ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.......... ............
Глава I ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
1. Множества и их мощность (11). 2. Интеграл Стилтьеса и его основные свойства (14). 3. Суммы Дарбу (18). 4. Интеграл Стилтьеса от непрерывной функции (23). 5. Несобственный интеграл Стилтьеса (26). 6. Функция скачков (29). 7. Физическая интерпретация (33). 8. Функции ограниченной вариации (34). 9. Интегрирующая функция ограниченной вариации (41). 10. Существование интеграла Стилтьеса (43). И. Предельный переход в интеграле Стилтьеса (44). 12. Теорема Хелли (46). 13. Принцип выбора (50). 14. Пространство непрерывных функций (52). 15. Общая форма функционалов в С (54). 16. Линейные операторы в С (59). 17. Функции промежутков (60). 18. Общий интеграл Стилтьеса (62). 19. Свойства (общего) интеграла Стилтьеса (64). 20. Существование общего интеграла Стилтьеса (68). 21. Функции промежутков на плоскости (70). 22. Переход к функции точки (73). 23. Интеграл Стилтьеса на плоскости (76). 24. Функция ограниченной вариации на плоскости (78). 25. Пространство непрерывных функций многих переменных (81). 26. Интеграл Фурье — Стилтьеса (82). 27. Формула обращения (85). 28. Теорема свертывания (87). 29. Интеграл Коши— Стилтьеса (89).
Глава И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. Функции множеств и теория измерения................ 93
30. Операции над множествами (93). 31. Точечные множества (97). 32. Свойства замкнутых и открытых множеств (98). 33. Элементарная фигура (102). 34. Внешняя мера и ее свойства (105). 35. Измеримые множества (108). 36. Измеримые множества (продолжение) (117). 37. Критерии измеримости (118). 38. Тело множеств (120). 39. Независимость от выбора осей (123). 40. Тело В (123). 41. Случай одного переменного (125).
§ 2. Измеримые функции..............................126
42. Определение измеримых функций (126). 43. Свойства измеримых функций (130). 44. Предел измеряемых функций (131). 45. Свойство С (136). 46. Кусочно-постоянные функции (136). 47. Класс В(139)
I ЛАНЛЬНИК
§ 3. Интеграл Лебега...................,.............140
48. Интеграл от ограниченной функции (140). 49. Свойства интеграла (143). 50. Интеграл от неограниченной неотрицательной функции (148). 51. Свойства интеграла (152). 52. Функция любого знака (155). 53. Комплексные суммируемые функции (161). 54. Предельный переход под знаком интеграла (162). 55. Класс Z.s (166). 56. Сходимость в среднем (168). 57. Функциональное пространство Гильберта (172). 58. Ортогональные системы функций (174). 59. Пространство /з (180). 60. Линеалы в ?2 (183). 61. Примеры замкнутых систем (187). 62. Неравенства Гёльдера и Минковского (188). 63. Интеграл по множеству бесконечной меры (193). 64. Класс Z.s на множестве бесконечной меры (198). 65. Интегрирующая функция ограниченной вариации (201). 66. Приведение кратных интегралов (203). 67. Случай характеристической функции (207). 68. Теорема Фубини (209). 69. Перестановка порядка интегрирования (214). 70. Непрерывность в среднем (216). 71. Средние функции (217).
Глава III
ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
72. Аддитивные функции множеств (225). 73. Сингулярная функция (229). 74. Случай одного переменного • (232). 75. Абсолютно непрерывные функции множеств (237). 76. Пример (243). 77. Абсолютно непрерывные функции многих переменных (246). 78. Вспомогательные предложения (248). 79. Вспомогательные предложения (продолжение) (253). 80. Основная теорема (258). 81. Интеграл Хеллингера (261). 82. Случай одного переменного (265). 83. Свойства интеграла Хеллингера (269).
