Яблонский А. А.
Я14 Курс теоретической механики. Ч. П. Динамика. Изд. 4-е, дополн., Учебник для высших технических учебных заведений. М., «Высшая школа», 1971.
488 стр. с илл.
Четвертое издание учебника составлено в полном соответствии с новой программой курса. В связи с этим несколько расширен раздел аналитической механики. Дополнительно включены канонические уравнения, принцип Гамильтона и ряд других вопросов новой программы.
Для иллюстрации практического применения основных положений курса приведено решение большого числа примеров, имеются вопросы для самоконтроля.
Все необходимые методические указания для самостоятельного изучения курса содержатся в пояснениях к решению задач.
Предназначается для студентов очных и заочных высших технических учебных заведений.
2-4-2 531
314-1970
ПРЕДИСЛОВИЕ
В программу основного курса теоретической механики за последнее время стали включаться вопросы аналитической механики, не входившие ранее в традиционный курс теоретической механики.
Это объясняется тем, что для решения многих сложных задач, выдвигаемых современной техникой, приходится не только использовать основные положения курса теоретической механики, но и общие методы аналитической механики.
В связи с этим в четвертое издание настоящего учебника включены две новые главы, посвященные каноническим уравнениям Гамильтона и вариационным интегральным принципам механики. Включение в учебник именно этих глав курса аналитической механики объясняется тем, что этот материал входит в обязательную программу курса теоретической механики для некоторых специальностей, а в ряде институтов эти вопросы изучаются факультативно.
Настоящий учебник составлен в полном соответствии с новой программой курса теоретической механики для высших технических учебных заведений и рассчитан на студентов очной и заочной систем обучения.
Наряду с изложением теоретического материала, в учебнике имеется подробное решение 100 задач основных типов и даны вопросы для самоконтроля.
Решение всех примеров выполнено в единицах системы
мкс.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие .................................... 3
Глава I. Введение в динамику........................ 5
§ 1. Предмет динамики. Краткий исторический обзор развития динамики 5
§ 2. Основные законы механики (законы Галилея—Ньютона) ....... 8
1. Закон инерции ............................. 8
2. Закон пропорциональности силы и ускорения ........... 9
3. Закон равенства действия и противодействия............ 11
4. Закон независимости действия сил .................. 14
Системы механических единиц измерения................ 10
Вопросы для самоконтроля ........................ 15
Глава II. Динамика свободной материальной точки ............ 16
§ 3. Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки
в декартовых координатах ......................... 16
§ 4. Естественные уравнения движения материальной точки........ 17
§ 5. Две основные задачи динамики точки.................. 17
§ 6. Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха....... 20
§ 7. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха.............................. 21
§ 8. Движение падающего тела с учетом сопротивления воздуха ..... 24
§ 9. Пример интегрирования дифференциальных уравнений движения точки
для случая силы, зависящей от времени ................ 26
§ 10. Пример интегрирования дифференциального уравнения движения материальной точки для случая силы, зависящей от положения точки 28 Вопросы для самоконтроля........................ 31
Глава III. Колебательное движение материальной точки......... 32
§ 11. Виды колебательных движений материальной точки. Свободные колебания материальной точки ........................ 32
§ 12. Свободные колебания груза, подвешенного к пружине..... 35
§ 13. Примеры на свободные колебания.................... 37
§ 14. Затухающие колебания материальной точки ,............. 42
§ 15. Апериодическое движение точки..................... 47
— 480 -
Стр.
