Оптимальное управление дискретными системами.
В. Г. Болтянский, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1973.
Среди крупных достижений современной матема-" тики на одном из первых мест должна быть упомянута математическая теория оптимального -управления. Она существует в двух аспектах: непрерывном и дискретном. Непрерывный вариант теории, изучаю-, щий управляемые объекты, описываемые дифферен-
, циальными уравнениями, известен читателю по ряду обстоятельных монографий. В то же время дискрет-
'• ный вариант теории, не менее важный в теоретическом отношении и в приложениях, нигде в полном виде не изложен. ,
Книга восполняет указанный пробел в отечественной и зарубежной математической и технической литературе. Математическая теория , оптимального управления для объектов с дискретным- временем излагается в форме, доступной инженеру, имеющему математическую подготовку в объеме втуза. Изложение включает новые методы и результаты, так что книга интересна и читателю-математику. Для удобства читателя книга разделена на пять-глав,' каждая из которых представляет собой отдельное законченное целое. Более подробная характеристика глав книги дана в предисловии. Книга содержит 158 рис.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................. 5
Глава I. Постановки задач я характер результатов ........ 9
§ 1. Проблема оптимизации дискретных процессов............ 9
1. Задача о максимуме произведения (9). 2. Несколько приклад-' ных задач (12). 3. Задача оптимального управления дискретными объектами (19). 4. Другие постановки задач дискретного управления (22). 5. Максимизация нескольких функционалов (31). • '' . -
§ 2. Связь задач дискретной оптимизации с другими экстремальными
задачами............................ 38
6. Экстремум функции (38). 7. Задача математического программирования (43). 8. Управляемые процессы с непрерывным временем (49). § 3. Методы решения задач дискретной оптимизации .......... 58
9. Динамическое программирование (58). 10. Дискретный принцип максимума (65). 11. Идеи математического программирования (79).
Глава П. Основные понятия многомерной геометрии....... 93
§ 4. Векторное пространство..................... 93
12. Определение векторного пространства * (93). 13. Размерность и базис (99). 14. Подпространство (J06). 15. Гомоморфизмы векторных пространств (114). 16. Евклидово векторное пространство (124). v
§ 5. Евклидова геометрия......................133
17. Определение аффинного пространства (133). 18. Плоскости в аффинном пространстве (142). 19. Аффинные отображения (152). 20. Аффинные функции (160). 21. Евклидово пространство (167). 22. Топология евклидова пространства (175). 23. Координаты (ISO).
Глава III. Элементы теория выпуклых множеств.........188
§ 6. Выпуклые множества.......................188
24. Определение выпуклого множества (188). 25. Выпуклая оболочка (193). 26. Граница выпуклого тела (201). 27. Выпуклый многогранник (206). . ' . •-
ооПОДные св°йства выпуклых множеств............. 216
^8. Опорный конус (216). 29. Аффинные функции на выпуклом множестве (228).
qne°?fмы об отДелим°сти выпуклых конусов ........... 236
Ы. Отделение выпуклых множеств (236). 31. Двойственный^ ко-
НУС )-??.)• 32. Свойство отделимости системы выпуклых конусов (252).
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Экстремумы функций. . : •................ 262
§ 9. Теоремы существования .,...„...,..'...........262
33. Касательное ртрбраженне (262),х ^4. Шатер множества (278). 35. Теорема о пересечении (288).
§ 10. Критерии экстремума . . . . -........,..'....,.. 305
36. Необходимое условие экстремума функции (305). 37. Доста- ч точное условие экстремума ' функции (329). 38. Принцип ма- .-ксимума (345). 39. Метод 'динамического программирования (353).
Глава V. Критерии оптимальности дискретных процессов . .... 363
§ 11. Динамическое программирование .. ........ . . . . . . . . 363
40. Описание метода (363). 41. Связь с теорией экстремумовi функций (372).
§ 12. Необходимые условия оптимальности.............. 376
42. Основная задача (376). 43. Задача с фазовыми ограничениями (390). 44. Теорема существования (400). 45. Дискретные объекты' с-переменной областыбч управления (404). 46. Дискретный принцип максимума (метод.локальных сечений) (408).
§ 13. Достаточные условия оптимальности .-...-........... 427
47. Объекты с постоянной областью управления (427). 48. Объекты с переменной областью управления (437).
Именной указатель........................... 441
Предметный указатель........\................ 442
ПРЕДИСЛОВИЕ
• ' ' .-'•'•* Можно привести ряд примеров из истории математики, когда •
дискретный вариант теории появлялся раньше непрерывного варианта и подготавливал пути развития последнего. В теории оптимального управления дело обстояло иначе. Пути развития < прокладывала непрерывная теория оптимального управления, созданная за последние „15—20 лет. Центральным, стержневым :: результатом ее является принцип максимума Л. С. Понтрягина. Большая значимость и популярность этого результата привели к тому, что и в дискретных задачах оптимизации (широкий инте-| рее к которым возник несколько позже) были в первую очередь ^ предприняты попытки дайти дискретный аналог принципа, ма^ ксимума. -~' -•'••.--'•' • v
Среди многочисленных работ, посвященных этому вопросу, было немало ошибочных. Достаточно сказать, что переведенная на русский язык книга Фана и Ваня «Дискретный принцип максимума» (Издательство «Мир», 1967) математически некорректна. Таким образом, зарождение дискретного варианта теории оптимального управления было связано с известными трудностями. ' • •> .
Из работ, появление которых привело к созданию теории дискретных оптимальных процессов, необходимо отметить статьи как советских ученых (Н. Н. Красовский, Л. И.-Розоноэр, Ф. М. Кириллова, Р. Табасов, А. Г. Бутковский, А. И. Пропой и др.), так и зарубежных авторов (S. S. L. Chang, R. Bellman, Е. S. Lee, Н. Halkin, J. M. Holtzman, В. W. Jordan, E. Polak, Фам Хыу Шак и др.).
Кроме статей указанных выше авторов необходимо отметить -небольшую, превосходно написанную книгу В. ,Н, Пшеничного «Необходимые условия экстремум-а» («Наука», 1969). В ней, в частности, приведено краткое изложение теорем, объединяемых под названием «дискретный принцип максимума». Нако^ нец, имеется ряд статей и книг, специально посвященных изложению метода динамического программирования, развитого американским математиком Р. Беллманом^и совершенно отличного от дискретного принципа максимума. Это, do-существу, и