Глава IV МЕТРИЧЕСКИЕ И НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
84. Метрическое пространство (274). 85. Пополнение метрического пространства (276). 86. Операторы и функционалы. Принцип сжатых отображений (282). 87. Примеры (283). 88. Примеры применения принципа сжатых отображений (286). 89. Компактность (288). 90. Компактность в С (290). 91. Компактность в Lp (291). 92. Компактность в 1р (295). 93. Функционалы на компактных в себе множествах (296). 94. Сепарабельность (298). 95. Линейные нормированные пространства (299). 86. Примеры нормированных пространств (302). S7. Опера'торы в нормированных пространствах (303). 98. Линейные функционалы (307). 99. Сопряженные пространства (310). 100. Слабая сходимость функционалов (313). 101. Слабая сходимость элементов (315). 102. Линейные функционалы в С, Lp и 1р (319). 103. Слабая сходимость в С, Lp и 1р (327). 104. Пространство линейных операторов и сходимость последовательности операторов (328). 105. Сопряженные операторы (331). 106. Вполне непрерывные операторы (331). 107. Операторные уравнения (333). 108. Вполне непрерывные операторы в С, Lp и /о (335). 109. Обобщенные производные (338). ПО. Обобщенные производные (продолжение) (343). 111. Случай звездной области (346). 112. Пространства W(^ и W® (347).
ОГЛАВЛЕНИЕ
113. Свойства функций класса W^ (D) (350). 114. Теоремы вложения (358). 115. Интегральные операторы с полярным ядром (362). 116. Интегральные представления С. Л. Соболева (368). 117. Теоремы вложения (371). 118. Области более общего типа (374). 119. Пространство С<" (D) (376).
Глава V ПРОСТРАНСТВО ГИЛЬБЕРТА
§ 1. Теория ограниченных операторов.....................386
120. Аксиомы пространства (386). 121. Ортогональность и ортогональные системы элементов (388). 122. Проекция (393). 123. Линейные функционалы (395). 124. Линейные операторы (397). 125. Билинейные и квадратичные функционалы (401). 126. Границы самосопряженного оператора (403). 127. Обратный оператор (404). 128. Спектр оператора (408). 129. Спектр самосопряженного оператора (411). 130. Резольвента (415). 131. Последовательности операторов (416).
132, Слабая сходимость (417). 133. Вполне непрерывные операторы (419). 134. Пространства Я-и /2 (421). 135. Линейные уравнения со вполне непрерывными операторами (425). 136. Вполне непрерывные самосопряженные операторы (430). 137. Унитарные операторы (435). 138. Абсолютная норма оператора (438). 139. Операции над подпространствами (440). 140. Операторы проектирования (442). 141. Разложение единицы. Интеграл Стилтьеса (447). 142. Спектральная функция самосопряженного оператора (453). 143. Непрерывные функции самосопряженного оператора (456). 144. Формула для резольвенты и характеристика регулярных значений X (458). 145. Собственные значения и собственные элементы (461). 146. Чисто точечный спектр (463). 147. Непрерывный простой спектр (464). 148. Инвариантные подпространства (470). 149. Общий случай непрерывного спектра (473). 150. Случай смешанного спектра (475). 151. Дифференциальные решения (476). 152. Операция умножения на независимую переменную (480). 153. Унитарная эквивалентность самосопряженных операторов (483). 154. Спектральное разложение унитарных операторов (484). 155. Функции самосопряженного оператора (485). 156. Коммутирующие операторы (489). 157. Возмущение спектра самосопряженного оператора (491). 158. Нормальные операторы (493). 159. Вспомогательные предложения (495). 160. Степенной ряд от оператора (498). 161. Спектральная функция (500).
