АННОТАЦИЯ
Книга „Современная математика для инженеров* содержит ряд статей по различным вопросам математики, важным с точки зрения приложений к механике, физике, технике. В составлении книги участвовали многие крупные американские математики. Наряду с классическими разделами в ней рассмотрены также и новые области математики, представляющие живой интерес для инженерной практики. В частности, в книге значительное место уделено вероятностно-статистической и вычислительной проблематике (теория предсказания, теория игр, теория динамического планирования и др.).
Основная цель книги — расширить математический кругозор инженера. Книга будет полезна инженерам-теоретикам разных специальностей, студентам старших курсов и аспирантам технических вузов, преподавателям математики в технических вузах. Изложение ряда вопросов представляет интерес и для научных работников-математиков.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Бурный рост техники, свидетелями которого мы являемся, требует от инженеров все более глубокой математической подготовки. Инженер в наши дни должен не только уметь практически решать задачи, укладывающиеся в традиционные рамки, но также формулировать и решать совершенно новые задачи, требующие применения новых математических методов.
По этим причинам математический кругозор инженера в современных условиях должен постоянно расширяться. Именно эту цель и преследует настоящая книга.
Написанная при участии многих крупных американских математиков, она выгодно отличается от известных книг подобного рода как общим замыслом, так и тем, что в ней наряду с классическими разделами рассмотрены также и новые области математики, представляющие живой интерес для инженерной практики. В частности, в книге значительное место уделено вероятностно-статистической и вычислительной проблематике (теория предсказания, теория игр, теория динамического планирования и др.).
Предлагаемую книгу ни в какой степени нельзя считать учебником. В ней дан обзор основных идей и методов тех направлений современной математики, которые теснее других связаны с прикладными областями. Конечно, в ней не могли быть охвачены все интересные направления, но все же многие отрасли математики освещены в достаточной мере широко. В подборе материала и характере изложения существенно отражены личные научные интересы и точки зрения авторов, и это обстоятельство придает книге дополнительный интерес.
Следует сказать, что не все главы книги написаны с одинаковой обстоятельностью. Авторам лучше удались классические разделы, которые составляют первую часть книги. Во второй и третьей частях, которые посвящены сравнительно новым областям, математики, наряду, например, с главой о динамическом планировании, отличающейся большой методичностью и полнотой, имеются главы, написанные весьма бегло и схематично.
1ля чтения книги нужно иметь подготовку по высшей математике по крайней мере в объеме программы втузов, однако не
все разделы читаются одинаково легко. Отдельные главы могут читаться независимо друг от друга.
В русское издание не включены две главы: „Функциональные преобразования в технических расчетах", написанная Дж. Бэрнсом, и „Прикладная математика и исследование операций", написанная Д. Кингом. При этом редакция учитывала, что первая из указанных глав в основном представляет собой обзор книги М. Гарднера и Дж. Бэрнса „Переходные процессы в линейных системах" (Гостех-издат, 1949), известной советским читателям, а также, что по материалу этой главы имеется много доступной литературы на русском языке. Вторая же глава, на наш взгляд, написана столь бегло, что читателю трудно будет составить по ней впечатление о новой и важной отрасли науки, которой она посвящена. Интересующихся этой отраслью мы можем отослать к книге Ф. Морса и Дж. Е. Кимбела „Методы исследования операций", недавно вышедшей в русском переводе (Советское радио, 1956).
При редактировании перевода существенную помощь оказали В. А. Диткин (прочитавший главы, написанные Л. Пайпсом и Ч. Томпкинсом), А. М. Яглом (по главе, написанной Н. Винером), и В. С. Владимиров (по главе, написанной Дж. Брауном). В редактировании всего текста книги участвовал Б. В. Боярский. Всем этим лицам я приношу искреннюю благодарность.
И. Н. Векуа.
К ЧИТА ТЕЛЮ
Современная техника основывается как на научных экспериментальных и теоретических исследованиях, так и на опыте инженерной практики. Промежуток времени между научным открытием и техническим использованием в последние годы чрезвычайно сократился, поэтому инженеру больше чем когда-либо раньше необходимо быть в курсе значительных открытий в областях математики и физики. Преследуя эту цель, технические отделения Калифорнийского университета совместно с научными отделениями организовали серию лекционных курсов по современной физике, математике и химии для сотрудников, студентов и аспирантов с тем, чтобы ознакомить их с научными достижениями. Каждый курс состоит из ряда лекций, составленных профессорами Калифорнийского и других университетов. Нам доставляет удовольствие поделиться с читателем на страницах этой книги ценным опытом, собранным в серии лекций „Современная математика для инженеров".
