... 264
§ 86. Приближенное значение средней квадратичной ошибки на
единицу веса. Средние квадратичные ошибки неизвестных . . 270 § 87. Пример и схема решения системы линейных условных уравнений ........................... 273
Глава 17. Эмпирические формулы................ 277
§ 88. Постановка задачи..................... 277
§ 89. Выбор типа формулы.................... 278
§ 90. Определение значений параметров по принципу Лежандра . . 281
§ 91. Проверка эмпирической формулы.............. 283
§ 92. Пример вывода эмпирической формулы........... 284
ЧАСТЬ v ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Глава 13. Обработка одномерной статистической совокупности . 286
§ 93. Статистические совокупности ................ 286
§ 94. Дискретное эмпирическое распределение и его числовые
характеристики ....................... 288
§ 95. Непрерывное эмпирическое распределение.......... 293
§ 96. Сравнение эмпирического распределения с теоретическим . . 300
§ 97. Доверительные вероятности и доверительные границы .... 305
§ 98. Графическое представление эмпирической совокупности . . . 306
§ 99. Средние ошибки параметров выборочной совокупности ... 311
Глава 19. Элементарная теория корреляции двух величин. ... 313
§ 100. Эмпирическое распределение двух случайных величин . . . 313
§ 101. Корреляционная зависимость. Задачи теории корреляции . . 315
§ 102. Вывод линейной эмпирической формулы.......... 317
§ 103. Вывод линейных уравнений регрессии........... 320
§ 104. Коэффициент корреляции .................. 322
§ 105. Средние ошибки уравнений регрессии; границы значений коэффициента корреляции................... 325
§ 106. Средние ошибки выборочных коэффициентов корреляции и
регрессии......................... 327
§ 107. Вероятностное значение элементарной теории корреляции . . 328 § 108. Пример и схема исследования корреляции при большом
числе наблюдений..................... 329
§ 109. Пример исследования корреляции по малому числу наблюдений........................... 337
Литература............................. 339
Приложение ............................. 341