§ 2, Пространства /2 и ?2.............................503
162. Линейные операторы в /2 (503). 163. Ограниченные операторы (505). 164. Унитарные матрицы и матрицы проектирования (509). 165. Самосопряженные матрицы (511). 166. Случай непрерывного спектра (514). 167. Матрицы Якоби (518). 168. Дифференциальные решения (521). 169. Примеры (524). 170. Слабая сходимость в /2 (527). 171. Вполне непрерывные операторы в/2 (528). 172. Интегральные операторы в L? (529). 173. Сопряженный оператор (530). 174. Вполне непрерывные операторы (532). 175. Спектральная функция (534). 176. Спектральная функция (продолжение) (535). 177. Унитарные преобразования в /-2 (537). 178. Преобразования Фурье (540). 179. Преобразование Фурье и функции Эрмита (544). 180. Операция умножения (546). 181. Ядра, зависящие от разности (547). 182. Слабая сходимость (552).
133. Другие осуществления пространства Н (553).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Неограниченные операторы.........................554
184. Замкнутые операторы (554). 185. Сопряжгнный оператор (556). 186. График оператора (559). 187. Симметричные и самосопряженные операторы (561). 188. Примеры неограниченных операторов (564). 189. Спектр самосопряженного оператора (575). 190.'Случай точечного спектра (578). 191. Инвариантные подпространства и приводимость оператора (580). 192. Разложение единицы. Интеграл Стилтьеса (583). 193. Непрерывные функции самосопряженного оператора (589). 194. Резольвента (590). 195. Собственные значения (592). 1G6. Случай смешанного спектра (593). 197. Функции самосопряженного оператора (595). 198. Малые возмущения спектра (598). 199. Оператор умножения (599). 200. Интегральные операторы (604).
201. Расширение замкнутого симметричного оператора (607)
202. Индексы дефекта (611). 203. Сопряженный оператор (614). 204. Максимальные операторы (616). 205. Расширение симметричных полуограниченных операторов (617). 206. Сравнение симметричных полуограниченных операторов (623). 207. Примеры на теорию расширений (624). 208. Спектр симметричного оператора (627). 209.-Некоторые теоремы о расширениях и их спектрах (629). 210. Независимость индексов дефекта от X (632). 211. Об инвариантности непрерывной части ядра спектра при симметричных расширениях (634). 212. О спектрах самосопряженных расширений (635). 213. Примеры (636). 214. Бесконечные матрицы (637). 215. Матрицы Якоби (639). 216. Матрицы и операторы (644). 217. Унитарная эквивалентность С-матриц (646). 218. Существование спектральной функции (649).
Предметный указатель.................................553
ПРЕДИСЛОВИЕ
В современных теоретических схемах математической физики большое значение имеют теория функций вещественного переменного, различные функциональные пространства и общая теория операторов. Этим вопросам в основном и посвящена настоящая книга, которая написана на основе пятого тома моего „Курса высшей математики", нышедшего в 1947 году.
Содержанием теории функций вещественного переменного в настоящей книге является теория классического интеграла Стилтьеса, интеграла Лебега—Стилтьеса и теория вполне аддитивных функций множеств.
В первой главе изложена теория классического интеграла Стилтьеса, а также рассмотрено более общее определение интеграла Стилтьеса по промежутку любого типа, основанное на совпадении соответствующих верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбиении основного промежутка на промгжутки любого типа. В качестве примеров классического интеграла Стилтьеса рассматриваются интегралы Фурье—Стилтьеса и Коши — Стилтьеса. Для них устанавливаются формулы обращения. Интеграл Стилтьеса определяется и для случая плоскости.
Далее в первой главе изучается пространство С непрерывных функций и устанавливается общая форма линейных функционалов в этом пространстве.
Во второй главе излагаются основы метрической теории функций вещественного переменного и интеграла Лебега—Стилтьеса. Вся теория излагается для случая плоскости и выясняется возможность очевидного обобщения ее на случай n-мерного эвклидова пространства. Теория меры строится на основе любой неотрицательной, аддитивной, нормальной, Функции, определенной на полуоткрытых двумерных промежутках. Интеграл Лебега — Стилтьеса от ограниченной функции определяется на основе совпадения верхнего и нижнего интегралов Дарбу при разбиении основного измеримого множества на измеримые множества. В конце второй главы подробно излагается процесс усреднения функций