БОЛДУИН М. ВУДС,
Л. М. К. БЁЛТЕР, МОРРОУ П. О'БРИЕН,
Калифорнийский университет, Лос-Анжелес, Беркли.
Содержание
Предисловие редактора русского перевода .....
К читателю ...........................
Предисловие ..........................
Введение.............................
ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Глава I. Линейные и нелинейные колебания. Соломон Лефшец. (Перевод В. И. Тумаркина)................
§ 1.1. Введение.....................
§ 1.2. Гармонические колебания.............
§ 1.3. Затухающие колебания..............
§ 1.4. Вынужденные колебания.............
§ 1.5. Линейные и нелинейные системы.........
§ 1.6. Некоторые нелинейные системы..........
§ 1.7. Нелинейные колебания в консервативных системах
§ 1.8. Вынужденные нелинейные колебания.......
§ 1.9. Контур мультивибратора . '............
§ 1.10. Математическое исследование нелинейных задач . .
• § 1.11. Приближенные методы..............
§ 1.12. Метод Дуффинга.................
§ 1.13. Метод возмущений, предложенный Пуанкаре . . .
Литература.....................: .
Глава 2. Исследование равновесия. Теория устойчивости Пуанкаре и Ляпунова. Ричард Беллман. (Перевод В. И. Тумаркина) .........................
§ 2.1. Введение.........................
§ 2.2. Теория устойчивости Пуанкаре и Ляпунова........
§ 2.3. Теория устойчивости линейных уравнений.........
§ 2.4. Дифференциально-разностные уравнения..........
§ 2.5. Уравнение теплопроводности . . ..............
Литература ...........................
Глава 3. Внешняя баллистика. Джон В. Грин. (Перевод Г. В. Коренева) .......................... 48
§ 3.1. Введение......................... 48
§ 3.2. Выбор системы координат................. 49
§ 3.3. Аэродинамические силы, действующие на снаряд...... 53
§ 3.4. Уравнения движения................... 60
§ 3.5. Баллистические таблицы и таблицы стрельбы....... 61
§ 3.6. Поправки на малые влияния............... 64
§ 3.7. Бомбометание с самолетов................ 69
§ 3.8. Влияние аэродинамических сил, отличных от силы лобового
сопротивления ...................... 70
§ 3.9. Заключение и обзор литературы.............. 71
Литература........................... 72
Глава 4. Элементы вариационного исчисления. Магнус Р. X е-
стене. (Перевод Л. Д. Кудрявцева)............ 73
§ 4.1. Введение......................... 73
§ 4.2. Некоторые элементарные вариационные задачи...... 74
§ 4.3. Основные задачи. Необходимые условия минимума .... 79
§ 4.4. Вывод уравнения Эйлера................. 82
§ 4.5. Специальные случаи................... 8t>
§ 4.6. Случай, когда подинтегральная функция имеет вид f(x, у) 89
§ 4.7. Принцип Гамильтона................... 90
§ 4.8. Гамильтонианы...................... 94
§ 4.9. Изопериметрическая задача................ 96
§ 4.10. Задачи с подвижными концами.............. 99
§ 4.11. Минимумы функций от интегралов............ 102
§ 4.12. Задача Больца...................... 103
§ 4.13. Задачи с кратными интегралами.............. 106
Литература........................... 108
Глава 5. Гиперболические дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения. Рихард Курант.
(Перевод Н. Д. Введенской)................ 109
§ 5.1. Введение......................... 109
§ 5.2. Связь между дифференциальными уравнениями с частными
производными и действительностью............ 110
§ 5.3. Статистические процессы и дифференциальные уравнения
с частными производными................. 111
§ 5.4. Классификация линейных дифференциальных уравнений
с частными производными. Плоские волны......... 113
§ 5.5. Задача Коши для волнового уравнения.......... 115
§ 5.6. Нелинейные гиперболические уравнения.......... 119
§ 5.7. Конечно-разностный метод................ 123
Литература........................... 128
Глава 6. Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными. Менахем М.
