Бакушинский А. Б., Власов В. К.
19 . Элементы высшей математики и численных методов. Учебное пособие для учащихся 9—10 классов' математических школ. Под ред. проф. И. С. Бере-; зина. М., „Просвещение", 1968. 336 с. с илл. 50 коп.
Книга представляет собой учебное пособие для учащихся IX—X классов специальных школ и курсов лаборантов-программистов и посвящена теоретическим обоснованиям различных методов, применяемых программистами в своей работе. Пособие содержит элементы математического ана- • лиза, элементы теории погрешностей, решение систем линейных алгебраических уравнений методами итераций, Эйлера, Рунге-Кутта. Теоретические положения иллюстрированы практическими примерами.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие................................. 1
Глава I. Элементарная теория погрешностей
§ 1. Множества. Вещественные числа.............. 9
§ 2. Источники ошибок. Абсолютная и относительная погрешность числа......................'•... 11
§ 3. Правила округления...................... 14
§ 4. Действия над приближенными числами.......... 15
Глава II. Понятие о функции одной переменной
§ 1. Определение функциональной зависимости....... 21
§ 2. Способы задания функциональной зависимости..... 22
§ 3. Ограниченность, периодичность, четность, монотонность функции.......................... 26
Глава III. Числовые последовательности и пределы. Числовые ряды
§ 1. Числовые последовательности................ 34
§ 2. Предел последовательности.................. 35
§ 3. Некоторые теоремы о пределах последовательностей 40
§ 4. Числовые ряды ......................... 45
§ 5. Некоторые признаки сходимости рядов с положительными членами.......................... 49
§ 6. Знакочередующиеся ряды. Абсолютно сходящиеся ряды 54
Глава IV. Непрерывность функции
§ 1. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины....................... 57
§ 2. Непрерывные функции..................... 68
§ 3. Простейшие свойства непрерывных функций ...... 71
§ 4. Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке 73
Глава V. Линейные алгебраические уравнения,и методы ^ их решения
§ 1. Системы линейных алгебраических уравнений...... 76
§ 2. Действия над матрицами.................... 78
§ 3. Определители матриц...................... 84
§ 4. Свойств-а определителей.................... 86
§ 5. Теорема Крамера .............,.......... 104
§ 6. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли ....... 108
§ 7. Метод исключения- для -решения систем - линейных
алгебраических уравнений (метод Гаусса)........ 115
§ 8. Итерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений .................. 122
Глава VI. Теория интерполирования
§ 1. Понятие об интерполировании. Основная теорема об
интерполировании многочленами .............. 136
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.....; . . . 139
§ 3. Интерполяционные многочлены для равноотстоящих
узлов................................ 142
Глава VII. Производная функции одной переменной
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной...... 154
§ 2. Производная суммы, произведения, частного...... 158
§ 3. Производные элементарных функций........... 161
§ 4. Замечательные пределы.................., . 167
§ 5. Производные показательной функции, логарифма и
гиперболических функций .................. 174
§ 6. Производные сложных функций............... 176
§ 7. Производные обратных функций.............. 179
§ 8. Производные высших порядков. Формула Лейбница. . 185
§ 9. Дифференциал функции.................... 191
\ Глава VIII. Основные теоремы дифференциального исчисления
§ 1. Теорема Ферма......................... 195
§ 2. Теорема Ролля.......................... 197
§ 3. Теорема Лагранжа.....,................. 198
Глава IX. Исследование функций при помощи производных. Формула Тейлора. Функциональные ряды
§ 1. Возрастание и убывание функции. Точки максимума
и минимума............................203
§ 2. Аналитические признаки максимума и минимума. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба.....205
§ 3. Формула Тейлора для многочленов и произвольных
функций..............................209
§ 4. Остаточный член формулы Тейлора ............ 212
§ 5. Функциональные ряды. Ряды Тейлора...........218
*• Глава X. Функции многих переменных
§ 1. Определение функции нескольких переменных.....1223
§ 2. Непрерывные функции нескольких переменных .... 226 § 3. Частные производные.....................230
Глава XI. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
§ 1. Введение................ ... ^ ......... 233
§ 2. Метод последовательного деления отрезка пополам . . 234 § 3. Итерационные методы приближенного решения уравнений................................ 235
Глава XII. Неопределенный интеграл
§ 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. . 245
§ 2. Простейшие приемы интегрирования...........247
§ 3. Интегрирование рациональных функций.........251
Глава XIII. Определенный интеграл
§ 1. Понятие определенного интеграла. Простейшие свойства определенного интеграла........^........262
§ 2. Интегрируемость кусочно-монотонной функции.....272
§ 3. Интеграл с переменным .верхним пределом. Существование неопределенного интеграла..............276
§ 4. Некоторые геометрические и физические приложения
определенного интеграла...................279
Глава XIV. Приближенное вычисление определенных интегралов
§ 1. Приближенные формулы для вычисления определенных
интегралов............................286
§ 2. Остаточные члены, квадратурных формул ......... 292
5
Глава XV. Дифференциальные уравнения
§ 1. Основные понятия.......................296
§ 2. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши для уравнения у' =f(x, у).........300
§ 3. Уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах ................................301
§ 4. Дифференциальные уравнения в физике.........309
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.......... 312
§ 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений .......................•........326
Приложение. Метод полной математической индукции.....332
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге сделана попытка отобрать и доступно изложить те разделы математики (в том числе и вычислительной), которые не входят в обычные программы общеобразовательных средних школ, но которые, по мнению авторов, необходимо знать лаборанту-программисту. Поэтому книгу можно рассматривать как учебное пособие для учащихся школ и различных курсов, готовящих программистов. Кроме того, лица со средним образованием могут ее использовать для самостоятельного ознакомления с элементами высшей математики и методов вычислений.
Особенностью книги является тесное переплетение вопросов вычислительной математики и математического анализа. Разделы вычислительной математики помещены обычно после необходимых для их изучения разделов анализа.
В конце параграфов приведены иллюстрирующие материал упражнения, которых, однако, недостаточно для глубокого усвоения курса. Большое количество подходящих упражнений можно найти, например, в следующих задачниках:
В. П. Ми но рек и и. Сборник задач по высшей математике. М., «Наука», 1964.
Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., «Наука», 1965.
7
