ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к 4-му изданию..................... 6
Введение ............................... 7
Глава I. .Первоначальные сведения о кривых на плоскости .... 9
§ 1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой....... 9
§ 2. Строение кривой вблизи обыкновенной точки........ 12
§ 3. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Декартовы
координаты......................... 17
§ 4. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Параметрическое представление.................... 23
§ 5. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Полярные
координаты........................ 25
§ 6. Строение кривой вблизи особых точек. Основные факты ... 30
§ 7*. Стро.ение кривой вблизи особых точек. Точная теория .... 36
§ 8. Огибающая семейства кривых................ 50
§ 9*. Семейство кривых вблизи данной точки........... 57
§ 10. Асимптоты......................... 62
§ 11*. Асимптота как предельное положение касательной..... 65
§ 12. Асимптоты алгебраических кривых............. 67
Глава II. Дифференцирование вектор-функций и его простейшие
применения к теории кривых .............. 71
§ 13. Определение производной и техника дифференцирования . . 71 § 14. Истолкование вектор-функции как радиус-вектора кривой
в параметрическом представлении.............. 77
§ 15. Достаточный признак обыкновенной точки........... 79
§ 16. Геометрический смысл дифференцирования вектор-функции.
Дифференциал вектор-функции............... 80
§ 17. Замена параметра...................... 84
§ 18. Две леммы.......................... 85
§ 19. Формула Тейлора для вектор-функции............ 87
§ 20. Строение параметрически заданной кривой в окрестности
произвольной точки..................... 90
§ 21. Длина дуги как параметр.................. 94
§ 22. Касание кривых....................... 100
§ 23*. Дополнительные сведения'по теории касания кривых..... 104
Глава III. Теория кривизны плоских кривых........... 112
§ 24. Соприкасающаяся окружность................ Ц2
§ 25. Построение соприкасающейся окружности предельным переходом ............................ 120
§ 26. Кривизна.......................... 121
§ 27. Векторы t, п........................ 115
1* ^~
ОГЛАВЛЕНИЕ
. § 28. Формулы Френе.................... J2/
§ 29. Эволюта.................... . . . . 129
§ 30. Эвольвента...................'.'.'.'.'' 134
§ 31. Натуральное уравнение кривой............... 137
'лава IV. Теория кривизны пространственных кривых...... 145
§ 32. Касательные; нормали..............\ 145
§ 33*. Касание кривой с поверхностью............ 152
§ 34. Точки распрямления...................' 155
§35. Соприкасающаяся плоскость..........^ ...... 157
§ 36. Сопровождающий трехгранник............ . . . 160
§ 37. Две леммы об окружности..............•' 154
§ 38. Соприкасающаяся окружность................ 166
§ 39. Кривизна пространственной кривой . '........... . 168
§ 40. Формулы Френе. Кручение..............'.'.'. 169
§ 41. Вычислительные формулы для кривизны и кручения .... ." 177
§ 42. Строение кривой вблизи обыкновенной точки.....'.'.'. 185
§ 43*. Соприкасающаяся сфера...............'.'.'. 191
§ 44. Натуральные уравнения.................'.'. 196
'лава V. Первоначальные сведения по теории поверхностей . . . 209
§ 45. Криволинейные координаты на поверхности......... 209
§ 46. Кривые на поверхности................... 214
§ 47. Первая основная квадратичная форма........... 218
§ 48. Вторая основная квадратичная форма........... 227
§ 49. Основная формула для кривизны кривой на поверхности . . '. 231
§ 50. Теорема Менье......................\ 233
§ 51. Линейная вектор-функция на плоскости........... 237
§ 52. Собственные направления и собственные значения...... 239
§ 53. Основная вектор-функция и главные направления...... 243
§ 54. Исследование кривизны нормальных сечений........ 245
§ 55. Формула Эйлера. Главные кривизны............. 248
§ 56. Вычисление главных кривизн и главных направлений .... 251
§ 57. Три типа точек на поверхности............... 254
§ 58. Вычислительные формулы.................. 260
§ 59. Линии кривизны...................... 263
§ 60. Асимптотические линии................... 269
§ 61. Третья основная квадратичная форма. Сопряженные направления ........................... 275
§ 62*. Зависимость между тремя основными квадратичными формами 279
• § 63. Сферическое отображение поверхности........... 280
'лава VI. Линейчатые и развертывающиеся поверхности..... 286
§ 64. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях . . 286
§ 65. Горловая точка....................... 290
§ 66. Горловая линия. Строение развертывающейся поверхности . . 293
§ 67*. Параметр распределения.................. 299
§ 68. Огибающая семейства поверхностей от одного параметра . . 302 § 69. Развертывающаяся поверхность как огибающая семейства
- плоскостей......................•. . . 306
§ 70*. Ребро возврата огибающей семейства плоскостей...... 308
§ 71*. Асимптотические линии и полная кривизна линейчатой поверхности ........................... 313
§ 72. Развертывающиеся поверхности как поверхности нулевой полной кривизны........................ 316
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
& 73*. Ортогональные траектории развертывающихся поверхностей 317
8 74.' Геометрические свойства линий кривизны.......... 323
§ 75*. Сопряженные сети на поверхности............. 327
Глава VII. Внутренняя геометрия поверхности.......... 333
5 76. Понятие об изгибании................... 333
§ 77. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности....... 334
6 78. Индексные обозначения . . . . ».............. 335
§ 79. Деривационные формулы пэрвой группы........... 337
§ 80*. Деривационные формулы второй группы........... 340
§ 81*. Роль второй квадратичной формы.............. 342
§ 82. Теорема Гаусса....................... 347
§ 83. Формулы Петерсона-Кодацци................ 350
§ 84*. Векторы на поверхности.................. 352
§ 85*. Градиент скалярного поля на поверхности.......... 354
§ 86*. Параллельное перенесение векторов на поверхности..... 357
§ 87*. Свойства параллельного перенесения............ 360
§ 88. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности 365
§ 89. Вычисление геодезической кривизны............. 367
§ 90. Геодезические линии на поверхности............ 370
§ 91*. Геодезические линии с точки зрения параллельного перенесения на поверхности................... 374*
§ 92*. Полугеодезическая система координат на поверхности .... 374
§ 93*. Экстремальное свойство геодезических........... 378
§ 94*. Об изгибании поверхностей непостоянной кривизны..... 382
§ 95*. Случай поверхностей, изгибаемых в поверхности вращения . . 388
§ 96*. Об изгибании поверхностей постоянной полной кривизны . . . 394
§ 97*. Поверхности вращения постоянной кривизны........ 398
§ 98*. Обнесение вектора по замкнутому контуру........, 405
Краткие исторические сведения.................... 414
Алфавитный указатель........................ 418
ВВЕДЕНИЕ.
