Основы линеной алгебры А.И.Мальцев Москва 1975 340стр. Предисловие к третьему изданию..................... 7
введение................................... Я
I. Матрицы и определители.................. 10
I. Действия с матрицами.................... 10
1.1. Матрицы. Основное поле (10). 1.2. Умножение матриц
(12). 1.3. Транспонирование матриц (17). 1.4. Клеточные
матрицы (21). 1.5. Кватернионы (24).
Примеры и задачи...................... 28
§ 2. Определители......................... 30
2.1. Определение (30). 2.2. Основные свойства определителей (36). 2.3. Определитель произведения. Обратные матрицы ^45). 2.4. Крамеровские системы линейных уравнений (50). Дополнения и примеры................... 64
§ 3. Характеристический и минимальный многочлены..... 55
3.1. Подобие матриц (55). 3.2. Характеристический многочлен (57). 3.3. Минимальный многочлен (60). Примеры и задачи...... ................ 64
II. Линейные пространства................... 65
4. Размерность.......................... 65
4.1 Модули и векторные пространства (65). 4.2. Линейная
зависимость (70). 4.3. Изоморфизм (78).
Примеры и задачи...................... 81
§ 5. Координаты.......................... 81
5.1. Координаты вектора (81;. 5.2. Ранги матриц (85).
5.3. Общие системы линейных уравнений (92).
Дополнения и примеры.................... 97
§ 6. Линейные подпространства.................. 98
6.1. Пересечение и сумма подпространств (98). 6.2. Прямые суммы (103). 6.3. Системы однородных линейных уравнений (105). Примеры и задачи...................... 109
ава III. Линейные преобразования................. ПО
§ 7. Преобразования произвольных множеств.......... ПО
7.1. Произведение преобразований (110). 7.2. Единичное и обратное преобразования (112). 7.3. Взаимно однозначные преобразования (113). 7.4. Подстановки (114). Примеры и задачи...................... П7
§ 8. Линейные преобразования и их матрицы......... 117
8.1. Простейшие свойства (117). 8.2: Матрица линейного преобразования (120). 8.3. Преобразование 'коорд*шат (121). Примеры и задачи....................... 123
§ 9. Действия с линейными преобразованиями......... 123
9.1. Умножение линейных преобразований (123). 9.2- Умножение на число и сложение (125). 9.3. Многочлены от линейных преобразований (127). Примеры и задачи...................... 128
§ 10. Ранг и дефект линейного преобразования ...•••••• 129
10.1. Ядро и обл'асть значений (129). 10.2. Особенные
и неособенные преобразования (131). 10.3. Ра^г матрицы
преобразования (133).
Примеры и задачи...............,...... 135
§ 11. Инвариантные подпространства............... 135
11.1. Индуцированное преобразование (135). 11-2. Прямая сумма инвариантных подпространств (137). Ц.З. Хврактери-стический многочлен преобразования (139). 11.4/ Собственные векторы и собственные значения (140). Примеры и задачи...................... 143
§ 12. Преобразования с матрицей нормальной формы...... 144
12.1. Диагональная форма (144). 12.2. Клетки ЖоРдана О45)-
12.3. Корневые подпространства (146). !
Примеры и задачи......»•...............
Глава IV. Многочленные матрицы..................
§ 13. Инвариантные множители.................. 1
13.1. Эквивалентность (150). 13.2. Диагональная 4>°ема О52)-13,3. Наибольшие общие делители миноров (155)- И-4, Условия эквивалентности (159). Примеры и задачи . . ....................
§ 14. Элементарные делители .... ..... ... .......
14.1. Связь с инвариантными множителями (163)- 14-2. Элементарные делители распавшейся матрицы (1^). Примеры и задачи ...... ....... . . .......
§ 15. Нормальные формы матрицы линейного преобразования • • 15.1. Деление А-матриц (167). 15.2, Скалярная эквивалентность (169). 15.3. Критерий подобия матриц (17")- 15.4. Нормальная форма Жордана (171). 1В.5. Естествен!1311 нормальная форма (174;. 15.6. Другие нормальные фсРмы (I76). Примеры и задачи ............... ....... 179
§ 16. Функции от матриц ....... 180
. ..
