Математический каледоскоп-Г.штейнгауз Москва 1949 | ||||
ПРЕДИСЛОВИЕ Это — не систематический курс какой-нибудь области математики и не популярное изложение математических вопросов. Это — только книжка с картинками. Содержание картинок взято, главным образом, из элементарной математики. Есть картинки, относящиеся и к высшей математике, но их смысл понятен будет всякому без больших затруднений. Есть и такие картинки, которые не имеют тесной связи с известными научными теориями. Как надписи в кино-фильме, так и текст каждой «темы» служит только для пояснения рисунков и фотографий. Кто заинтересуется ими, тот, может быть, задумается над некоторыми вопросами и попытается на них ответить. Этих вопросов немного, и по большей части они нетрудны. Но есть и потруднее. Есть даже такие, на которые ни один человек сегодня не умеет ещё ответить. Прогулка по зоологическому саду — не зоология в учебном смысле слова. Однако мне кажется, что нужно сначала заинтересоваться животными, а потом уже заниматься их классификацией и анатомией. Сад открыт для всех, в том числе и для тех, кто смотрит на животных только для развлечения. Поэтому не беда, если кто-нибудь скажет, что мои картинки — не математика. Кто их пересмотрит с начала до конца, тот, быть может, подметит то общее, что их объединяет. А это и есть математика. Г. Штейнгауз ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА. Популярная книжка известного польского математика Г. Штейнгауза «Kalejdoskop matematyczny» посвящена «занимательным» вопросам математики. Обычно в занимательных книгах по математике бывает много постороннего материала, шутливых рассказов и т. д., которые к математике не имеют никакого отношения. В этой же книге автор с большим вкусом подбирал только математический материал и преподнёс его читателю в форме, развивающей его любознательность и пытливость. * Он выделил из большого количества математических идей и понятий такие, которые легче всего поддаются выпуклому, наглядному изображению, требующему лишь минимальных словесных пояснений. Перевод к настоящему изданию был сделан под непосредственным наблюдением автора, который внёс ряд изменений и дополнений. Таким образом, некоторые из изложенных здесь «тем» появляются впервые. С другой стороны, здесь исключён материал, не имеющий специального математического интереса, например, стереоскопические двухцветные рисунки — анаглифы, хорошо известные советским читателям. Опущены также библиографические ссылки на источники, из которых автор черпал часть материала, так как перечень их далеко не полный и носит случайный характер. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . . ,........ ^ От издательства......... 4 1. Четыре дощечки ....... 5 2. Из двух квадратов — один ... 6 3. Из одног* ковра — два .... 6 4. Заполнение плоскости различ- ными квадратами....... 7 5. Заполнение прямоугольника раз- ными квадратами.....' . 9 6. Седьмая часть треугольника . . 9 7. «Заметание» треугольника пря- мой линией......... 10 8. Игра в шашки на девяти клетках 10 9. <Волк и овцы»......... 11 10. Шахматный эндшпиль Бергера . 12 11. Математический эндшпиль ... 13 12. Числа — гиганты....... 14 13. Задача о восьми ферзях .... 16 14. Задача о пяти ферзях..... 16 15. Ходом коня.......... 17 16. Расстановка 36 офицеров ... 18 17. Игра в пятнадцать...... 18 18. «Решётка целых чисел» .... 20 19. Темперированная гамма рояля . 22 20. Номограмма без чисел..... 24 21. Номограмма с масштабной ли- нейкой ........... 25 22. Номограмма фотографов .... 26 23. Суммы двоичных чисел .... 27 24. Взвешивание четырьмя гирями . 28 25. Вечное движение бильярд- ного шара......... 28 26. Когда шар попадёт в лузу? . . 29 27. В шар от трёх бортов..... 30 — / 28. Кратчайший путь охотника . . 31 29. Золотое сечение........ 32 30. Числа Фибоначчи....... 