§ 16. Вынужденные колебания материальной точки ............. 50
1. Фаза вынужденных колебаний..................... 54
12. Амплитуда вынужденных колебаний ................. 55
§ 17. Явление биений.............................. 57
§ 18. Явление резонанса............................. 58
§ 19. Примеры на вынужденные колебания.................. 59
§ 20. Влияние сопротивления движению на вынужденные колебания ... 63
1. Исследование вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению ................................ 67
2. Частота и период вынужденных колебаний ............. 67
3. Фаза вынужденных колебаний..................... 67
4. Амплитуда вынужденных колебаний ................. 68
Вопросы для самоконтроля ........................ 72
Глава IV. Динамика несвободной материальной точки........... 74
§ 21. Несвободная материальная точка. Связи и динамические реакции
связей.................................... 74
§ 22. Дифференциальные уравнения движения материальной точки по заданной неподвижной поверхности .................... 77
§ 23. Дифференциальные уравнения движения материальной точки по заданной плоской неподвижной линии................... 79
§ 24. Математический маятник и его малые колебания............ 82
§ 25. Примеры на движение несвободной материальной точки ....... 84
Вопросы для самоконтроля........................ 88
Глава V. Динамика относительного движения материальной точки .... 89 § 26. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. Переносная и кориолисова силы инерции ......... 89
§ 27. Принцип относительности классической механики. Инерциальные системы отсчета................................ 93
§ 28. Случай относительного покоя. Сила тяжести.............. 94
§ 29. Отклонение падающих тел к востоку .................. 96
§ 30. Примеры на относительное движение материальной точки....... 99
Вопросы для самоконтроля ........................ 105
Глава VI. Система материальных точек. Твердое тело. Моменты инерции
твердого тела............................ 106
§ 31. Силы, действующие на точки механической системы.......... 106
§ 32. Центр масс системы материальных точек и его координаты...... 107
§ 33. Твердое тело ................................ 108
§ 34. Моменты инерции твердого тела. Радиус инерции........... 109
§ 35. Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей................................... 111
§ 36. Вычисление моментов инерции однородных тел относительно осей, проходящих через их центры тяжести и являющихся осями симметрии ...................................... 113
1. Момент инерции однородного тонкого стержня ........, , 113
- 481 -
2. Момент инерции однородной круглой пластинки малой толщины if'
3. Момент инерции однородного круглого цилиндра......... .
4. Момент инерции полого цилиндра............... .
г- .1 ' ' * 1 16
5. Момент инерции однородного кругового конуса.......... ..
6. Моменты инерции однородного шара................ ,.
37. Формула для вычисления момента инерции твердого тела относительно любой оси, проходящей через начало координат. Центробежные моменты инерции........................... цд
38. Эллипсоид инерции. Главные оси и главные моменты инерции .... 120
39. Свойства главных и главных центральных осей инерции........ 122
40. Вычисление моментов инерции твердого тела относительно произвольных осей................................... J25
' 41. Примеры вычисления моментов инерции однородных тел относительно
произвольных осей............................. 125
Вопросы для самоконтроля ........................ 132
^лава VII. Теорема о движении центра масс механической системы . . . 133
) 42. Дифференциальные уравнения движения механической системы .... 133
j 43. Теорема о движении центра масс механической системы........ 133
j 44. Примеры, иллюстрирующие теорему о движении центра масс механической системы................................ 136
1. Движение человека по горизонтальной плоскости.......... 136
2. Движение локомотива или автомобиля по горизонтальному пути 136
3. Действие пары сил на свободное твердое тело............ 137
4. Откатывание орудия при выстреле................... 137
§ 45. Примеры применения теоремы о движении центра масс механической
системы ................................... 138
Вопросы для самоконтроля ........................ 143
Глава VIII. Теоремы об изменении количества движения материальной
точки и количества движения механической системы .... 144
§ 46. Импульс силы и его проекции на координатные оси.......... 144
§ 47. Импульс равнодействующей........................' 146
§ 48." Теорема об изменении количества движения материальной точки . . . 146 § 49. Примеры применения теоремы об изменении количества движения
материальной точки............................. 148
§ 50. Теорема об изменении количества движения механической системы
и ее применение к сплошной среде. Теорема Эйлера......... 150
§ 51. Примеры применения теоремы об изменении количества движения механической системы.............................. 155
§ 52. Понятие о теле переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула
Циолковского................................ 160
Вопросы для самоконтроля ........................ 165
Глава IX. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки и об изменении кинетического момента механической системы........................... 166
§ 53. Моменты количества движения материальной точки относительно центра
и относительно оси........................,,.,• 1"°
— 482 —
Стр.
