Данко П. Е.
17 Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2: Учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П. Данко. — 6-е изд. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 416 с.: ил.
ISBN 978-5-488-OI070-3 (ООО «Издательство Оникс»)
ISBN 978-5-488-01072-7 (Часть 2)
ISBN 978-5-94666-366-3 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
ISBN 978-5-94666-389-2 (Часть 2)
Содержание второй части охватывает следующие разделы программы: кратные и криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию функций комплексного переменного, операционное исчисление, методы вычислений, основы вариационного исчисления.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество за^ач для самостоятельной работы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Двойные и тройные интегралы
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах ,...... 6
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле.......... 10
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры........... 14
§ 4. Вычисление объема тела.................; • 16
§ 5. Вычисление площади поверхности............. 17
§ 6. Физические приложения двойного интеграла ,........ 20
§ 7. Тройной интеграл...............•..... 23.
§ 8. Приложения тройного интеграла.............. 28
§ 9. Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование
И интегрирование под знаком интеграла.......... 30
§ 10. Гамма-функцня. Бета-функция............... 35
Глава II. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
§ 1. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам . . 42 § 2. Независимость криволинейного интеграла II рода от контура интегрирования. Нахождение функции по ее полному дифференциалу ........................ 47
§ 3» Формула Грина...................... 50
§ 4. Вычисление площади . '................... 51
§ 5. Поверхностные интегралы...........'....... 52
§ 6. Формулы Стокса и Остроградского—Гаусса. Элементы теории
поля........................... 56
Глава III. Ряды
§ 1. Числовые ряды....................... 66
§ 2. Функциональные ряды................... 77
§ 3. Степенные ряды...................... 81
§ 4. Разложение функций в степенные ряды........... 86
§ 5. Приближенные вычисления значений функции с помощью степенных рядов . ........v................ 91
§ 6. Применение степенных рядов к вычислению пределов и определенных интегралов.................... 95
§ 7. Комплексные числа и ряды с комплексными числами..... 97
| 8. Ряд Фурье......................... 106
§ 9. Интеграл Фурье...................... ИЗ
Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка ....... 117
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков ....... 139
§ 3. Линейные уравнения высших порядков........... 145
§ 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 161
§ 5. Системы дифференциальных уравнений ........... 166
Глава V. Элементы теории вероятностей
§ 1. Случайное событие, его частота и вероятность. Геометрическая
вероятность........................ 176
3
§. 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная; .-, '
вероятность...................... ".'.-,' . . '.,.. . 179
§ 3. Формула Бернуллн. Наивероятнейшее числа наступлений' события....................,...;.. 183
§ 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса . . . . .',• . . 186
§ 5. Случайная величина и закон ее распределения ....... 188
§ 6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины 192
§ 7. Мода и медиана ..•'.............. . . ... 195
§ 8. Равномерное распределение................ 196
§ 9. Биномиальный закон ^распределения. Закон Пуассона . . . . 197 § 10. Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция
надежности........................ 200
11. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа ..... 202
12. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины .... 206
13. Закон больших чисел.................. . 210
14. Теорема Муавра—Лапласа................. 213
15. Системы случайных величин.......... . . .... 214
$ 16. Линии регрессии. Корреляция............... 223
§ 17. Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных....................... . 228
§ 18. Нахождение законов распределения случайных величин на
основе опытных данных.................. 240
Глава VI. Понятие об уравнениях в частных производных
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных........................... 260
§ 2. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду............... 262
§ 3. Уравнение колебания струны................ 265
§ 4. Уравнение теплопроводности................ 272
§ 5. Задача Дирихле для круга................. 278
Глава VII. Элементы теории функций комплексного переменного
§ 1. Функции комплексного переменного.............. 282
§ 2. Производная функции комплексного переменного...... 285
§ 3. Понятие о конформном отображении............ 287
§ 4. Интеграл от функции комплексного переменного....... 291
§ 5. Ряды Тейлора и Лорана.................. 295
§ 6. Вычисление вычетов функций. Применение вычетов к вычислению интегралов...................... 300
Глава VIII. Элементы операционного исчисления
§ I. Нахождение изображений функций............. 305
§ 2. Отыскание оригинала по изображению.........>. . 307
§ 3. Свертка функций. Изображение производных и интеграла от
оригинала......................... 310
§ 4. Применение операционного исчисления к решению некоторых
дифференциальных и интегральных уравнений........ 312
§ 5. Общая формула обращения................. 315
§ 6. Применение операционного исчисления к решению некоторых
уравнений математической физики ............. 316
Глава IX. Методы вычислений
§ I. Приближенное решение уравнений . . . .'......... 321
§ 2. Интерполирование............'.'......... ЗЗС
§ 3. Приближенное вычисление определенных интегралов..... 33-
$ 4: Приближенное вычисление кратных интегралов ....... 33i
§ 5. Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных
н кратных интегралов................... 350
§ 6. Численное интегрирование дифференциальный уравнений . . . 362
§ 7. Метод Пикара последовательных приближений........ 368
§ 8. Простейшие способы обработки опытных данных....... 370
X. Основы вариационного исчисления
§ 1. Понятие о функционале................... 385
§ 2. Понятие о вариации функционала.............. 386
§ 3. Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера . . ............... 387
§ 4. Функционалы,. зависящие от производных высших порядков 393 § 5. Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой
переменной ......... ............... 394
§ 6. Функционалы, зависящие от функций двух независимых переменных................... ....... 395
§ 7. Параметрическая форма вариационных задач......... 396
§ 8. Понятие о достаточных условиях экстремума функционала . . . 397
Ответы..............................".398
Приложение............................ 409
Литература...................................... 416
