ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 1. Введение
234. Основные понятия . ^........................... Н
235. Простейшие теоремы........................... 13
§ 2. Сходимость положительных рядов
236. Условие сходимости положительного ряда ..........• • •• 15
237. Теоремы сравнения рядов.......................• 17
238. Примеры..................'................• 19
239. Признаки Коши и Даламбера....................... 21
240. Признак Раабе ............................... 24
241. Интегральный признак Маклорена — Коши . •,........... 2^»
§ 3. Сходимость произвольных рядов -
242. Принцип сходимости . . . ...................... • • • 29
243. Абсолютная сходимость.......................... 30
244. Знакопеременные ряды........................... 32
§ 4. Свойства сходящихся рядов
245. Сочетательное свойство.......................... 34
246. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов • • • • 36
247. Случай неабсолютно сходящихся рядов................. 37
248. Умножение рядов.............................. 40
§ 5. Бесконечные произведения
249. 'Основные понятия.............................43
250. Простейшие теоремы. Связь с рядами................. 45
251. Примеры................. . •.........• •..... 4?
§ 6. Разложения элементарных функций в степенные ряды
252. Ряд Тейлора.................................. 50
253. Разложение в ряд показательной и основных тригонометриче- > ских функций............................• . • ."S2
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
254. Формулы Эйлера . ............................. 53
255. Разложение арктангенса........................... 55
256. Логарифмический ряд........................... 56
257. Формула Стирлинга............................. 57
258. Биномиальный ряд........................^. . . . 59
259. Замечание об исследовании дополнительного члена........ 61
§ 7. Приближенные вычисления с помощью рядов
260. Постановка вопроса............................ 62
261. Вычисление числа тс . . .......................•. • • 64
262. Вычисление логарифмов.......................... 65
ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
263. Вводные замечания............................. 68
264. Равномерная и неравномерная сходимость.............. 70
265. Условие равномерной сходимости.................... 73
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
266. Непрерывность суммы ряда....................... 75
267. Случай положительных рядов...................... 77
268. Почленный переход к пределу ..................... 78
269. Почленное интегрирование рядов.................... 81
270. Почленное дифференцирование'рядов................. 83
271. Пример непрерывной функции без производной ............ 85
§ 3. Степенные ряды и ряды многочленов
272. Промежуток сходимости степенного ряда .............. 87
273. Непрерывность суммы степенного ряда................ 90
274. Непрерывность на конце промежутка сходимости......... 92
275. Почленное интегрирование степенного ряда............. 94
276. Почленное дифференцирование степенного ряда.......... 95
277. Степенной ряд как ряд Тейлора...................• 97
278. Разложение непрерывной функции в ряд многочленов...... 98
§ 4. Очерк истории рядов
279. Эпоха Ньютона и Лейбница....................... 101
280. Период формального развития теории рядов........... . 104
281. Создание точной теории.......................... ЮЧ
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
к 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
282. Определение интегралов с бесконечными пределами....... НО
283. Применение основной формулы интегрального исчисления. ... 112
284. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы .............. 113
285. Сходимость интеграла в случае положительной функции..... 115
286. Сходимость интеграла в общем случае................. 117
287. Более тонкие признаки .......................... 119
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
288. Определение интегралов от неограниченных функций....... 122
289. Применение основной формулы интегрального исчисления.... 124
290. Условия и признаки сходимости интеграла.............. 125
§ 3. Преобразование и вычисление несобственных интегралов
291. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 128
292. Замена переменных в несобственных интегралах .......... 129
293. Вычисление интегралов с помощью искусственных приемов. . . 132
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА § 1. Элементарная теория
294. Постановка задачи............................. 137
295. Равномерное стремление к предельной функции.......... 138
296. Предельный переход под знаком интеграла............. 140
297. Дифференцирование под знаком интеграла.............. 141
298. Интегрирование под знаком интеграла................ . 143
299. Случай, когда и пределы интеграла <зависят от параметра.... 145
300. Примеры................'. ,.................. 147
§ 2. Равномерная сходимость интегралов
301. Определение равномерной сходимости интегралов . . ....... 148
302. Условие и достаточные признаки равномерной сходимости . . . 150
303. Случай интегралов с конечными пределами............. 152
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов
304. Предельный переход под знаком интеграла............. 154
305. Интегрирование интеграла по параметру............... 157
306. Дифференцирование интеграла по параметру ............ 159
307. Замечание об интегралах с конечными пределами • • т...... 160
308. Вычисление некоторых несобственных интегралов......... 161
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Эйлеровы интегралы •
