§ 2. Теорема Чевы

§ 2. Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Таким образом, если в треугольнике ABC X, Y и Z — точки, лежащие на сторонах BC, CA, AB соответственно, то отрезки AX, BY, CZ являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1678 году опубликовал следующую очень полезную теорему:

Теорема 1.21. Если три чевианы AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника ABC конкурентны, то

$\frac{\left|BX\right|}{\left|XC\right|}·\frac{\left|CY\right|}{\left|YA\right|}·\frac{\left|AZ\right|}{\left|ZB\right|}=1$.

Когда мы говорим, что три прямые (или отрезка) конкурентны, то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через P. Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников. Ссылаясь на рисунок 3, мы имеем:

$\frac{\left|BX\right|}{\left|XC\right|}=\frac{S_{ABX}}{S_{AXC}}=\frac{S_{PBX}}{S_{PXC}}=\frac{S_{ABX}-S_{PBX}}{S_{AXC}-S_{PXC}}=\frac{S_{ABP}}{S_{CAP}}$.

Аналогично,

$\frac{\left|CY\right|}{\left|YA\right|}=\frac{S_{BCP}}{S_{ABP}}\text{,}\frac{\left|AZ\right|}{\left|ZB\right|}=\frac{S_{CAP}}{S_{BCP}}$.

Теперь, если мы перемножим их, то получим

$\frac{\left|BX\right|}{\left|XC\right|}·\frac{\left|CY\right|}{\left|YA\right|}·\frac{\left|AZ\right|}{\left|ZB\right|}=\frac{S_{ABP}}{S_{CAP}}·\frac{S_{BCP}}{S_{ABP}}·\frac{S_{CAP}}{S_{BCP}}=1$.

Теорема, обратная к этой теореме, также верна:

Теорема 1.22. Если три чевианы AX, BY, CZ удовлетворяют соотношению

$\frac{\left|BX\right|}{\left|XC\right|}·\frac{\left|CY\right|}{\left|YA\right|}·\frac{\left|AZ\right|}{\left|ZB\right|}=1$,

то они конкурентны.

Чтобы это показать, предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке P, как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку P, будет CZ′. Тогда, по теореме 1.21,

$\frac{\left|BX\right|}{\left|XC\right|}·\frac{\left|CY\right|}{\left|YA\right|}·\frac{|AZ\prime |}{|Z\prime B|}=1$.

Но по предположению

$\frac{\left|BX\right|}{\left|XC\right|}·\frac{\left|CY\right|}{\left|YA\right|}·\frac{\left|AZ\right|}{\left|ZB\right|}=1$.

Следовательно,

$\frac{\left|AZ\right|}{\left|ZB\right|}=\frac{|AZ\prime |}{|Z\prime B|}$ ,

точка Z′ совпадает с точкой Z, и мы доказали, что отрезки AX, BY и CZ конкурентны ([13], стр. 54 и [42], стр, 48, 317).

Упражнения

1. Если X, Y, Z, — середины сторон, то соответствующие им три чевианы конкурентны.

2. Чевианы, перпендикулярные противоположным сторонам, конкурентны.

3. Пусть ABC и A′B′C′ — два неконгруэнтных треугольника, соответствующие стороны которых параллельны, как на рисунке 4. Тогда три прямые АА′, ВВ′, СС′ конкурентны. (Такие треугольники называются гомотетичными. Мы рассмотрим их далее, в § 7 гл. 4.)

4. Пусть AX — чевиана длины p, причем |BX| = m и |XC| = n, как на рисунке 5. Тогда

$a(p^2+mn)=b^{2}m+c^{2}n$.

Указание. Сложите выражения для косинусов двух дополнительных углов в точке x через стороны треугольников ABX и CAX соответственно. Этот результат называется теоремой Стюарта в честь М. Стюарта, который сформулировал ее в 1746 году. Возможно, что она была открыта Архимедом около 300 г. нашей эры, но первое известное доказательство было дано Р. Симсоном в 1751 году.