Книга предназначается в качестве пособия по курсовым и дипломным работам для студентов-математиков университетов. Может быть использована аспирантами и научными сотрудниками, занимающимися методами исследования теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В книге освещены некоторые методы исследования свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений: методы А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре в теории устойчивости, топологические методы, метод интегральных представлений решений, а также даны некоторые сведения из спектральных теорий динамических систем.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге изложен материал специального курса по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Этот курс был прочитан автором в Одесском государственном университете им. Мечникова И. И.
Автор ставил своей задачей познакомить студентов с некоторыми из основных методов современной теории обыкновенных дифференциальных уравнениГт. Этим объясняется заглавие книги и некоторая специфичность изложения. Каждая глава книги освещает определенный метод исследования дифференциальных уравнений и в этом смысле является самостоятельной.
Выдвигая на первое место главные положения того или иного метода, приходилось иногда, во избежание увеличения объема кни1И, ограничиться доказательством лишь некоторых результатов частного вида.
Однако в соответствующих местах книги имеются указания на необходимую литературу, где дано более полное изложение.
Вспомогательный материал из других разделов анализа или полностью приведен в тексте, или разъяснен настолько подробно, что, по мнению автора, читатель получит о нем достаточно полное представление.
Все это сделано для того, чтобы максимально облегчить чтение книги для студентов заочников, иногда не имеющих возможности найти всю обширную литературу.
При изложении некоторых разделов курса, в особенности топологических методов, выдвигается на первое место геометрическая сущность вопроса.
Естественно, что это не могло не отразиться на строгости изложения и на точности определения некоторых понятий.
Поскольку в данной книге изложен материал специального курса теории дифференциальных уравнений, то необходимо было привести не только классические результаты, но и некоторые современные исследования с тем, чтобы дать представление о развитии теории в настоящее время.
Это позволяет использовать материал данной книги в качестве пособия для курсовых и дипломных работ.
Цель, поставленная автором, будет достигнута, если настоящая книга послужит читателю не только для обшего
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................ 3
Глава I. Методы А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре в теории устойчивости.........................., 5
§ 1. Метод кривых и поверхностей без контакта........ Ш
§ 2/Исследование систем линейных уравнений на основе теории
характеристических чисел..............* . . 46
§ 3. Исследование систем линейных уравнений- методами, не свя-
, занными с теорией характеристических чисел........ 49
Глава 11. Топологические методы^................. 70
§ 1. Некоторые сведения из топологии замкнутых поверхностей . 70
§ 2. Одномерная группа Бетти ..... ........... 80
§ 3. Векторное поле на замкнутой ориентируемой поверхности . 97
" § 4. Неподвижные точки непрерывных отображений..... 115
Глава III. Метод интегральных представлений решений ,...... 120
§ 1. Некоторые сведения из теории аналитических функций . . . 120
§ 2. Метод Лапласа....................... 140
§ 3. Асимптотические разложения............... 151
§ 4. Метод исследования нелинейных дифференциальных уравнений, основанный'на теории моментов ............. 170
Глава IV. Основы спектральной теории динамических систем.' • . . 241
§ 1. Некоторые сведения из функционального анализа ... . 241
§ 2. Динамические системы с инвариантной мерой....... 284
Список литературы.......................• , 310
Предметный указатель.......................
