Алгебра свободных и скользящих векторов Д.Р.Меркин Мосва 1962г 165стр АННОТАЦИЯ В книге дается подробное изложение алгебры свободных и скользящих векторов. Содержание первой главы соответствует в основном программе по векторной алгебре курса высшей математики втузов. Во второй главе рассматривается теория преобразования системы скользящих векторов и приведения их к простейшему виду. Эта теория имеет важное значение в различных вопросах физики и техники; она может рассматриваться также, как вводная глава винтового исчисления. В книге большое внимание уделено примерам и разъяснению некоторых деталей и особенностей векторного исчисления, весьма важных в приложениях. Книга может служить учебным пособием для студентов и преподавателей втузов и университетов. Она рассчитана также на инженеров, желающих повысить свою теоретическую подготовку. ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга может служить учебным пособием для студентов втузов и университетов; она рассчитана также на инженеров, желающих повысить свою теоретическую подготовку. В связи с этим при изложении большое внимание уделено примерам и разъяснению некоторых деталей и особенностей векторного исчисления, весьма важных в приложениях.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность проф. Г. Ю. Джанелидзе, сделавшему ряд ценных замечаний при чтении рукописи.
ВВЕДЕНИЕ
Очень много самых различных величин, встречающихся в физике, технике и математике, носят векторный характер— они определяются не только числом, но и направлением. Потребность в различных операциях над ними привела к воз-, никновению нового исчисления, которое оперирует не с числами, а с векторами.
Векторное исчисление, созданное в XIX в. трудами ученых различных стран (Гамильтоном, Мёбиусом, Грассманом, Максвеллом, Гиббсом и др.), получило в последние десятилетия широкое распространение. В настоящее время различные исследования в области многих разделов физики и математики, а также преподавание этих дисциплин ведется с привлечением векторного исчисления. Такому широкому распространению оно обязано главным образом следующими обстоятельствами: во-первых, векторное исчисление часто значительно сокращает вычисления; во-вторых, и это самое важное, векторное исчисление очень богато приложениями, так как позволяет выразить связь между различными физическими величинами непосредственно, не прибегая к вспомогательной надстройке в виде системы координат. Поясним сказанное примером.
При изучении движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, Эйлер получил следующие выражения для проекций скорости любой точки тела:
""x — fyZ — шгУ' {Vy = u>zX— 4>XZ, Vz = Uxy— ШуХ, (-#)
где vx, vy. vz — проекции скорости v на оси прямоугольной системы координат Oxyz\ u>x, шу, шг — проекции мгновенной угловой скорости о) на те же оси и х, у, z — координаты точки, скорость которой определяется. Непосредственно по этим формулам мы можем вычНИЩЬ^н^с^рость

АННОТАЦИЯ
В книге дается подробное изложение алгебры свободных и скользящих векторов. Содержание первой главы соответствует в основном программе по векторной алгебре курса высшей математики втузов. Во второй главе рассматривается теория преобразования системы скользящих векторов и приведения их к простейшему виду. Эта теория имеет важное значение в различных вопросах физики и техники; она может рассматриваться также, как вводная глава винтового исчисления.
В книге большое внимание уделено примерам и разъяснению некоторых деталей и особенностей векторного исчисления, весьма важных в приложениях.
Книга может служить учебным пособием для студентов и преподавателей втузов и университетов. Она рассчитана также на инженеров, желающих повысить свою теоретическую подготовку.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..........:........... 7
Введение ........................ 9
ГЛАВА I
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Основные определения................ 11
1. Скалярные и векторные величины (11). 2. Определение вектора (И). 3. Классификация векторов (12). 4. Равенство векторов (14). 5. Перенос вектора (14). 6. Нуль-вектор (15). 7. Компланарность и коллинеарность векторов (15). 8. Прямопротивоположные векторы (15).
§ 2. Сложение и вычитание векторов........... 16
1. Многоугольник (цепочка) векторов (16). 2. Сумма векторов (16). 3. Свойства суммы векторов (17). 4. Правила параллелограмма и параллелепипеда (18). 5. Разность двух векторов (19). 6. Свойства модуля суммы векторов (20).
§ 3. Умножение и деление вектора на число....... 21
1. Умножение вектора на число (21). 2. Свойства произведения (22). 3. Деление вектора на число (23). 4. Единичные векторы (23). 5. Орт оси (24). 6. Коллинеарность двух векторов (24).
§ 4. Разложение векторов................. 24
1. Задача разложения (24). 2. -Примеры разложения (25).
3. Разложение вектора по трем другим векторам (26).
4. Разложение вектора по ортам базиса (27).
§ 5. Линейная зависимость векторов............ 28
1. Основные определения (28). 2. Условие коллинеарности двух векторов (29). 3. Условие компланарности трех векторов (29). 4. Линейная зависимость четырех векторов (30).
§ 6 Проекции вектора ................... 32
1. Составляющие вектора по прямой и плоскости (32).
2. Свойства составляющих вектора (33). 3. Проекция вектора на ось (35). 4. Свойства проекций (35). 5. Угол между векторами (36). 6. Вычисление проекций вектора (36).
7. Теорема о проекции суммы векторов (41). 8. Псевдоскаляры (42).
§ 7. Способы задания вектора............... 43
1. Правая и левая системы (43). 2. Естественный способ задания свободного вектора (44). 3. Задание свободного вектора с помощью его проекций (координатный метод) (47). 4. Связь между естественным и координатным способами задания вектора (49). 5. Задание несвободного вектора (51). 6. Задание скользящего вектора (52). 7. Некоторые приложения (52).
