Основы анализа бесконечно малых Привалов И.И. Москва 1949г. 237стр. ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Многие желали бы познакомиться с разделом математики, который называется «высшей математикой». Однако получить первоначальные сведения в этой области, пользуясь полным курсом анализа бесконечно малых, затруднительно, так как это требует много времени, а изучать математическую книгу, опуская какие-либо разделы, часто невозможно. Необходима также книга, по которой учащиеся старших классов средней школы, интересующиеся математикой, могли бы изучить — самостоятельно или в кружках —элементы математического анализа. Поэтому издание небольшой книги, содержащей изложение элементов дифференциального и интегрального исчислений, могло бы удовлетворить все эти запросы читателей. Во втором издании книга выходит в переработанном виде. В основном отличие от первого издания, вышедшего в свет в 1934 г., заключается в добавлении теоремы о среднем в дифференциальном исчислении ив изменении изложения интегрального исчисления, однако книга сохраняет элементарный характер. Безвременная кончина одного из авторов — известного математика нашей страны Ивана Ивановича Привалова — не позволила ему принять участие в подготовке второго издания. С. Галъперн. ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию.............. 6
Глава L Понятие о функции............... 7
§ 1. Измерение величин. Математическая величина ... 7
§ 2. Постоянные и переменные величины........ 8
§ 3. Независимая переменная и функция........ 10
§ 4. Геометрическое представление функции...... 12
§ 5. Примеры геометрического представления функций. . 14
§ 6. Способы задания функции............. 19
§ 7. Область определения функции........... 23
§ 8. Обратные функции................. 23
§ 9. Графическое решение уравнений.......... 29
Задачи к главе I, № 1—28................ 31
Глава II. Теория пределов................ 35
§ 10. Абсолютная величина............... 35
§ 11. Предел переменной величины...........'37
§ 12. Бесконечно малые величины............ 43
§ 13. Основные теоремы о бесконечно малых...... 46
§ 14. Основные теоремы о пределах........... 47
§ 15. Бесконечно большие величины........... 53
§ 16. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами.................. 56
§ 17. Предел функции и предел последовательности ... 57
§ 18. Примеры...................... 59
§ 19. Пределы некоторых выражений......... . 61
§ 20. Принцип существования предела........... 64
§ 21. Число е....................... 66
§ 22. Натуральные логарифмы.............. 74
§ 23. Геометрические приложения ............ 75
Задачи к главе II, № 1—30.........,...... 79
Глава III. Производная.................. 82
§ 24. Приращение функции............... 83
§ 25. Понятие непрерывности функции.......... 86
§ 26. Простейшие свойства непрерывных функций. Непрерывность некоторых функций............ РЗ
§ 27. Предел отношения синуса к дуге .......... 98
§ 28. Касательная.................... 9')
§ 29. Производная.................... 104
§ 30. Производная как скорость............. 107
§ 31. Производная постоянной.............. 113
§32. Производная целой положительной степени..... 114
§ 33. Вынесение постоянного множителя за знак прон:пи>,м
ной........................ 115
§ 34. Производная суммы................ 11(3
§ 35. Производные синуса и косинуса.......... 117
§ 36. Производная произведения............. 119
§ 37. Производная дроби................. 120
§ 38. Производные тангенса и котангенса........ 121
§ 39. Производная сложной функции........... 123
§ 40. Производная логарифма.............. 126
§ 41. Производная обратной функции.......... 128
§ 42. Производная показательной функции........ 128
§ 43. Производная любой степени............ 129
§ 44. Производные обратно-круговых функций...... 131
Задачи к главе III, № 1—37............... 134
Глава IV. Приложения понятия производной...... 140
§ 45. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль 140
§ 46. Теорема Ролля................... 142
§ 47. Теорема Лагранжа................. 117
§ 48. Признаки возрастания и убывания функций..... 149
§ 49. Максимумы и минимумы функции......... 154
§ 50. Достаточные условия максимума и минимума функции ........................ 157
§ 51. Правило нахождения максимумов и минимумов данной функции.................... 159
§ 52. Применение теории максимумов и минимумов к построению графиков функций............ 162
§ 53. Наибольшие и наименьшие значения функции . . . 165
Задачи к главе IV, № 1-39............... Н8
Глава V. Дифференциал................. 174
§ 54. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные
бесконечно малые -..........• ..... 174
§ 55. Основной принцип дифференциального исчисления . 178
§ 56. Понятие дифференциала.............. 179
§ 57. Геометрический смысл дифференциала....... 182
§ 58. Формулы для нахождения дифференциалов функций . 183 § 59. Приложения понятия дифференциала к приближённым
вычислениям.................... 186
Задачи к главе V, К» 1—19............... 187
Глава VI. Элементы интегрального исчисления..... 190
§ 60. Неопределённый интеграл............. 190
§ 61. Интегрирование степенной функции........ 193
§ 62. Простейшие свойства неопределённого интеграла. Интегрирование многочлена.............. 195
§ 63. Интегрирование простейших функций........ 196
§ 64, Замена переменной. Интегрирование по частям . . . 198
§ 65. Вычисление площади............... 202
§ 66. Определённый интеграл.............. 207
§ 67. Простейшие свойства определённого интеграла ... 210 § 68. Геометрический смысл определённого интеграла . . 213 § 69. Основной принцип интегрального исчисления. Различные применения определённого интеграла .... 217 § 70. Некоторые применения неопределённого интеграла . 223 Задачи к главе VI, № 1—37........,....... 224
Заключение.......................234