(187). 16.5. Степенные ряды (190). 16.8. Матриц*1. Ч?Р«отано-вочные с данной матрицей (191). 16.7. Матриц^» йбрёетано-Вочные с. перестановочными матрицами (195). Примеры и задачи ............... ....... 197
< 1 и л V. Унитарные и евклидовы пространства.......... 199
§ 17. Унитарные пространства.................. 19У
17.1. Аксиоматика и примеры (199). 17.2. Длина вектора (203). 17.8. Ортонормированные системы (205). 17.4. Изоморфизм (210). 17.5. Ортогональные суммы. Проекции (211>. Примеры и задачи . ,..........."......... 213
§ 18. Сопряженные преобразования................ 214
18.1. Линейные функции (214). 18.2. Сопряженные преобразования (217). 18.3. Нормальные преобразования (219). Примеры и задачи......... ......... 224
§ 19. Унитарные и симметрические преобразования ....... 225
19.1. Унитарные преобразования (225). 19.2. Унитарная эквивалентность (227). 19.3. Нормальная форма матрицы унитарного преобразования (229). 19.4. Симметрические преобразования (231).19.5.Кососимметрические преобразования(233). . 19.6.Неотрицательные симметрические преобразования (235). Примеры и задачи..................... 239
§ 20. Разложения общих преобразований...... ... . 240
20.1. Разложение на симметрическую и кососимметрическую части (240). 20.2. Полярное разложение (241). 20.3. Преобразование Кэли (245). 20.4. Спектральное разложение (248). Примеры и задачи..... ... .......... 252
п .1 и л VI. Квадратичные и билинейные формы.......... 254
§ 21. Билинейные формы ...................... 254
21.1. Преобразование форм (254). 21.2. Эквивалентность' билинейных форм(256).21.3.Конгруэнтность симметрических билинейных форм (259). Примеры и задачи ..................... 261
§ 22. Квадратичные формы.................... 262
22.1. Конгруэнтность (262). 22.2. Алгоритм Лагранжа (2G4). 22.3. Закон инерции квадратичных форм (267). 22.4. Знакопостоянные формы (269). Примеры и задачи...................... 270
§ 23. Пары форм.......................... 271
23.1. Эквивалентность пар форм (271). 23.2. Конгруэнтность пар форм (272). 23.3. Конгруэнтность несимметрических билинейных форм (276). Примеры и задачи........*............. 278
§ 24. Билинейные функции.................... 273
24.1. Основные определения (278). 24.2. Пространства с билинейной метрикой (282). 24.3. Билинейные функции в билинейно-метрических пространствах (286). Примеры и задачи.........."............ 292
i VII. Линейные преобразования билинейно-метрических
пространств....................... 293
§ 25. Основные типы линейных преобразований ........ 293
25.1. Автоморфизмы (293). 25.2. Симметрические и кососим-
метрические преобразования (298).
Примеры и задачи...................... 300
26.1. Симметрические преобразования (301). 26.2. Кососим-метрические преобразования (303). 26.3. Комплексные ортогональные преобразования (306).
Примеры и задачи..................... • 309
§ 27. Симплектические пространства............... 309
27.1. Симметрические преобразования (309). 27.2. Кососим-метрические преобразования (312). 27.3. Симплектические преобразования (313). Примеры и задачи...................... 315
§ 28. Псевдоунитарные пространства............... 315 ]
28.1. Симметрические преобразования (316). 28.2. Псевдоунитарные преобразования (324). Примеры и задами..................... 325
Глава VIII. Аффинные пространства................ 326
§ 29. Общие аффинные пространства............... 326
29.1. Аксиоматика (326). 29.2. Линейные многообразия (334).
29.3. Параллельные плоскости (344). 29.4. Линейные функционалы (346).
Дополнения и примеры................... 351
ОГП
§ 30. Аффинные координаты.......,...........
30.1. Координаты точки ("52)- 30.2. Уравнения плоскостей (356). 30.3. Уравнения гиперплоскостей и прямых (364).
30.4. Преобразование аффинных координат (369).
Примеры и задачи....................... 373 '
§ 31. Выпуклые тела......................... 374
31.1. Лучи (374). 31.2. Полупространства (377). 31.3. Выпуклые множества (381). Дополнения и примеры..................• 385
§ 32. Евклидовы точечные пространства .... ........ 386
32.1. Длина ломаной (386). 32.2. Угол между прямыми (388). 32.3. Ортогональные проекции (391). 32.4. Угол между плоскостью и прямой (396).
Примеры и задачи............................ 398
Предметный указатель......................... 399