§ 1. Обобщенная теорема синусов

§ 1. Обобщенная теорема синусов

Теорема синусов — это тригонометрическая теорема, которой мы будем часто пользоваться. К сожалению, она обычно появляется в учебниках в урезанной форме, и в этом виде она не приносит всей той пользы, которую могла бы дать обобщенная теорема. Поэтому мы позволим себе доказать теорему синусов в желательной для нас форме.

Мы начинаем с треугольника ABC (обозначенного обычным способом) и описываем вокруг него окружность с центром в точке O и радиусом R, как показано на рисунках 1 и 2. Проведем диаметр CJ и хорду BJ. В обоих случаях ∠CBJ — прямой, так как он вписан в полукруг. Следовательно, на обоих рисунках

$\sin \hat{J}=\frac{a}{\left|CJ\right|}=\frac{a}{2R}$.

На рисунке 1 Ĵ = Â, поскольку углы J и A опираются на одну и ту же дугу окружности. На рисунке 2 Ĵ = 180° − Â, потому что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными. Вспоминая, что $\sin \theta =\mathrm{180°}-\theta$, получим, что в обоих случаях sin Ĵ = sin Â, следовательно, sin  = a/2R, т. е.

$\frac{a}{\sin \hat{A}}=2R$.

Та же самая процедура, примененная к другим углам треугольника ABC дает

$\frac{b}{\sin \hat{B}}=2R\text{,}\frac{c}{\sin \hat{C}}=2R$.

Объединяя результаты, мы можем сформулировать обобщенную теорему синусов следующим образом:

Теорема 1.11. Для треугольника ABC с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:

$\frac{a}{\sin \hat{A}}=\frac{b}{\sin \hat{B}}=\frac{c}{\sin \hat{C}}=2R$.

Упражнения

1. Покажите, что *) для любого треугольника ABC, даже если угол В или С тупой, $a=b\cos \hat{C}+c\cos \hat{B}$. Используйте теорему синусов для вывода «формулы сложения»

$\sin (\hat{B}+\hat{C})=\sin \hat{B}·\cos \hat{C}+\sin \hat{C}·\cos \hat{B}$.

2. В любом треугольнике ABC

$a(\sin \hat{B}-\sin \hat{C})+b(\sin \hat{C}-\sin \hat{A})+c(\sin \hat{A}-\sin \hat{B})=0$.

3. В любом треугольнике ABC S_ABC = abc/4R.

4. Пусть p и q — радиусы двух окружностей, проходящих через точку A и касающихся стороны BC в точках B и C соответственно. Тогда pq = R².

*) В следующих упражнениях для экономии места мы опускаем слова «Покажите, что» или «Докажите, что». Таким образом, каждое упражнение, появляющееся в форме теоремы, нужно доказать.