§ 8. Скалярное -произведение двух векторов....... 54
1. Определение скалярного произведения (54). 2. Свойства скалярного произведения (56). 3. Выражение скалярного произведения через проекции векторов (59). 4. Векторные уравнения геометрических мест (61). 5. Уравнение плоскости (62). 6. Проекция вектора на ось как скалярное произведение вектора на орт оси (64). 7. Изменение проекций4 вектора при преобразовании координат (65).
8. Другое определение вектора (67).
§ 9. Векторное произведение ..............
68
1. Определение векторного произведения (68). 2. Примеры из физики (69). 3. Способ Н. Е. Жуковского построения векторного произведения (72). 4. Свойства векторного произведения (73). 5. Разложение вектора-произведения по координатным ортам (75). 6. Условие коллинеарности двух векторов (79). 7. Тождество Лагранжа (79). 8. Полярные и аксиальные векторы (80).
§ 10. Сложные произведения векторов ..........
1. Смешанное произведение трех векторов (81). 2. Двойное векторное произведение (86). 3. Разложение вектора по трем другим векторам (88). 4. Скалярное произведение двух векторных произведений (89). 5. Векторное произведение двух векторных произведений (89). 6. Произведение двух смешанных произведений (90). 7. Взаимные реперы (90).
81
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 11. Векторные уравнения прямой линии......., . 92
1. Векторно-параметрическое уравнение прямой (92).
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (93). 3. Плюкерово уравнение прямой в пространстве (93). 4. Прямая как пересечение двух плоскостей' (96).
§ 12. Инварианты относительно преобразования осей. . . 97
1. Инварианты преобразования (97). 2. Первый инвариант (97). 3. Второй инвариант (98). 4. Третий инвариант (98). 5. Производные инварианты (98).
ГЛАВА и АЛГЕБРА СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ
§ 13. Момент вектора относительно точки и оси. Задание
скользящего вектора.................100
1. Система обозначений (100). 2. Момент вектора относительно точки (100). 3. Проекции момента (104). 4. Момент вектора относительно оси (104). 5. Задание скользящего вектора его проекциями и моментами относительно координатных осей (ПО).
§ 14. Главный вектор и главный момент системы векторов .......•.................110
I. Система векторов (ПО). 2. Главный вектор системы векторов (111). 3. Главный момент системы векторов (112).
4. Система двух равнопротивоположных векторов (114).
5. Первая теорема Вариньона (115). 6. Изменение главного момента с изменением лолюса (116). 7. Инварианты системы векторов (117). 8. Минимальный момент и центральная ось системы (119). 9. Распределение главных моментов в пространстве (121). 10. Понятие о винте (122).
II. Винт системы векторов (124).
§ 15. Эквивалентные системы векторов..........129
1. Постановка задачи (129). 2. Основные определения и аксиомы (130).
§ 16. Приведение системы свободных векторов к простейшему виду ......................135
§ 17. Эквивалентные системы скользящих векторов . . . 135 1. Элементарные операции и их свойства (135). 2. Приведение произвольной системы скользящих векторов к системе двух векторов (геометрическое решение) (137).

i 18. Условия эквивалентности двух систем скользящих
векторов.......................140
1. Условия уравновешенности системы скользящих векг торов (140). 2. Условия эквивалентности двух систем скользящих векторов (141). 3. Преобразование эквивалентных систем (142).
j 19. Теория пар......................143
1. Пара векторов и ее момент (143). 2. Свойства пар (145). 3. Винт (146).
5 20. Приведение системы скользящих векторов к простейшему виду......................147
1. Общие соображения (147). 2. Приведение системы скользящих векторов к системе двух векторов (аналитическое решение). (148) 3. Приведение системы скользящих векторов к вектору и паре (152). 4. Пример из кинематики (153).
5. Приведение системы скользящих векторов к винту (154).
6. Примеры (155). 7. Уравнения равновесия векторов (156). 8. Вторая теорема Вариньона (156).
§21. Исследование частных случаев........... 157
1. Система сходящихся скользящих векторов (157). 2. Плоская система скользящих векторов (158). 3. Система параллельных скользящих векторов (159). 4. Центр системы параллельных векторов (161).
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее руководство, содержащее алгебру свободных и скользящих векторов, составлено с учетом опыта, приобретенного автором, при чтении высшей математики и теоретической механики во втузах Ленинграда.
Книга состоит из двух глав. Содержание первой главы соответствует (за исключением небольших дополнений) программе векторной алгебры курса высшей математики втузов. Во второй главе рассматривается теория скользящих векторов. Эта теория носит общий характер, и она имеет значение не только в физике, но также для других дисциплин, в частности, она может рассматриваться как вводная глава винтового исчисления.
Литература по векторному исчислению весьма обширна, и мы не имеем возможности перечислить все источники, которые в большей или меньшей степени оказали влияние на характер настоящей книги. Но автор считает себя обязанным отметить следующие руководства, которыми он больше всего пользовался: Н. Е. Ко чин, «Векторное исчисление и начала тензорного исчисления», изд. АН СССР, 1951; Я. С. Дубнов, «Основы векторного исчисления», ч. I, ГИТТЛ, 1939; Г. К. Суслов, «Теоретическая механика» (первая глава), Гостехиздат, 1946; Ш. Ж. В а л л е-П у с с е н, «Лекции по теоретической механике» (Введение), ИЛ, 1948; Т. Леви-Чивита и У. Амальди, «Курс теоретической механики» (глава I), ИЛ, 1952.