Шиффер. (Перевод Н. Д. Введенской).......... 129
§ 6.1. Что такое корректно поставленная задача для дифференциальных' уравнений с частными производными?...... 129
§ 6.2. Теория теплопередачи; три основные краевые задачи .... 131
§ 6.3. Фундаментальные решения-и функции Грина....... 135
§ 6.4. Принцип максимума, ядро, интеграл Дирихле....... 141
§ 6.5. Примеры из гидродинамики и электростатики....... 148
§ 6.6. Изменение функций Грина с изменением области..... 155
§ 6.7. Изменение функций Грина при изменении коэффициентов
дифференциального уравнения.............. 162
Литература........................... 165
Глава 7. Краевые задачи теории упругости. И. С. Сокольников.
(Перевод Г. И. Баренблатта)............... 166
Постановка задач
§ 7.1. Введение......................... 166
§ 7.2. Два основных типа задач................. 166
§ 7.3. Характеристики смещений; деформация.......... 167
§ 7.4. Характеристики напряженного состояния......... 168
§ 7.5. Условия равновесия................... 169
§ 7.6. Плоские и пространственные задачи............ 170
§ 7.7. Цилиндр; приложенные силы постоянны по его длине ... 171
§ 7.8. Цилиндр; приложенные силы распределены на торцах . . . 173
§ 7.9. Цилиндр; комбинированная задача............'. 174
Метод решения •
§ 7.10. Вычислительные соображения............... 174
§ 7.11. Формулировка задачи в терминах теории функций комплексного переменного..................... 175
§ 7.12. Задача Дирихле...................... 178
§ 7.13. Бигармоническая краевая задача............. 180
§ 7.14. Заключение........................ 182
Литература........................... 183
ЧАСТЬ 2. ТЕОРЕТИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ
Глава 8. Теория предсказания. Норберт Винер. (Перевод
В. М. Золотарева).................... 185
§ 8.1. Временные ряды и причинность............. 185
§ 8.2. Эргодическая теорема.................. 185
§ 8.3. Временные ряды..................... 193
§ 8.4. Предсказание сообщений, заданных не полностью..... 203
§ 8.5. Предсказание в случае непрерывного времени...... 206
§ 8.6. Многомерное предсказание и причинность........ 208
Литература........................... 214
Дополнительная литература................ 215
Глава 9. Теория игр. Г. Фредерик Боненбласт. (Перевод
В. М. Золотарева)......-............. 216
§ 9.1. Введение........................ 216
§ 9.2. Предмет теории..................... 217
§ 9.3. Оптимальные чистые стратегии.............. 219
§ 9.4. Пример из теории планирования............. 220
§ 9.5. Смешанные стратегии.................. 223
§ 9.6. Симметрия; пример тактического выбора момента времени 225
§ 9.7. Соотношение max-min = min-max............ 227
§ 9.8. Приложение к экономике................ 229
§ 9.9. Последовательные приближения............. 232
§ 9.10. Общее понятие стратегии; игра, подобная покеру..... 233
§ 9.11. Заключение....................... 235
Литература........................... 235
Глава 10. Теория динамического планирования. Ричард Белл-
м а н. (Перевод Г. Н. Поварова)............. 237
§ 10.1. Введение........................ 237
§ 10.2. Предварительные рассмотрения.............. 238
Оптимальное распределение ресурсов
§ 10.3. Введение........................ 240
§ 10.4. Задача о закупках.................... 240
§ 10.5. Классическая постановка задачи............. 240
§ 10.6. Постановка задачи с точки зрения динамического планирования.......................... 241
§ 10.7. Бесконечноэтапная аппроксимация............ 242
§ 10.8. Теорема существования и единственности......... 243
§ 10.9. Аналитические результаты................ 245
§ 10.10. Методика вычислений.................. 246
§ 10.11. Неопределенность.................... 249
Уравнение золотых приисков
§ 10.12. Введение........................ 25°
§ 10.13. Задача о золотых приисках................ 250
§ 10.14. Математическая постановка задачи............ 251
§ 10.15. Существование и единственность............. 251
§ 10.16. Решение......................... 252
§ 10.17. Интерпретация решения................. 253
