Настоящий сборник содержит наиболее ценные работы зарубежных физиков, посвященные квантовой теории необратимых процессов, обусловливающих такие свойства вещества, как электропроводность, теплопроводность, диффузию и т. д.
За последние годы в теории необратимых процессов был получен ряд важных новых результатов, связанных с прямым применением методов квантовой механики без использования кинетического уравнения Больцмана, которое до сих пор было основным методом рассмотрения таких задач. Работы этого нового направления позволяют, в частности, решить проблемы, к которым метод кинетического уравнения вовсе неприменим (например, свойства систем в сильном магнитном поле).
Растущий интерес к исследованиям в области квантовой теории необратимых процессов связан как с ее большим общетеоретическим значением, так и с ее многочисленными применениями в области изучения и трактовки ряда свойств конкретных твердых тел (полупроводников, металлов, сплавов и т. д.) Особый интерес в этой связи представляют методы расчета, заимствованные из квантовой теории поля.
Сборник рассчитан прежде всего на физиков-теоретиков, но может быть полезен и более широкому кругу физиков и математиков, интересующихся современным состоянием теории необратимых процессов и теории твердого тела.
ПРЕДИСЛОВ ИЕ
До недавнего времени теория необратимых процессов развивалась главным образом на основе хорошо известного кинетического уравнения Больцмана. Такой подход оказался чрезвычайно плодотворным как в чисто классических задачах, так и в задачах, требующих на определенном этапе применения методов квантовой механики. Вместе с тем уже довольно давно стали видны и дефекты, органически присущие кинетическому уравнению и ограничивающие сферу его применимости.
Прежде всего это ограничения, обусловленные взаимодействием между частицами. При наличии взаимодействия движения частиц кор-релированы. Математически это выражается, в частности, в том, что уравнение для одночастичной функции распределения, получаемое непосредственно из уравнений движения, не является „замкнутым": оно содержит также двухчастичную функцию, описывающую вероятность того или иного динамического состояния пары частиц. В свою очередь уравнение для двухчастичной функции распределения содержит трехчастичную функцию и т. д. — мы имеем дело с бесконечной системой зацепляющихся уравнений для s-частичных функций распределения при S—1, 2, 3, ... (см. [1, 2]). В то же время кинетическое уравнение содержит только одночастичную функцию распределения. Следовательно, оно по самой сути своей является приближенным и может быть справедливо лишь в некоторых предельных случаях: для идеальных или слабо неидеальных систем. И действительно, хорошо известно, например, что уравнения гидродинамики, получающиеся из кинетического уравнения в обычной его форме, описывают среду с уравнением состояния идеального газа.
Сказанное справедливо как для классических, так и для квантовых систем. В квантовом случае, однако, возникают еще специфические осложнения принципиального характера, не связанные обязательно с наличием сильного взаимодействия между частицами. Именно, при квантовомеханическом рассмотрении задачи статистический ансамбль описывается не просто функцией распределения, а матрицей плотности. Как и в классическом случае, для слабо неидеальных систем можно получить приближенное уравнение типа кинетического, содержащее только „одночастичную" матрицу плотности [3]; однако это еще не будет кинетическое уравнение в классическом смысле слова. Действительно, последнее по определению содержит только
функцию распределения (например, по импульсам), которая, как известно, выражается через диагональные элементы одночастичной матрицы плотности; квантовое же уравнение содержит и недиагональные элементы последней. В связи с этим следует подчеркнуть, что в ряде задач недиагональные элементы матрицы плотности играют решающую роль. Так, например, известно, что в магнитном поле матрицы перпендикулярных к полю компонент скорости электрона не имеют диагональных элементов. Соответственно для вычисления средних значений этих компонент только недиагональные элементы матрицы плотности и нужны. Очевидно, задачи такого типа в принципе нельзя рассматривать классическими методами, и не случайно именно теории магнетосопротивления были посвящены первые работы [5, 6], в которых задача кинетики решалась без использования стандартного уравнения Больцмана.
Квантовомеханические осложнения несколько иного типа связаны непосредственно с соотношениями неопределенности (см., например, [7, 8]). Последние ограничивают область применимости классической кинетической теории системами с достаточно большим временем релаксации и достаточно малыми пространственными градиентами температуры, концентрации частиц и т. д.