309. Эйлеров интеграл первого рода..................... 167
310. Эйлеров интеграл второго рода..................... 169
311. Простейшие свойства функции Г . ...........;....... 170
312. Примеры....................................... 175
313. Исторические замечания о перестановке двух предельных операций............':•'••-.......: •.............. 176
ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Неявные функции
314. Понятие неявной функции от одной переменной ..........179
315. Существование и свойства неявной функции.............181
316. Неявная функция от нескольких переменных............185
' 317. Определение неявных функций из системы уравнений......187
318. Вычисление производных неявных функций.............191
§ 2. Некоторые приложения теории неявных функций
319. Относительные экстремумы.....................'• • • 195
320. Метод неопределенных множителей Лагранжа............ 198
. 321. Примеры и задачи.............................199
322. Понятие независимости функций....................201
323. Ранг функциональной матрицы..........• • • •.......203
§ 3. Функциональные определители и их формальные свойства
324. Функциональные определители *....................206
325. Умножение функциональных определителей,.............207
. 326. Умножение неквадратных функциональных матриц.........209
ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Криволинейные интегралы первого типа
327. Определение криволинейного интеграла первого типа.......212
'328. Сведение к обыкновенному определенному интегралу.......214
329. Примеры •...................................216
§2. Криволинейные интегралы второго типа
330. Определение криволинейных'интегралов второго типа ...... 219
331. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго типа.....................................221
ОГЛАВЛЕНИЕ
332. Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости........ 224
333. Примеры................................'. . . . 226
334. Связь между криволинейными интегралами обоих типов ..... 228
335. Приложения к физическим задачам................... 229
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Определение и простейшие свойства двойных интегралов
336. Задача об объеме цилиндрического бруса............... 233
337. Сведение двойного интеграла к повторному . ............ 234
338. Определение двойного интеграла.................... 237
339. Условие существования двойного интеграла............. 238
340. Классы интегрируемых функций......'...,..*......... 240
341. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов .... 242
342. Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование
по области............. ... .............<...... 245
§ 2. Вычисление двойного интеграла
343. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.............................. 247
344. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области..............................251
345. Механические приложения........................ 257
§ 3. Формула Грина
346. Вывод-формулы Грина.. ......................... 260
347. Выражение площади с помощью криволинейных интегралов . . 263
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования ,
348. Интеграл по простому замкнутому контуру.............264
349. Интеграл по кривой, соединяющей две произвольные точки . . 266
350. Связь с вопросом о точном дифференциале .............268
351. Приложения к физическим задачам ....'..............272
§ 5. Замена переменных в двойных интегралах .
352. Преобразование плоских областей................... 274
353. Выражение площади в криволинейных координатах ........278
354. Дополнительные замечания........................ 281
355. Геометрический вывод....................;......283
356. Замена переменных в двойных интегралах ...... . . .... . . 285
, »7. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по. ориентированной
области................................... . 287
358. Примеры....................................288-
359. Исторические замечания.....:...................291
ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Замкнутость и полнота тригонометрической системы функций
413. Приближение функций в среднем. Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье............................. 409
414. Замкнутость тригонометрической системы .~............. 412
415. Полнота тригонометрияеской системы................. 416
416. Обобщенное уравнение замкнутости.................. 417
417. Почленное интегрирование ряда Фурье ................ 418
418. Геометрическая интерпретация..................... 419
5. Очерк истории тригонометрических рядов
419. Задача о колебании струны........................424
420. Решение Даламбера и Эйлера ......................425
421. Решение Тейлора и Д. Бернулли....................427 :
422. Спор по поводу задачи о колебании струны.....„........ . 430
423. Разложение функций в тригонометрические ряды, определение коэффициентов ;................"................ 431
; 424. Доказательства сводимости рядов Фурье и другие вопросы . . . 433 ; 425. Заключительные замечания.....i..................435
ЗАКЛЮЧЕНИЕ •*
ОЧЕРК ДАЛЬНЕЙШЕГО РАЗВИТИЯ ',
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1
I. Теория дифференциальных уравнений................. 436,4
II. Вариационное исчисление.................. . ;.•:. . . ; . . 438 ;
III. Теория функций комплексной переменной............... 441
IV. Теория интегральных уравнений..........'........... 444;
V, Теория функций вещественной переменной.............. 447
VI. Функциональный анализ.........*.....................450 ,
Алфавитный указатель..........................• • • 456 ,