§ 54. Теорема об изменении момента количества движения материальной
точки..................................... 167
§ 55. Кинетический момент механической системы относительно центра и
оси...................................... 173
§ 56. Теорема об изменении кинетического момента механической системы 174 § 57. Кинематическая интерпретация теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра. Теорема Разаля 178
Вопросы для самоконтроля ........................ 179
Глава X. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии...... 180
§ 58. Две меры механического движения.................... 180
§ 59. Работа постоянной силы . ......................... 181
§ 60. Элементарная работа. Работа силы на конечном пути. Теоремы о работе силы. Изображение работы в виде площади............ 182
Теоремы о работе силы .......................... 185
Изображение работы в виде площади................... 186
§ 61. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения ....... 188
1. Работа силы тяжести.......................... 188
2. Работа силы упругости......................... 189
3. Работа силы тяготения ......................... 190
§ 62. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки ... 191 § 63. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении........................... 193
§ 64. Примеры применения теоремы об изменении кинетической энергии
материальной точки............................. 193
§ 65. Работа сил, приложенных к твердому телу............... 194
1. Работа внутренних сил......................... 197
2. Поступательное движение твердого тела................ 198
3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.......... 198
4. Общий случай движения свободного твердого тела........ . 200
§ 66. Сопротивление качению .......................... 201
§ 67. Теорема о кинетической энергии механической системы в общем случае ее движения (теорема Кенига) .................... 202
§ 68. Кинетическая энергия твердого тела................... 204
1. Поступательное движение твердого тела................ 204
2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.......... 204
3. Плоское движение твердого тела.................... 205
4. Сферическое движение твердого тела.................. 205
5. Общий случай движения твердого тела................ 205
§ 69. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы 203
§ 70. Механический коэффициент полезного действия машины........ 207
§ 71. Примеры применения теоремы об изменении кинетической энергии
механической системы ........................... 208
Вопросы для самоконтроля........................ 215
Глава XI. Потенциальное силовое поле................... 217
§ 72. Силовое поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция. По-
--..,.,„,.„-,(, чнеогия............,,,,,,,.,....... 217
Стр.
§ 73. Примеры потенциальных силовых полей................. 221
1. Поле силы тяжести........................... 221
2. Поле центральной силы......................... 223
§ 74. Закон сохранения механической энергии................. 224
§ 75. Движение точки под действием центральной силы притяжения. Закон
площадей. Уравнение Бине ........................ 225
§ 76. Поле силы тяготения. Вид траектории точки в зависимости от начальных условий движения. Законы Кеплера ................ 228
§ 77. Понятие о траекториях искусственных спутников Земли........ 232 "
Вопросы для самоконтроля ........................ 235
Глава XII. Динамика поступательного и вращательного движений твердого тела......................'....... 236
§ 78. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела 236 § 79. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси ........