Таким образом, возникают две группы проблем. Первая из них связана с выводом кинетического уравнения!), т. е. с составлением уравнения для одной лишь одночастичной матрицы плотности и с последующим исключением ее недиагональных элементов. Первый из этих вопросов получил вполне удовлетворительное решение в работах [3,4]; второй также неоднократно служил предметом обсуждения, начиная с классической работы Паули [9]. Существенный прогресс в этом направлении был достигнут в работе Ван-Хова (статья 1 настоящего сборника). В ней выяснено, какими свойствами должен обладать оператор взаимодействия, ответственного за релаксацию, дабы систему можно было приближенно описывать с помощью кинетического уравнения.
Вторая группа проблем связана с непосредственным изучением необратимых процессов методами квантовой механики, минуя обязательное составление кинетического уравнения. В последние годы этот круг вопросов рассматривался в целом ряде работ; в частности, в работах Кубо и др. (статьи 2 и 3 настоящего сборника) впервые были даны точные формулы для кинетических коэффициентов (электропроводности и т. д.), связывающие эти коэффициенты с корреляционными функциями для соответствующих динамических переменных в состоянии равновесия. Естественно, эти формулы еще не носят окончательного характера, ибо вычисление фигурирующих в них корреляционных функций составляет весьма сложную задачу
динамики. Тем не менее весьма важным кажется самый факт существования точных и общих выражений для кинетических коэффициентов (напомним в связи с этим, что обычная кинетическая теория принципиально может дать только приближенные формулы для электропроводности и т. д., ибо она основывается на заведомо приближенном уравнении Больцмана). Как отмечает сам Кубо, формулы, им полученные, представляют собой в известном смысле аналог уравнения состояния в статистической механике равновесных процессов. Хотя явный расчет как там, так и здесь представляет огромные трудности, наличие общих и точных формул позволяет построить последовательные схемы аппроксимации, справедливые в тех или иных частных случаях.
С несколько менее общей точки зрения аналогичные проблемы рассматриваются в статьях 7—9 настоящего сборника. В частности, в последней из них дан чисто квантовомеханический вывод явной формулы для электропроводности идеального полностью вырожденного газа электронов, взаимодействующих с хаотически расположенными в пространстве центрами рассеяния. Результат (полученный в предположении достаточно малой концентрации центров) оказывается таким же, как и в обычной кинетической теории; однако область применимости его гораздо шире1): она определяется неравенством й/т<^^/7> а не h/~
В статьях 5 и 6 (Кон, Люттингер) строится последовательная квантовомеханическая теория электропроводности электронного газа в кристалле при рассеянии носителей тока примесными центрами. В отличие от Кубо, авторы не задаются целью получить общие и строгие формулы, а с самого начала ставят задачу приближенно: они решают уравнение для матрицы плотности в слабом электри-
ческом поле, считая малой либо энергию взаимодействия электронов с примесными центрами, либо концентрацию последних. Обе апро-ксимации дают по существу один и тот же результат: в каждом приближении получается система уравнений для элементов матрицы плотности. При этом в первом приближении для диагональных элементов получается стандартное кинетическое уравнение, а в следующих приближениях—поправки к нему (обусловленные различными причинами — интерференцией электронных волн, рассеянных различными центрами, соотношением неопределенности между энергией и временем и т. д.). Значительное место в статье 5 занимает подробное исследование важного вопроса об усреднении по различным конфигурациям примесных атомов. С этой проблемой регулярно приходится сталкиваться при рассмотрении влияния примеси на поведение тех или иных квазичастиц в кристаллической решетке; рассматриваемая статья уже успела стать стандартным источником для ссылок.
В статье 10 (Адаме, Гольстейн) метод матрицы плотности, развитый Коном и Люттингером, применяется для решения конкретной задачи о поперечных гальваномагнитных эффектах. Авторы подробно рассматривают различные конкретные типы рассеяния электронов, внося уточнения и дополнения в предыдущие расчеты ряда других авторов. Следует отметить, однако, что результаты этой работы справедливы лишь для упругих процессов рассеяния (что, впрочем, отмечают и сами авторы).
