Данко П. Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1: Учеб", пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данк9- — 6-е изд. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 304 с.: ил.
ISBN 978-5-488-01070-3 (ООО «Издательство Оникс»)
ISBN 978-5-488-01071-0 (Часть 1)
ISBN 978-5-94666-366-3 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
ISBN 978-5-94666-367-0 (Часть I)
Содержание первой части охватывает следующие разделы программы: аналитическую геометрию, основы линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление функций одной переменной, элементы линейного программирования.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
5
Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1. Прямоугольные и полярные координаты ............ 6
§ 2. Прямая........i.........• •........ 15
§ 3. Кривые второго порядка......-..•..'.......... 25
§ 4. Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка....., , . .................. 32
§ 5. Определители второго и третьего порядков и системы линейных
уравнений с двумя и тремя неизвестными........... 39
Глава П. Элементы векторной алгебры , '
§ 1. Прямоугольные координаты в пространстве........... 44
§ 2. Векторы и простейшие действия над ними............ 45
§ 3. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение . . 48
Глава 111. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 1. Плоскость и прямая...................... 53
§ 2. Поверхности второго порядка. ................. 63
Глава IV. Определители и матрицы
§ 1. Понятие об определителе л-го порядка............. 70
§ 2. Линейные преобразования и матрицы.............. 74
§ 3. Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка................... 81
§ 4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы............ 86
§ 5. Исследование системы т линейных уравнений с п неизвестными . 88 § 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса ..... 91 § 7. Применение метода Жордана—Гаусса к решению систем линейных уравнений . . , , ,.......,...........• 94
Глава V. Основы линейной алгебры
§ 1. Линейные пространства.................... 103
§ 2. Преобразование координат при переходе к новому базису ... 109
§ 3. Подпространства........................... 111'
§ 4. Линейные преобразования................... 115
§ 5. Евклидово пространство.................... 124
§ 6. Ортогональный базис и ортогональные преобразования..... 128
§ 7. Квадратичные формы............'........ 131
Глава VI. Введение в анализ
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности- . ',......... 136
§ 2. Функция одной независимой переменной............ 137
§ 3. Построение графиков функций.................. 140
§ 4. Пределы............................ 142
§ 5. Сравнение бесконечно малых.................. 147
§ 6. Непрерывность функции . <. •...........••••• 149
3
Глава VII. Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной
§ 1. Производная и дифференциал................. 151
§ 2. Исследование функций.................... 167
§ 3. Кривизна плоской линии................... 183
§ 4. Порядок касания плоских кривых............... 185
§ 5. Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная . . . 185 § 6. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизна и кручение.................... . . • , 188
Глава УЩ. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных
§ 1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня . . 192
§ 2. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных . 193
§ 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ... . • . . 203
§ 4. Экстремум функции двух независимых' переменных , . . . . . . 204
Глава IX. Неопределенный интеграл
§ 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям............. . ........ 203
§ 2. Интегрирование рациональных дробей . -........... 218
§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций ..... 229
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций ......... 234
§ 5. Интегрирование разных функций............... 242
Глава X. Определенный интеграл
§ 1. Вычисление определенного интеграла....... ....... 243
§ 2. Несобственные интегралы................... 247
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры.............. 251
4. Вычисление длины дуги плоской кривой.......... . . 254
5. Вычисление объема тела.................... 255
6. Вычисление площади поверхности вращения .......... 257
7. Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур . 258
8. Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена . . . 260
9. Вычисление работы и давления................ 262
10. Некоторые сведения о гиперболических функциях ....... 266
Глава XI. Элементы линейного программирования
§ 1. Линейные неравенства и область решений системы .линейных неравенств .....•..................... 271
2. Основная задача линейного программирования ........ . 274
3. Симплекс-метод........................ 276
4. Двойственные задачи . . ................... 287
9 5. Транспортная задача..................... 288
Ответы................................ 294
ПРЕДИСЛОВИЕ
При написании книги «Высшая математика в упражнениях и задачах» авторы стремились раскрыть содержание основных понятий и теорем курса на специально подобранных упражнениях и задачах.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения, состоящие из, определений и основных математических понятий данного раздела. При этом наиболее трудные вопросы теории для лучшего усвоения сопровождаются раскрытием этих понятий (без доказательств).
В пособие включены типовые задачи, для наглядности сопровождаемые иллюстрациями, и подробно рассматриваются методы их решения. На все задачи для самостоятельной работы даны ответы. В приложении приводятся таблицы, необходимые при решении некоторых задач.
В книге используются следующие обозначения: начало и конец решения задачи отмечаются соответственно знаками Л и А, а вместо слова «Указание» употребляется знак •.
При создании настоящего пособия авторы использовали некоторые методические приемы и задачи из книг: Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. I—III; Курант Р. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. I, II; Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. «Сборник задач по высшей математике», т. I—III; Демидович Б. П. и др. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу»; Фролов С. В., Шостак Р. Я. «Курс высшей математики».
Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю признательность студентам и преподавателям высших учебных, заведений, рецензентам всех изданий книги, чьи поправки, критические замечания и предложения способствовали улучшению данного пособия.
Авторы