§ 10.18. Нелинейная полезность............ 254
§ 10.19. Непрерывный вариант"...........• . . . 255
§ 10.20. Вывод дифференциальных уравнений . ........ 257
§ 10.21. Решение........................ 258
Задачи на узкие места
§ 10.22.-Введение . .'...................... 259
§ 10.23. Типичная задача..................... 259 \
§ 10.24. Непрерывный вариант.................. 262 ,
§ 10.25. Некоторые замечания об обозначениях.......... 263 I
§ 10.26. Основное функциональное уравнение........... 264 Ц
§ 10.27. Аналогия в бесконечно малом.............. 264"^
§ 10.28. Двойственная задача................... 265
§ 10.29. Более общие задачи................... 268
§ 10.30. Задачи регулирования.................. 268
Игры на выживание 4)
§ 10.31. Введение........................ 269
§ 10.32. Игры на выживание................... 270
§ 10.33. Суммарно ненулевые игры на выживание......... 270
Литература........................... 271
Глава 11. Методы Монте-Карло. Д ж. В. Браун. (Перевод
И. М. Соболя)...................... 275 '
Введение
§ 11.1. Природа методов Монте-Карло.............. 275
§ 11.2. Основные статистические понятия......... . . 276 i
Оценка интегралов методом Монте-Карло
§ 11.3. Случайная выборка как метод вычисления........ 279 >..
§ 11.4. Частный случай..................... 281
§ 11.5. Тривиальный числовой пример.............. 285 3
§ 11.6. Приложения, приводящие к кратным интегралам..... 286'ч
с
Методы Монте-Карло, связанные с процессами диффузии
§ 11.7. Равномерное случайное блуждание на плоскости..... 288
§ 11.8. Уравнение Лапласа................... 289',*,
§ 11.9. Обобщения....................... 294^
Методы выборки из заданных распределений
.§ 11.10. Источники случайных чисел............... 297
§ 11.11. Преобразования случайных чисел ............ 298
Литература........................... 299
ЧАСТЬ 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Глава 12. Матрицы в технике. Луис А. Пайпс. (Перевод Л. Е. Садовского) ......................... 305
§ 12.1. Введение........................ 305
Основные положения матричной алгебры
§ 12.2. Определение матрицы.................. 305
§ 12.3. Основные типы матриц.................. 306
§ 12.4. Определения и основные алгебраические операции .... 307
§ 12.5. Умножение матриц.................... 307
§ 12.6. Обратная матрица. Деление матриц........... 310
§ 12.7. Разбиение матрицы на подматрицы............ 311
§ 12.8. Характеристическая матрица и характеристическое уравнение матрицы...................... 312
§ 12.9. Приведение матрицы к диагональной форме....... 313
§ 12.10. След матрицы...................... 315
§ 12.11. Теорема Кэли — Гамильтона............... 315
§ 12.12. Решение линейных уравнений и обращение больших матриц 317
Операции над матрицами
§ 12.13. Дифференцирование матриц................ 320
§ 12.14. Интегрирование матриц................. 320
§ 12.15. Многочлены от матриц.................. 320
§ 12.16. Функции матриц..................... 320
§ 12.17. Представление матричной функции с помощью многочлена 321
§ 12.18. Теорема Сильвестра................... 322
§ 12.19. Решение алгебраических уравнений с помощью матриц . . 323
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений
§ 12.20. Матрициант....................... 324
§ 12.21. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами . . . 325 § 12.22. Линейные уравнения с переменными коэффициентами;
метод осредненных коэффициентов............. 326
Приложение матриц к задачам об упругих системах
§ 12.23. Главные направления нагрузок в точке упругого тела . . . 327
§ 12.24. Приложение к теории конструкций............ 329
Приложения матриц к задачам электротехники
§ 12.25. Задачи, относящиеся к сетям переменного тока...... 331
§ 12.26. Задачи на схемы трехфазного тока........... 333
§ 12.27. Теория четырехполюсников................ 335
§ 12.28. Распространение волн по каскаду из симметричных четырехполюсников ...................... 336
Приложения матриц к задачам о колебаниях
§ 12.29. Колебания консервативных систем........ ооа
§ 12.30. Колебания неконсервативных систем........ одя