Несколько особняком в сборнике стоит статья 11 (Монтролл и Уорд), в которой строится специальная диаграммная техника для вычисления равновесных термодинамических величин. Последняя необходима для .понимания последующей работы тех же авторов (статья 12). В последней развитая ранее диаграммная техника применяется для приближенного (но явного) вычисления кинетических коэффициентов по формулам Кубо. Не лишне отметить, однако, что аппарат, развитый Монтроллом и Уордом, при всем своем остроумии и изяществе кажется довольно сложным. По-видимому, более удобная диаграммная техника была предложена (для тех же целей) в работе [11]. Вообще следует заметить, что работами советских ученых внесен большой вклад в решение проблем, которым посвящен настоящий сборник, Даже краткое изложение этих работ потребовало бы специального обзора.
К сожалению, недостаток места не позволил включить в сборник переводы ряда статей, представляющих интерес в связи с рассматриваемым здесь кругом задач. Однако наиболее важные и интересные исследования, по-видимому, все же нашли здесь свое отражение. По этой причине редактор надеется, что и в настоящем своем виде сборник сможет представить известный интерес для лиц, интересующихся современным развитием статистической физики необратимых процессов.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие........................... 5
Литература ........................ 9
1. Л. В а н - X о в. Квантовомеханические возмущения и кинетическое
уравнение (Перевод А. Г. Миронова)............. 10
§ 1. Введение......................... 10
§ 2. Характерное свойство возмущения............ 13
§ 3. Переходы первого порядка................ 15
§ 4. Переходы второго порядка................ 19
§ 5. Схемы диагональных переходов.............. 20
§ 6. Схемы переходов общего вида.............. 23
§ 7. Применимость к конечным системам............ 28
§ 8. Начальные условия других типов............. 30
§ 9. Средние значения..................... 32
§ 10. Эффекты интерференции и обратимости.......... 33
§11. Заключительные замечания................ 36
Литература........................ 38
2. Р. Куб о. Статистическая механика необратимых процессов. I. Общая теория и некоторые простые приложения к задачам магнетизма и электропроводности (Перевод Ш. М. Когана) 39
§ 1. Введение ......................... 39
§ 2. Отклик и адмиттанс изолированной системы........ 42
§ 3. Функция релаксации и другие полезные формулы для случая канонического ансамбля ................ 48
§ 4. Функции корреляции.................... 55
§ 5. Простые примеры..................... 57
§ 6. Соотношения симметрии.................. 60
§ 7. Флуктуационно-диссипационная теорема.......... 62
§ 8. Правила сумм....................... 65
§ 9. Соотношения Эйнштейна.................. 70
Литература......................... 71
3. Р. Куб о, М. Иокота и С. Накажима. Статистическая механика необратимых процессов. II. Реакция на термическое возмущение (Перевод Ш. М. Когана)............... 73
§ 1. Введение.......................... 73
§ 2. Применение гипотезы Онзагера. Классический случай .... 74
§ 3. Применение гипотезы Онзагера.............. 77
§ 4. Явления переноса в электронном газе ........... 83
Литература........................ 88
4. Р. Куб о, X. ХасегаваиН. Хашицуме. Квантовая теория
гальваномагнитных явлений. I. Обоснование теории (Перевод
А. Г. Миронова)........................ 89
§ 1. Введение.......................... 89
§ 2. Динамика электрона.в кристалле при наличии магнитного
поля............................ 91
§ 3. Общее выражение для тензора проводимости........ 95
§ 4. ^-представление и 5 •— ^-представление тензора проводимости. Иллюстрация на простой модели........... 98
§ 5. Связь проводимости с миграцией центра.........t- 106
§ 6. Способы приближенного рассмотрения в случае сильного магнитного поля........................ 111
§ 7. Заключение........................ 117
Приложение........................ 118-
Литература........................ 119
5. В. Кон и Дж. Люттингер. Квантовая теория электрических
явлений переноса. I. (Перевод В. Б. Сандомирского)..... 121
§ 1. Введение.......................... 121
§ 2. Математическая формулировка задачи........... 123
§ 3. Высшие приближения................... 135
§ 4. Электроны в поле периодического потенциала....... 143.
Приложение А. Подробное обоснование формы „ускорительного" члена ....................... 149
Приложение Б. Теорема об усреднении по ансамблю .... 155
Приложение В. Разложение коммутатора С......... 158
Приложение Г. Нестационарные явления.......... 160
Приложение Д. Джоулево тепло.............. 165.
