Персональные ЭВМ (ПЭВМ) широко внедряются в науку и технику, образование, управленческую деятельность, технологические процессы и т.д. Эффективность применения ПЭВМ связана в первую очередь с программным обеспечением, как с наличием готовых пакетов системных и прикладных программ, так и со способностью пользователя адаптировать их к решению конкретных задач.
Математическое моделирование процессов и явлений в различных областях науки и техники является одним из основных способов получения новых знаний и технологических решений. Для осуществления математического моделирования исследователь независимо от его специальности должен знать определенный минимальный набор алгоритмов вычислительной математики, а также владеть способами их программной реализации на ПЭВМ. Такие знания и навыки необходимы также и при использовании готовых пакетов программ, иначе будут затруднительными планирование вычислительного эксперимента и интерпретация его результатов.
В настоящее время имеется обширная литература по методам вычислений, программированию, на алгоритмических языках. Однако сравнительно небольшое количество изданий объединяет эти два направления.
Из книг по вычислительной математике универсального содержания, предназначенных для лиц, не являющихся специалистами в этой области, отметим [1], в которой доступность изложения сочетается с достаточной строгостью и практической направленностью излагаемых алгоритмов. Популярность [1] среди научных работников и инженеров проявляется в многочисленных ссылках на нее в научных публикациях, связанных с вычислительным экспериментом при математическом моделировании в различных областях науки и техники. В последние годы издан ряд книг, где представлен широкий спектр методов и алгоритмов [2-7], а также работ, в которых более углубленно даны отдельные разделы вычислительной математики [8-15]. Среди книг, объединяющих изложение вычислительных алгоритмов с их реализацией на языке Бейсик, отметим [16-17], а на языке Фортран -[18-21]. Подобные работы с программами на языке Паскаль, где были бы представлены систематически методы вычислительной математики, автору не известны.
При работе на ПЭВМ широко используются языки программирования Бейсик, Фортран и Паскаль, каждый из которых имеет определенные преимущества и недостатки.
Так, для Бейсика характерны слабая структурированность, сравнительно медленная скорость выполнения программ вычислительных алгоритмов,
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ..................... 3
; ГЛАВА 1. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.......... 7
1.1. Отделение корней....... ........ 7
1.2. Метод дихотомии................ 13
. 1.3. Метод хорд.................. 18
1.4. Метод Ньютона (метод касательных).......... 23
1.5. Метод секущих................. 31
j 1.6. Метод простых итераций . ,............ 36
ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ........... 41
2.1. Метод Гаусса с выбором главного элемента
для решения СЛАУ................ 41
2.2. Итерационные методы решения СЛАУ.......... 47
2.3. Вычисление определителей............. 51
2.4. Вычисление элементов обратной матрицы........ 54
2.5. Вычисление собственных значений матриц........ 58
ГЛАВАЗ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ .......Г . . 65
3.1. Интерполяция каноническим полиномом......... 65
3.2. Интерполяционный полином Лагранжа ......... 72
3.3. Интерполяционный полином Ньютона.......... 75
3.4. Применение интерполяции для решения уравнений .'..... 81
3.5. Интерполяционный метод определения собственных
значений матрицы................ 87
3.6. Интерполяция сплайнами.............. 96
ГЛАВА 4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.......... 105
4.1. Общий алгоритм................. 105
4.2. Степенной базис ................. 107
4.3. Базис в виде классических ортогональных полиномов .... 114
4.4. Базис в виде ортогональных полиномов
дискретной переменной функции.....:..... 122
4.5. Линейный вариант МНК.............. 128
! 4.6. Дифференцирование при аппроксимации зависимостей МНК ... 133
ГЛАВА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА............. 135
5.1. Классификация методов.............. 135
5.2. Методы прямоугольников.............. 137
5.3. Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену .... 143
5.4. Метод трапеций................. 145
5.5. Метод Симпсона................ 149
5.6. Вычисление интегралов с заданной точностью....... 154
5.7. Применение сплайнов для численного интегрирования .... 157
5.8. Методы наивысшей алгебраической точности ....... 162
5.9. Несобственные интегралы............. 168
5.10. Методы Монте-Карло............... 172
ГЛАВА 6. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ................. 176
6.1. Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений . . 176
6.2. Метод Эйлера................. 177
6.3. Методы Рунге-Кутты второго порядка.......... 182
6.4. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка......... 188
6.5. Метод Рунге-Кутты-Мерсона............. 192
6.6. Метод Адамса...............- . . 197
6.7. Метод Гира.................. 203
ГЛАВА 7. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ.............. 209
7.1. Метод конечных разностей для линейных граничных задач . . . 209
7.2. Метод стрельбы для граничных задач.......... 216
7.3. Граничные задачи на собственные значения
для обыкновенных дифференциальных уравнений...... 223
7.4. Метод стрельбы для задачи на собственные значения .... 226
7.5. Метод конечных разностей для задачи на
собственные значения ............... 233
7.6. Граничная задача для дифференциального уравнения
в частных производных ............. 237
ГЛАВА 8. БЕЗУСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ....... 246
8.1. Метод золотого сечения.............. . 246
8.2. Метод координатного спуска............ 252
8.3. Метод градиентного спуска............. 257 !
ЛИТЕРАТУРА.................... 263
ПЕРЕЧЕНЬ ПРОГРАММ.................. 267
I
