Волк В.Я.
t 61 Курс высшей математики для горно-экономических специальностей бакалавриата: Учебное пособие. — М: Издательство Московского государственного горного университета, 2003. — Т. 1.— 324 с.: ил. ISBN 5-7418-0240-0 (в пер.)
Основное содержание учебного пособия составляют линейная алгебра и дифференциальное исчисление. Кроме того, в пособии излагаются элементы алгебры, аналитической геометрии, линейного и нелинейного программирования, интегрального исчисления и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Экономика и управление на предприятии горной промышленности».
СОДЕРЖАНИЕ
Г
Логические символы. Множества....................................................... 5
1. Логические символы....................................................................... 5
2. Множества....................................................................................... 6
................................................ 9
Часть I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА........................................................
Глава I. Векторная алгебра.................................................................. 10
1. Определение" вектора...................................................................... 10
2. Равенство векторов......................................................................... 10
3. Сложение векторов......................................................................... 12
4. Умножение вектора на число........................................................ 13
Глава II. Линейные пространства....................................................... 15
1. Определение линейного пространства......................................... 15
2. Линейная зависимость и независимость векторов...................... 16
3. Необходимое и достаточное условие линейной независимости 18
4. Свойства линейной зависимости и независимости векторов..... 20
5. Элементарные преобразования системы векторов...................... 22
6. Треугольная система векторов...................................................... 23
Глава III. Ранг......................................................................................... 26
1. Ранг системы векторов................................................................... 26
2. Ранг матрицы................................................................................... 28
3.,Метод Гаусса нахождения ранга матрицы................................... 30
,4. Базис и координаты вектора.......................................................... 32
Глава IV. Системы линейных уравнений......................................... 35
1. Система~лйнёйных~ уравненй'иГТё"о|5ёма Кронекера-Капелли .... 35
2. Множество решений системы. Свободные и базисные неизвестные ................................................................................................. 38
3. Однородные системы уравнений.................................................. 40
4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса........... 42
Глава V. Определители......................................................................... 50
1. Определитель, его свойства........................................................... 50
2. Правило разложения определителя по строке или столбцу....... 52
3. Равенство определителя нулю. Теорема Крамера....................... 54
Глава VI. Действия над матрицами.................................................... 57
1. Действ ш над матрицами................................................................ 5"5
2. Матричная запись системы уравнений. Неравенство для ран-
...... j j
гов
3. Единичная и обратная матрицы.................................................... 60
4. Группы............................................................................................. 67
Глава VII. Линейные преобразования............................................... 71
1. Линейные преобразования............................................................. 71
2. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения .............................................................................. 75
3. Модель Леонтьева «затраты — выпуск»........................................ 79
Глава VIII. Евклидовы пространства................................................ 84
1. Скалярное произведение................................................................ 84
2. Ортогонализация............................................................................. 86
3. Евклидово пространство вектор-столбцов. Билинейные формы 88
4. Ортогональные матрицы................................................................ 90
Глава IX. Симметрические линейные преобразования. Квадратичные формы ......................................................................................... 92
1. Симметрические линейные преобразования, их собственные значения и собственные векторы...................................................... 92
2. Квадратичные формы..................................................................... 96
Глава X. Аналитическая геометрия................................................... 102
1. Основные понятия.......................................................................... 102
2. Выпуклые фигуры........................................................................... 106
3. Прямая и плоскость......................................................................... 110
4. Взаимное расположение прямых и плоскостей........................... 112
5. Различные модификации уравнений прямой и плоскости......... 116
6. Кривые и поверхности второго порядка....................................... 120
7. Приведение уравнения поверхности к канонической форме..... 126
Глава XI. Линейное программирование............................................ 130
1. Линейныё1?еравёнсТва ....г:::.—:-;:...:?;?:".:........................................ 130
2. Задача линейного программирования........................................... 132
3. Свойства задачи линейного программирования.......................... 134
4. Симплекс — метод решения задачи линейного программирования........................................................................................................ 139
Часть II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ...................... 147
Глава I. Поле действительных чисел................................................. 148
1. Поля. Расширения полей................................................................ 148
2. Поле действительных чисел.......................................................... 152
3. Линейная упорядоченность поля действительных чисел........... 154
4. Полнота поля действительных чисел............................................ 157
5. Окрестности..................................................................................... 160
Глава II. Функции. Пределы функций............................................... 168
1. Функция, ее график....................................................................... 168
2. Предел функции.............................................................................. 169
3. Неопределенности. Замечательные пределы...........................•••• 176
323
Глава III. Непрерывные функции ...................................................... 182
1. Функции, непрерывные в точке .................................................... 182
2. Функции, непрерывные на отрезке ............................................... 1 85
Глава IV. Дифференцируемые функции ............................................ 190
1. Основные определения ................................................................... 190
2. Правила дифференцирования ........................................................ 193
3. Теоремы о дифференцируемых функциях ................................... 198
4. Монотонные функции ................................................. • .................. 203
5. Элементарные функции ................................................................. 207
6. Производные высших порядков .................................................... 214
7. Формула Тейлора ......................................................... : .................. 217
8. Локальные экстремумы .................................................................. 223
9. Выпуклые функции ........................................................................ 225
Глава V. Функции многих переменных ............................................. 233
1. Основные понятия .......................................................................... 233
1. Предел и непрерывность функций ................................................ 236
3. Дифференцируемые функции ........................................................ 239
4. Производная по направлению и градиент .................................... 244
5. Касательная гиперплоскость ......................................................... 246
6. Формула Тейлора. Локальные экстремумы ................................. 253
7. Выпуклые функции ........................................................................ 26°
8. Условный экстремум. Теорема Лагранжа .................................... 264
9. Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы ................................................................................ "-"
10. Задача нелинейного программирования. Теорема Куна-Так-
Глава VI. Элементы интегрального исчисления ^
1. Первообразная и неопределенный интеграл ................................ 283
2. Определенный интеграл .................................................................
3. Примеры вычисления интегралов ................................................. L
4. Понятие двойного интеграла .........................................................
Глава VII. Элементы теории дифференциальных уравнений JW
1. Дифференциальные уравнения первого порядка ......................... 3
2. Системы дифференциальных уравнений ......................................
3 Устойчивость решений дифференциальных уравнений .............
321 Список литературы ...... .• ........................................................................