Приложение Е. Квантовые статистики........... 166-
Литература........................ 169.
6. Дж. Люттингер и В. Кон. Квантовая теория электрических
явлений переноса. II. (Перевод В. Б. Сандомирского)..... 170;
§ 1. Введение ......................... 170'
§ 2. Общий метод....................... 171
§ 3. Вычисление столкновительных членов........... 183
§ 4. Вычисление полевых членов................ 194
§ 5. Кинетическое уравнение.................. 195
Приложение А. Разложение оператора рассеяния...... 197
Приложение Б. Разложение коммутатора.......... 198
Приложение В. Свойства операторов рассеяния....... 203
Литература........................ 207
7. Д. Г р и н в у д. Кинетическое уравнение в теории электропро-
водности металлов (Перевод Ш. М. Когана)......... 208
§ 1. Введение ......................... 208
§ 2. Матрица плотности и кинетическое уравнение ....... 209
§ 3. Общая теория....................... 216'
ПриложениеА....................... 220
ПриложениеБ....................... 222
Литература........................ 224
8. М. Л э к с. Обобщенная теория подвижности (Перевод А. Г. Ми-
ронова) ....................... ..... 225
§ 1. Введение ......................... 225
§ 2. Возмущенная матрица плотности.............. 226
§ 3. Ток............................ 228
§ 4. Доказательство эквивалентности обычной теории явлений
переноса для случая слабого взаимодействия ........ 230
§ 5. Формула Найквиста.................... 232
§ 6. Переход от многоэлектронной к одноэлектронной формулировке ........................... 236
§ 7. Выводы.......................... 238
Литература........................ 239
9. С. Эдварде. Новый метод вычисления электропроводности
металлов (Перевод Ш. М. Когана).............. 240
§ 1. Введение ......................... 240
§ 2. Постановка задачи..................... 240
§ 3. Расчет........................... 243
§ 4. Обсуждение результатов.................. 252
Литература........................ 254
10. Э. Адаме и Т. Гольстейн. Квантовая теория поперечных
гальваномагнитных явлений (Перевод В. Л. Гуревича) . . . 255
§ 1. Введение ......................... 255
§ 2. Волновые функции и плотность тока............ 256
§ 3. Вычисление матрицы плотности.............. 259
§ 4. Электропроводность.................... 263
§ 5. Формулы для гальваномагнитных коэффициентов в квантовом случае......................... 265
§ 6. Осцилляционные гальваномагнитные эффекты........ 274
§ 7. Обсуждение результатов.................. 284
ПриложениеА....................... 292
ПриложениеБ....................... 294
ПриложениеВ....................... 295
Литература........................ 296
11. Э. Монтролл и Дж. У орд. Квантовая статистика взаимодей-
ствующих частиц. I. Общая теория и некоторые замечания относительно свойств электронного газа (Перевод В. Л. Гуревича) ............................. 298
§ 1. Введение ......................... 298
§ 2. Постановка задачи..................... 300
§ 3. Сумма состояний системы невзаимодействующих частиц . . 303
§ 4. Сумма состояний системы взаимодействующих частиц . . . 307
§ 5. Вклад кольцевых интегралов в сумму состояний...... 309
§ 6. Некоторые замечания о теории электронного газа..... 320
§ 7. Правила написания групповых интегралов общего вида . . . 325
Приложение 1. Вычисление фермионного интеграла..... 330 •
Приложение 2. Вывод формул в теории Дебая — Гюккеля
по методу Майера...................... 331
Приложение 3. Формулировка с помощью методов теории
поля............................. 333
Литература........................ 334
12. Э. Монтролл и Дж. У орд. Квантовая статистика взаимодействующих частиц. II. Групповое разложение кинетических
коэффициентов (Перевод В. Л. Гуревича)........... 336
§ 1. Введение......................... 336
§ 2. Теория кинетических коэффициентов Кубо......... 337
§ 3. Формула для проводимости................. 338
§ 4. Выражение проводимости через функцию распространения . 340
§ 5. Двухкомпонентные системы................ 344
§ 6. Формализм Друде для проводимости............ 349
§ 7. Кинетическое уравнение.................. 350
Литература........................ 361