Сохранение кинетического момента вращающейся системы. Скамейка Жуковского
236
.................................. 241
§ 81. Физический маятник и его малые колебания.............. 242
§ 82. Опытное определение моментов инерции тел............... 246
1. Способ качаний ............................. 247
2. Способ крутильных колебаний..................... 248
3. Способ падающего груза........................ 249
§ 83. Примеры применения теоремы об изменении кинетического момента
механической системы........................... 251
Вопросы для самоконтроля ........................ 255
Глава XIII. Динамика плоского движения твердого тела......... 256
§ 84. Теорема о зависимости между кинетическими моментами механической системы относительно неподвижного центра и относительно центра масс
системы ................................... 256
§ 85. Теорема об изменении кинетического _момента механической системы
в относительном движении по отношению к центру масс....... 260
§ 86. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела . . . 263
§ 67. Примеры плоского движения твердого тела............... 264
Вопросы для самоконтроля........................ 273
Глава XIV. Динамика сферического и свободного движений твердого тела 274 § 88. Кинетические моменты твердого тела относительно неподвижной точки
и координатных осей при его сферическом движении......... 274
§ 89. Дифференциальные уравнения сферического движения твердого тела
(динамические уравнения Эйлера).................... 275
§ 90. Понятие о гироскопе. Кинетический момент быстро вращающегося
гироскопа ................................ 278
§ 91. Гироскоп с тремя степенями свободы.................. 279
§ 92. Случай регулярной прецессии...................... 281
§ 93. Гироскоп с двумя степенями свободы. Гироскопический момент . . . 283
§ 94. Примеры гироскопических явлений................... 286
— 484 —
Стр.
§ 95. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела 289 Вопросы для самоконтроля........................ 291
Глава XV. Теория удара........................... 292
§ 96. Явление удара............................... 292
§ 97. Действие ударной силы на материальную точку............ 292
§ 98. Теорема об изменении количества движения механической системы
при ударе.................................. 293
§ 99. Удар шара о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления при ударе............................... 295
§ 100. Прямой центральный удар двух тел................... 298
§ 101. Потеря кинетической энергии при ударе двух тел. Теорема Карно . . 302 § 102. Теорема об изменении кинетического момента механической системы
при ударе.................................. 304
§ 103. Действие ударных сил на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, и на твердое тело, совершающее плоское движение . . . 306 § 104. Центр удара твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 307
§ 105. Примеры действия ударных сил..................... 311
Вопросы для самоконтроля ........................ 315
Глава XVI. Принцип Германа—Эйлера—Даламбера для материальной
точки и для механической системы.............. 317
§ 106. Принцип Германа—Эйлера—Даламбера для материальной точки ... 317 § 107. Примеры применения принципа Германа—Эйлера—Даламбера .... 318 § 108. Принцип Германа—Эйлера—Даламбера для несвободной механической системы ................................ 321
§ 109. Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду 322
1. Поступательное движение....................... 323
2. Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к этой плоскости .................................. 324
3. Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг центральной оси, перпендикулярной к этой плоскости .................................. 326
4. Плоское движение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии ............................. 327
§ ПО. Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Вращение твердого тела вокруг его главной центральной оси инерции.................. 328
§ 111. Примеры применения принципа Германа—Эйлера—Даламбера для
механической системы........................... 332
Вопросы для самоконтроля ........................ 333
Глава XVII. Принцип возможных перемещений.............. 339
§ 112. Обобщенные координаты в число степеней свободы........... 339
§ 113. Возможные (виртуальные) перемещения механической системы. Идеальные связи ............................... 341
— 485 —
§ 114. Принцип возможных перемещений.................... «?*
§ 115. Применение принципа возможных перемещений к простейшим маши-
нам..................................... 345
1. Полиспасты................,..........., зд,
2. Клиновый пресс............................ 347
3. Винтовой пресс............................. 343
4. Стержневой пресс........................... 349
§ 116. Примеры применения принципа возможных перемещений к определению реакций связей ............................ 350
Вопросы для самоконтроля........................ 361
Глава XVIII. Общее уравнение динамики................... 362
§ 117. Принцип возможных перемещений в случае движения системы. Общее
уравнение динамики............................ 362
§ 118. Примеры применения общего уравнения динамики .......... 364
§ 119. Обобщенные силы и примеры их вычисления.............. 372
§ 120. Выражение обобщенных сил через проекции сил на неподвижные
оси декартовых координат. Случай сил, имеющих потенциал . . . 375
§ 121. Общее уравнение динамики в обобщенных силах. Условия равновесия сил................................... 378
§ 122. Примеры применения условия равновесия консервативной систем