Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Наука. Главная редакция физико-математической литературы* 1980.-176 с.
Книга вместе с двумя другими учебниками тех же авторов «Дифференциальное и интегральное исчисление» и «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Теория функций комплексного переменного» соответствует новой программе по высшей математике >ддя инженерно-технических специальностей вузов (объемом 510 часов).
В ней содержатся основные сведения по теории определителей и матриц, линейных систем уравнений, элементы векторной алгебры. Рассмотрены также основные вопросы линейной алгебры: линейные операторы, самосопряженные операторы, квадратичные формы. В книгу включены элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве: прямая и плоскость, кривые и поверхности второго порядка.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов,
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга является первой частью нашего учебника «Высшая математика». Здесь излагаются основные вопросы теории определителей, элементы теории матриц, теория систем линейных уравнений, векторная алгебра. Рассмотрены также основные разделы линейной алгебры: линейные операторы, ортогональные преобразования, самосопряженные one» раторы, квадратичная форма и приведение ее к каноническому виду.
Включены элементы аналитической геометрии; прямая линия, плоскость, прямая в пространстве и кривые и поверхности второго порядка.
Рассуждения, как правило, ведутся с полными доказательствами. Однако изложение ведется так, что доказательства в общем л-мерном случае могут быть опущены, но останется не только формулировка утверждения, но и детальное разъяснение того, как в соответствующем случае обстоит дело в двух- и трехмерном случае.
Канонические виды кривых и поверхностей второго порядка изложены в этой книге весьма кратко, так как предполагается, что они дополнительно будут изучаться в виде задач методами математического анализа. Квадратичная форма изучается методами математического анализа или, если угодно, функционального анализа.
Хотя мы и называем эту книгу первой в нашей серии, на самом деле, материал этой и второй книги i(посвященной дифференциальному и интегральному исчислению) тесно переплетается. Хорошо известно, в какой последовательности следует излагать материал, содержащийся в этих книгах.
В книге изложены все вопросы, предусмотренные программами для высших технических учебных заведений (объемом 400—500 часов).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................... 4
§ 1. Определители второго порядка.........5
§ 2. Определители третьего и n-го порядка......6
§ 3. Матрицы..................16
§ 4. Система линейных .уравнений. Теория Кронекера — Ка-
пелли...................18
§ 5. Трехмерное пространство. Векторы. Декартова система .
координат..................34
§ 6. п-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение ...........'.........42
§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении ... 46
§ 8. Прямая линия................49
§ 9. Уравнение плоскости..............57
§ 10. Прямая в пространстве.............66
§ 11. Ориентация прямоугольных систем координат .... 69
§ 12. Векторное произведение............72
§ 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение ... 78
§ 14. Линейно независимая система векторов...... . 80
§ 15. Линейные операторы..............86
§ 16. Базисы в Я„ ................92
§ 17. Ортогональные базисы в Rn...........97
§ 18. Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений..................102
§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости 105 § 20. Линейные подпространства в /?я ......... 108
§ 21. Теоремы фредгольмова типа..........114
§ 22. Самосопряженный оператор. Квадратичная форма . . 121 § 23. Квадратичная форма в двумерном пространстве . . . 130
§ 24. Кривая второго порядка............135
§ 25. Поверхность второго порядка в трехмерном пространстве ....................150
§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве .............. 167
Предметный указатель................173
