Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я.
,17 Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. I: Учеб. пособие для студентов втузов. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. школа, 1980. — 320 с., ил. В пер.: 85 к.
Содержание I части охватывает следующие разделы программы: аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве (с элементами векторной алгебры); основы линейной алгебры; дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных; интегральное исчисление функций одной независимой переменной; элементы линейного программирования.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы.
Предназначается для студентов высших технических учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию........................ 5
Из предисловий к первому и второму изданиям............... 5
Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1. Прямоугольные и полярные координаты................. 6
& 2. Прямая.................................... 1|
S 3. Кривые второго порядка...............:.......... л>
§ 4. Преобразование координат и упрощение уравнении кривых второго
порядка.............................•„...... 33
§ 5. Определители второго и третьего порядков и системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными................... 40
Глава //. Элементы векторной алгебры
§ 1. Прямоугольные координаты в пространстве................ 47
§ 2. Векторы и простейшие действия над ними................ 48
§ 3. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение .... 51
Глава Iff. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 1. Плоскость и прямая............................. 57
§ 2. Поверхности второго порядка....................... 68
Глава IV. Определители и матрицы
§ 1. Понятие об определителе n-го порядка.................. 76
§ 2. Линейные преобразования и матрицы................... 81
§ 3. Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка ........................... 89
§ 4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы.................. 95
§ 5. Исследование системы т линейных уравнений с п неизвестными ... 97
§ 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса......... 101
§ 7, Применение метода Жордана — Гаусса к решению систем линейных
уравнений .................................. 105
Глава V. Основы линейной алгебры
§ 1. Линейные пространства........................... 115
§ 2. Преобразование координат при переходе к новому базису....... 121
§ 3. Подпространства............................... 123
§ 4. Линейные преобразования ......................... 127
§ 5. Евклидово пространство.......................... 137
§ К. Ортогональный базис и ортогональные преобразования......... 140
§ 7. Квадратичные формы............................ 144
Глава VI. Введение в анализ
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности................ 149
§ 2. Функция одной независимой переменной................. 150
§ 3. Построение графиков функций...................... 153
§ 4. Пределы ......................'............. 154
§ 5. Сравнение бесконечно малых .' .' .' .' .' .' .................. 160
§ о. Непрерывность функции.......................... 162
1* ' ч
Глава VII. Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной
§ 1. Производная и дифференциал....................... 165
§ 2. Исследование функций........................... 181
§ 3. Кривизна плоской линии.......................... 197
| 4. Порядок касания плоских кривых ... *................ 199
§ 5. Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная....... 200
§ 6. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизна и
кручение................................... 203
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных
§ 1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня..... 208
§ 2. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных . . . 209
§ 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . . ;........ 219
§ 4. Экстремум функции двух независимых переменных........... 221
*
Глава IX. Неопределенный интеграл
§ 1. Непосредственное интегрирование. Замгна переменной и интегрирование по частям................................ 225
§ 2. Интегрирование рациональных дробен.................. 235
§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций......... 246
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций.............. 251
§ 5. Интегрирование разных функций..................... 259
Глава X. Определенный интеграл
§ 1. Вычисление определенного интеграла.................. 260
§ 2. Несобственные интегралы......................... 264
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры................. 269
§ 4. Вычисление длины дуги плоской кривой................ 270
§ 5. Вычисление объема тела ......................... 271
§ 6. Вычисление площади поверхности вращения.............. 273
§ 7. Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур . . , 274
§ 8. Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена...... 277
§ 9. Вычисление работы и давления..................... 279
§ 10. Некоторые сведения о гиперболических функциях........... 283
Глава XI Элементы линейного программирования
' § 1. Линейные неравенства и область решений системы линейных неравенств 287
§ 2. Основная задача линейного программирования.............. 290
§ 3. Симплекс-метод............................... 292
§ 4. Двойственные задачи............................ 303
§ 5. Транспортная задача............................ 305
Ответы ....................................... 310
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
По сравнению со вторым изданием книги, вышедшем в 1974 г. в двух частях» бы in сделаны следующие изменения и дополнения.
В соответствии с новой программой в I часть включена глава «Основы линейной ачгебры», в которой приводятся задачи, связанные с понятиями линейного пространства и линейного преобразования, евклидова пространства, ортогонального преобразования и приведения к каноническому виду квадратичных форм. Кроме того, в I часть перенесена глава «Элементы линейного программирования». Во II часть добавлены следующие разделы: интегралы, зависящие от параметра; гамма- и бета-функции; определение законов распределения случайных величин- на основе опытных данных; применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений математической физики; основные приближенные методы вычисления кратных интегралов, включая метод Монте-Карло. Увеличено число задач по двойным интегралам, по элементам теории поля и по теории вероятностей. Наконец, сделаны улучшения методического и редакционного характера, а также исправлены замеченные опечатки,
Авторы
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ К ПЕРВОМУ И ВТОРОМУ ИЗДАНИЯМ
При написании книги «Высшая математика в упражнениях и задачах» авторы стремились раскрыть содержание основных понятий и теорем курса на систематически подобранных упражнениях и задачах.
В пособие включены типовые задачи и даются методы их решения. Каждому параграфу предшествует краткое введение, состоящее из определений и основных математических понятий рассматриваемого раздела. При этом наиболее трудные вопросы теории для лучшего усвоения сопровождаются раскрытием этих понятий (без доказательства).
Первое издание в трех частях вышло в 1967 —1971 гг. Вторсе издание в двух частях вышло в 1974 г. Содержание I части охватывает следующие разделы: аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве, элементы векторной и линейной алгебры, введение в анализ, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких независимых переменных, неопределенные и определенные интегралы, а также некоторые сведения о гиперболических функциях. Содержание II части охватывает следующие разделы: кратные и криволинейные интегралы, ряды, обыкновенные дифференциальные уравнения, элементы теории вероятностей, понятие об уравнениях в частных производных, элементы теории функций комплексного переменного, элементы операционного исчисления, методы вычислений и элементы линейного программирования.
При написании пособия авторы использовали некоторые методические приемы и задачи из книг: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I —III; Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, II; Гюнтер Н. М. и Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике, т. I —III; Демидович Б. П. и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу; Фролов С. В., Шостак Р. Я. Курс высшей математики.
За помощь в оформлении учебного пособия и проверки правильности ответов к задачам авторы признательны всему коллективу сотрудников кафедры высшей математики Ростовского-на-Дону института инженеров железнодорожного тран-
Авторы
