Можно многое узнать, исследуя рисунок 14, на котором изображены остроугольный треугольник ABC, центр O описанной вокруг него окружности, ортоцентр H и ортотреугольник DEF.
Рис. 14. |
.
Таким образом, отрезок HD является биссектрисой угла EDF.
Из тех же соображений получаем, что отрезок HE делит пополам угол FED, а отрезок HF — угол DFE. Поэтому мы можем сформулировать следующий весьма интересный результат: высоты в треугольнике являются биссектрисами его ортотреугольника. Этот результат можно иначе записать в следующем виде:
Теорема 1.61. Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Мы уже отметили на рисунке 14, что . А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Аналогично показывается перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA.
1. △AEF ∽ △DBF ∽ △DEC ∽ △ABC (рис. 14).
2. Нарисуйте другой вариант рисунка 14, в котором угол при вершине A — тупой. Какое из вышеприведенных заключений должно быть изменено?
3. Ортоцентр тупоугольного треугольника является центром вневписанной окружности к ортотреугольнику.
4. .