34 31. Числа Фибоначчи в растущем дереве........... 34 32. Заполнение плоскости шести- угольниками ........ 35 33. Задача о сборной команде ... 35 34. Переливание вина тремя сосу- дами ............ 37 35. Однородные паркетажи из пра- вильных многоугольников . . 39 36. Неоднородные паркетажи ... 41 37. Звёздчатые правильные много- угольники ......... 43 38. Взаимные фигуры Кремоны . . 44 39. Школа для трёх деревень ... 47 40. Инверсор ........... 49 41. Построения без помощи линейки 50 42. Построение без помощи циркуля 51 43. Доказательство невозможности . 52 44. Выпрямление окружности ... 53 45. Лонгиметр.......... 54 46. Форма пчелиных сот..... 56 47. Две системы окружностей ... 57 48. Загадка с монетой....... 58 49. След движения точки на катя- щейся окружности..... 58 50. Циклоиды.......... . 59 51. Эвольвента окружности .... 60 52. Спираль Архимеда...... 61 53. Переход вращательного движе- ния в прямолинейное .... 62 54. Наибольшая площадь при данном 55. Новый способ вычислять пло- щади ........... 62 56. Теорема Минковского о выпук- лых фигурах........ 63 57. Сколько точек решётки захва- тит фигура?........ 64 58. Теорема о трёх любых фигурах 65 59. Кривые постоянной ширины . 67 60. Конхоида Никомеда..... 68 61. Улитка Паскаля....... 69 62. Конические сечения..... 70 63. Эллипс........... 71 64. Парабола и эллипс на биоскопе 71 65. Образование синусоиды ... 72 66. Трактриса и псевдосфера ... 74 67. Замечательные плавающие тела 76 68. Описанный и вписанный квад- раты ............ 77 69. Линия, целиком заполняющая квадрат .......... 78 70. Тетраэдр.......... 80 71._Куб............. 81 72. Теорема Польке . "...... 82 73. Сечение куба по шестиугольнику 83 74. Задача о пауке и мухе .... 83 75. Кристаллы соли ....... 86 76. Окраска граней куба..... 86 77. Вращение куба........ 87 78. Октаэдр........... 88 79. Додекаэдр.......... 90 80. Икосаэдр.......... 91 81. Взаимное соответствие правиль- ных многогранников .... 92 82. Кристаллы — неправильные многогранники ........ 94 83. Многогранник, ограниченный ромбами.......... 97 84. Звёздчатый многогранник . . 98 85. Заполнение пространства пра- вильными многогранниками . 98 86. Задача о сборной команде для четырёх клубов....... 99 87. Различные кладки шаров ... 100 88. Мыльные пузыри....... 102 89. Форма Луны.......... 103 90. Локсодрома и ортодрома . . . 104 91. Карта Меркатора...... 105 92. Стереографическая проекция . 106 93. Логарифмическая спираль . . 107 94. Центральная проекция .... 108 95. Дефект географических карт . 109 96. Однополостный гиперболоид . 109 97. Кратчайшая линия на конусе . 110 98. Винтовая линия....... 112 99. Кривая с остриями...... 113 100. Замечательное свойство про- странственной кривой. ... 113 101. Бесконечный винт...... 114 102. Винтовая поверхность .... 114 103. Свойство плоскости, цилиндра и шара........... 115 104. Пространственный четырёх- угольник .......... J15 105. Гиперболический параболоид. 116 106. Катеноид .......... 118 107. Цепная линия........ 119 108. «Кёнигсбергские мосты» . . . 120 109. Задача о девяти тропинках . . 122 110. Два вида узлов....... 124 111. Сплетённые шнуры...... 125 112. Лист Мёбиуса........ 126 113. Разрез листа Мёбиуса .... 126 114. Двухсторонняя поверхность . . 127 115. Замечательная поверхность . . 128 116. Проблема четырёх красок . . 129 117. Раскрашивание тора..... 129 118. Изотермы и адиабаты .... 130 119. Треугольник Паскаля .... 132 120. «Лягушечий строй»...... 135 121. Кривая размножения бацилл . 136 122. Эмпирическая кривая..... 137 123. Центр тяжести палки..... 138 124. В разные стороны...... 139 125. Опыт с пуговицей...... 140 Приложения: 1. Ключ к шахматной задаче (к № 11) 2. Масштабная линейка (к № 21) 3. Лонгиметр (к № 45) 4. Биоскоп (к № № 49, 50 и 64) 5. Тор (к № 117) 6. Диск (к № 124) |