Элементарная математика с точки зрения высшей Т. I.- Клейн Ф. М.1987.— 432 с. | ||||
Элементарная математика с точки зрения высшей Т. I.- Клейн Ф. М.1987.— 432 с. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х томах. Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ: Пер. с нем./Под ред. В. Г. Болтянского. — 4-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 432 с. Книга выдающегося немецкого математика Феликса Клейна занимает особое место в популярной литературе по математике. Она в доходчивой и увлекательной форме рассказывает о тонких математических понятиях, о методике преподавания математики в школе (средней и высшей), об интересных фактах из истории науки, о собственных взглядах автора на математику и ее роль в прикладных вопросах. Первый том посвящен вопросам арифметики, алгебры, анализа. Автор рассматривает понятие числа (целого, рационального, иррационального), особо останавливаясь на тех «мостиках», которыми можно соединить вузовское и школьное преподавание математики. Написанная в форме лекций для учителей, книга и за давностью лет не потеряла своей значимости, свежести, привлекательности. 3-е изд. выходило в 1935 г. Для студентов-математиков, преподавателей, научных работников в просто любителей математики. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора...............5 Введение.....................15 АРИФМЕТИКА 20 20 23 26 35 37 37 I. Действия над натуральными числами .... 1. Введение чисел в школе....... 2. Основные законы арифметических действий 3. Логические основы теории целых чисел . 4. Практика счета с целыми числами .... II. Первое расширение понятия числа ... 1. Отрицательные числа..............- 2. Дроби...................45 3. Иррациональные числа.............49 III. Особые свойства целых чисел...........57 1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании ..................57 2. Простые числа и разложение на множители . . 61 3. Обращение простых дробей в десятичные . • т т--пчоиир лпоби......... Лчл^.то . ра 4. Непрерывные дроби 5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма..... 6. Задача о делении окружности на равные части . . . 7. Доказательство невозможности построения правильного ика цикулем и линейкой ........ 62 64 69 75 Доказательство невозможна ш ..^.,__ семиугольника циркулем и линейкой ........ 78 IV, Комплексные числа................85 1. Обыкновенные комплексные числа.........85 2. Высшие комплексные числа, в особенности кватернионы 88 3. Умножение кватернионов и преобразование поворотного растяжения в пространстве............99 4. Комплексные числа в преподавании........112 V. Современное развитие и строение математики вообще . .114 1. Два различных ряда эволюции, по которым параллельно развивался математический анализ.......114 2. Краткий обзор истории математики........118 АЛГЕБРА Введение.....................127 I. Уравнения с действительными неизвестными......127 1. Уравнения, содержащие один параметр......127 2. Уравнения с двумя параметрами.........129 3. Уравнения с тремя параметрами.........137 4 ОГЛАВЛЕНИЕ II. Уравнения в области комплексных чисел......147 A. Основная теорема алгебры............148 B. Уравнение с одним комплексным параметром . . . ! 151 1. Двучленное уравнение г" = w.........159 2. Уравнение диэдра ...............166 3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра.....173 4. Продолжение; вывод уравнений.........178 5. О решении нормальных уравнений........186 6. Униформизация нормальных уравнении посредством трансцендентных функций............190 7. Разрешимость в радикалах...........197 8. Сведение общих уравнений к нормальным .... 202 АНАЛИЗ I. Логарифм и показательная функция........206 1. Систематика алгебраического анализа.......206 2. Историческое развитие учения о логарифме.....209 3. Некоторые замечания о школьном преподавании . . . 222 4. Точка зрения современной теории функций ..... 224 П. О тригонометрических функциях..........233 1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме.................233 2. Тригонометрические таблицы..........243 3. Применения тригонометрических функций.....249 III. Исчисление бесконечно малых в собственном смысле слова 295 1. Общие замечания относительно исчисления бесконечно малых....................295 2. Теорема Тейлора...............315 3. Замечания исторического и педагогического характера 331 ПРИЛОЖЕНИЯ I. Трансцендентность чисел е и я...........334 1. Исторические замечания.............334 2. Доказательство трансцендентности числа е.....336 3. Доказательство трансцендентности числа я.....343 4. Трансцендентные и алгебраические числа......352 II. Учение о множествах............. 355 1. Мощность множества ........'.'..'.. 355 2. Порядок элементов множества.......... 372 3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в школе........378 Примечания....................382 Именной указатель............... 426 Предметный указатель................429 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА Феликс Клейн (1849—1925) принадлежит к числу математиков-классиков, обогативших науку новыми идеями и в значительной степени определивших ее современное лицо. В области геометрии XIX век ознаменовался, прежде всего, значительным расширением наших взглядов на пространство и предмет геометрии. Если раньше господствовало представление о том, что научные факты, теоремы, законы в точности описывают свойства единственного мыслимого, волею творца созданного пространства *), то XIX век не только поколебал, но и полностью опрокинул эти идеалистические взгляды. И начало этому было положено работами нашего выдающегося соотечественника Н. И. Лобачевского. Лобачевский, открывший новую геометрию, отличную от евклидовой, неизбежно пришел к вопросу о том, какова же геометрия реального пространства, подошел к пониманию того, что евклидова геометрия может лишь приближенно описывать свойства реального пространства, которое в действительности является значительно более сложным. И его эксперименты по вычислению суммы углов огромного космического треугольника — яркоа свидетельство этого. Работы Лобачевского открыли перед математиками целый новый мир, позволили искать новые и новые геометрии, и это вскоре ознаменовалось появлением римановой геометрии, введением нормированных, топологических и многих других пространств. Вместе с тем был один пробел в математическом наследия Лобачевского, существенность которого он сам отлично понимал. Речь идет о доказательстве непротиворечивости его «воображаемой геометрии». Вместо построения необходимой для этого модели Лобачевскому удалось построить другую модель: оказалось, что на предельной сфере пространства Лобаческого реализуется планиметрия Евклида. Какая горькая ирония судьбы! Для того чтобы «узаконить» свою геометрию, Лобачевскому нужна была «обратная» модель, реализующая все соотношения его геометрии *) Этих взглядов придерживался и великий Ньютон. Приведем несколько цитат из книги: К л а и н М. Математика — утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — С. 72—73: «Как и все математики и естествоиспытатели того времени, Ньютон верил в то, что бог сотворил мир в соответствии с математическими принципами... изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и власти могущественнейшего и премудрого существа... господь бог — искусный математик и физик... Задача науки состоит в том, чтобы раскрыть блистательные замыслы творца». |