В математике обычно очень трудно составить себе представление о данной области до знакомства с ней по существу. Попытаемся все же хотя бы в самых общих чертах дать характеристику дифференциальной геометрии.
Как известно, аналитическая геометрия основана на сопостат влении: каждой точке пространства — трех чисел (координат); каждой поверхности — уравнения, связывающего текущие координаты; каждой кривой — двух таких уравнений. Благодаря этому геометрические факты могут быть переведены на язык алгебры,' геометрические задачи могут быть решены приемами алгебры, после чего результат при помощи обратного перехода вновь истолковывается на геометрическом языке. Основная идея здесь, очевидно, заключается в том, чтобы заставить сильный и действенный алгорифм алгебры регулярным образом работать для геометрических целей. При этом прогресс выражается не только и не столько в том, что старые задачи решаются более совершенным аналитическим методом, сколько в возможности неизмеримо расширить самый круг геометрических проблем по сравнению с проблемами, доступными элементарному подходу.
Дифференциальная геометрия означает дальнейшее развитие этого метода путем использования в геометрических целях аппарата дифференциального исчисления. При этом снова центр тяжести лежит в создании новой области геометрического исследования, куда позволяет проникнуть применение нового алгорифма. Чтобы отдать себе, отчет, чем характеризуется эта область — область дифференциальной геометрии, — нужно вспомнить, где и как вообще находит себе применение аппарат анализа бесконечно малых. Чтобы привести элементарный пример, рассмотрим прямолинейное, но неравномерное движение точки по закону s = s (f), выражающему пройденный путь в зависимости от времени. Изучим это движение за бесконечно малый промежуток времени от t до t-\-tbi. Тогда, как известно из дифференциального исчисления, пройденный за время Д/ путь будет выражаться величиной
где s' (f) — производная, а г стремится к нулю вместе с Д?. Мы замечаем, что если пренебречь s Д/, бесконечно малой высшего порядка
по отношению к Д?, то зависимость As от Д? окажется динейной с коэффициентом s' (t), т. е. движение можно считать равномерным, с постоянной скоростью s'(t).
Эта же идея лежит в основе всех приложений дифференциального исчисления: сложные зависимости становятся в бесконечно малом линейными, неравномерные процессы — равномерными и т. д., если пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Мы получаем возможность изучать интересующие нас зависимости в чрезвычайно упрощенном виде, правда, лишь в бесконечно малом. Но,, во-первых, это и само по себе бывает важно (в указанном примере мы пришли к вычислению мгновенной скорости путем дифференцирования пути по времени), во-вторых, интегральное исчисление дает нам возможность вернуться, где это нужно, к оценке процесса в целом *).
Дифференциальная геометрия является осуществлением этой же идеи в области геометрии. Другими словами, геометрические объекты — линии и поверхности — будут изучаться нами с точки зрения их строения в бесконечно малых кусках. И это «микроскопическое исследование» обнаружит нам ряд стройных закономерностей, не видимых простым глазом и обнаруживающихся лишь в бесконечно малом. Возникает новый мощный метод исследования геометрических объектов, более отчетливое представление о котором мы получим при изучении его по существу.
Сделаем еще одно предварительное замечание. Так как сущность метода связана с применением дифференциального исчисления, то мы не должны быть связаны какими-либо ограничениями в смысле дифференцируемости рассматриваемых функций. Если не оговорено противное, мы будем раз навсегда предполагать, что все рассматриваемые функции однозначны и имеют непрерывные производные, по крайней мере 1-го порядка, а также и более высоких порядков, если эти производные нужны при исследовании данного вопроса. Отметим также, что на протяжении всей книги рассматриваются исключительно вещественные переменные.
1) Мы говорим здесь о приложениях уже созданного дифференциального исчисления. На самом деле, не только эти приложения, но и само создание анализа бесконечно малых стало возможным только потому, что материальные процессы имеют тенденцию в малых размерах приобретать равномерный характер (пока, разумеется, не начинает сказываться атомное строение вещества). Эту тенденцию в абстрактной форме и отражает дифференциальное исчисление.