§ 12.31. Заключение.................... 044
Литература........................... 344
Глава 13. Методы конформных отображений. Эдвин Ф. Беккеи-
б а х. (Перевод М. Т. Тер-Микаэляна)........... 346
§ 13.1. Введение........................ 346
§ 13.2. Картографические проекции............... 346
§ 13.3. Конформные отображения и теория функций комплексного
переменного....................... 353
§ 13.4. Уравнение Лапласа в физике............... 358
§ 13.5. Теоремы существования................. 361
§ 13.6. Геометрические свойства конформных отображений .... 365
§ 13.7. Специальные функции.................. ' 367
§ 13.8. Приложения....................... 370
§ 13.9. Построение конформных отображений .'......... 371
Титература........................... 374
глава 14. Нелинейные методы. Чарльз Б. Моррей. (Перевод
Л. Е. Садовского).....................,375
§ 14.1. Введение........................ 375
Системы, алгебраических уравнений
§ 14.2. Метод Ньютона. Метод возмущений. Модификации этих
методов......................... 376
§ 14.3. Замечания о системах линейных уравнений........ 380
§ 14.4. Замечания о решении обыкновенных дифференциальных
уравнений........................ 381
§ 14.5. Метод непрерывности. Метод бесконечных степенных рядов 383
§ 14.6. Замечания, касающиеся метода быстрейшего спуска .... 385
Векторные обозначения
§ 14.7. Векторные обозначения. Операции над векторами. Длина 387
§ 14.8. Дифференцируемые функции и векторные функции .... 388 § 14.9. Образец доказательства сходимости. Теорема об обратном
отображении....................... 390
Нормированные линейные пространства
§ 14.10. Абстрактные пространства................ 392
§ 14.11. Линейные пространства................. ^92
§ 14.12. Нормированные линейные пространства.......... 394
§ 14.13. Полнота......................... 395
Функциональные уравнения, вариационные задачи и нормированные линейные пространства
§ 14.14. Скалярные функции. Функционалы............ 397
§ 14.15. Простые вариационные задачи.............. 398
§ 14.16. Векторные уравнения в нормированных линейных, пространствах ........................ 402
§ 14.17. Замечания о линейных уравнениях............-405
Численные методы
§ 14.18. Метод Рэлея — Ритца и некоторые модификации вариационных задач...................... 405
§ 14.19. Замечания о методе Рэлея — Ритца и методах конечных
разностей для решения функциональных уравнений .... 407
§ 14.20. Приложение....................... 408
Литература.....................•... 417
Глава 15. Что представляют собой релаксационные методы?
Джордж Э. Форсайт. (Перевод Л. Е. Садовского) . . 418
§ 15.1. Введение........................ 418
§ 15.2. Решетки и аналогичные задачи.............. 418,
§ 15.3. Другие источники получения систем уравнений, решаемых
методом релаксации ................... 423
§ 15.4. Различные методы решения систем линейных уравнений . . 426 § 15.5. Математический анализ покомпонентной релаксации .... 429
§ 15.6. Вычисление частот колебаний.............. 434
§ 15.7. Заключение....................... 437
Литература........................... 437'
Глава 16. Методы быстрого спуска. Чарльз Б. Томпкинс.
(Перевод О. М. Белоцерковского)............. 441
§ 16.1. Введение........................ 441
§ 16.2. Многомерная аналитическая геометрия и метод Качмажа
для линейных уравнений................. 443,
§ 16.3. Быстрый спуск и дифференциальные уравнения быстрей-шего спуска для функций, определенных в многомерном
эвклидовом пространстве................. 449-
§ 16.4. Замечания о численном решении дифференциальных уравнений быстрейшего спуска. Желательность больших шагов. Метод сопряженных градиентов Хестенса — Штифеля . . . 4531
§ 16.5. Спуск при нтличии связей................ 457"
§ 16.6. Обобщение метрики и расширение на случай пространств бесконечно большого числа измерений; проблемы вариа-
ционного исчисления................... 460»
§ 16.7. Обзор математического исследования точек пространства,
для которого /<;с.................... 467
§ 16.8. Заключение.......
