Прикладные методы теории случайных функций,
Свешников А. А., издание 2-е, переработанное и дополненное. Главн. ред. физ.-матем. лит. изд-ва «Наука>, 1968.
Систематически изложены основные положения теории случайных функций, находящие применение в различных приложениях. Дается корреляционная теория случайных процессов, а также основы теории марковских процессов и их применение к ряду типичных задач: определению вероятности невыхода ординат случайной функции за пределы данной области, среднего числа выбросов за данный уровень, длительность которых превышает заданную, и др.
Большое внимание уделено определению вероятностных характеристик динамических систем, на вход которых поступают случайные функции с известными характеристиками. Помимо динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, исследуются также системы, характеризуемые дифференциальными уравнениями в частных производных (системы с распределенными параметрами).
Рассматривается определение передаточной функции линейной системы, обеспечивающей минимум дисперсии ошибки при заданных характеристиках полезного сигнала и помехи.
Излагаются теоретические основы и наиболее рациональные практические приемы обработки реализаций случайных процессов.
В книге используется только математический аппарат, входящий в общий курс математики, а содержание иллюстрируется большим числом примеров, представляющих интерес для ряда приложений. Библ. — 58 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I. Общие свойства случайных функций .............. 9
§ 1. Теория случайных функций как раздел теории вероятностей 9 § 2. Основные обозначения и формулы теории вероятностей .... 10
§" 3. Законы распределения и моменты случайной функции ..... 18
§ 4. Типичные задачи, решаемые с помощью теории случайных
функций ................................... 26
§ 5. Свойства корреляционной функции .................. 29
§ 6. Дифференцирование и интегрирование случайных функций ... 34 § 7. Действие линейного оператора на случайную функцию ..... 46
§ 8. Система случайных функций. Взаимная корреляционная функция 59
§ 9. Задачи о выбросах: среднее число выбросов случайной функ-
*"" """ ции за данный уровень, средняя длительность выброса .... 65
Глава 11. Спектральная теория стационарных случайных функций 82 § 10. Спектральное разложение стационарных случайных функций 82 § 11. Примеры вычисления спектральной плотности стационарного
случайного процесса ........................... 96
§ 12. Спектральная плотность линейной Комбинации стационарной случайной функции и ее производных. Стационарное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 101 § 13. Примеры нахождения спектральных плотностей и корреляцион-
ных функций в более сложных случаях ............... ПО
§ 14. Определение корреляционной функции решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нестационарной правой части .................. 122
§ 15. Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэф-
фициентами ................................. 129
§ 16. Вероятностные характеристики решений системы линейных
уравнений .................................. 133
Глава 111. Метод огибающих .......................... 149
§ 17. Идея метода огибающих и вывод общих формул ......... 149
§ 18. Применение метода огибающих в случае узкополосного спектра 164
1»
-t О ГЛАВ ЛЕНИВ
(лава IV. Определение оптимальных линейных динамических
систем........................................ 180
§ 19. Постановка задачи определения оптимальных динамических
систем ....................................180
§ 20. Общее решение задачи определения оптимальной динамической системы, осуществляющей операцию сглаживания, экстраполирования и дифференцирования..................194
§ 21. Расчетные формулы для определения оптимальной передаточной функции динамической системы в случае дробно-рациональных спектральных плотностей сигнала и помехи......205
§ 22. Расчетные формулы для оптимальной передаточной функции
динамической системы с запаздыванием...............211
§ 23. Оптимальное сглаживание, упреждение и дифференцирование
при конечном времени наблюдения..................215
§ 24. Примеры нахождения оптимальных динамических систем при
конечном времени наблюдения.....................227
§ 25. Простейшие нестационарные задачи.................233
§ 26. Оптимальные многоканальные динамические системы......242
Глава V. Основы теории марковских процессов............245
§ 27. Определение и общие свойства марковских процессов.....245
§ 28. Уравнения Колмогорова......................... 250
§ 29. Решение уравнений Колмогорова для простейших случаев. . . 260 § 30. Определение вероятности достижения границ и закона распределения времени пребывания случайной функции вне заданной
области •....................................267
§ 31. Многомерные марковские процессы..................285
§ 32. Замена реальных процессов марковскими..............300
Глава VI. Нелинейные методы теории случайных функций.....306
§ 33. Особенности исследования нелинейных динамических систем 306 § 34. Определение закона распределения случайной функции на выходе линейной части системы.....................310
35. Приводимые нелинейные системы......... огуг>
. ____ ..-........„«*. сп^.сиы..................• 322
§ 36. Примеры приводимых нелинейных систем.............. 333
системы с обратной связью..............341
_г_ ..,__„,.,.,ц,л п^иппспныл систем.............. 333
§ 37. Нелинейные системы с обратной cBnot<"
§ 38. Метод статистической линеаризации.................352
§ 39. Применение теории марковских процессов к исследованию нелинейных систем..............................360
Глава VII. Экспериментальные методы определения характеристик
случайных функций..............................368
§ 40. Общие принципы нахождения оценок. Оценка математического
ожидания..................................368
§ 41. Оценка корреляционной функции...................382
ОГЛАВЛЕНИЕ с'
§ 42. Оценка спектральной плотности....................40!
§ 43. Оценка закона распределения ординаты стационарного процесса .......................................413
Глава VIII. Некоторые дополнительные вопросы теории случайных функций ......................................422
§ 44. Случайные последовательности . . . . •...............422
§ 45. Случайные функции нескольких переменных (случайные поля) 429 § 46. Вычисление вероятностных характеристик динамических систем
с непрерывно распределенными параметрами............443
§ 47. Канонические разложения случайных функций...........453
Литература ....................................458
