В основу книги Бокса и Дженкинса положено использование данных о корреляционной функции (или функциях) одномерного и многомерного временных рядов. Особое внимание уделено нестационарным временным рядам, содержащим либо стационарные приращения, либо периодические несгационарности (что особенно важно для геофизических приложений). В первый выпуск вошли главы, содержащие основные сведения из корреляционной теории случайных процессов, выбор модели, оценивание ее параметров и проверку модели, а также модели для сезонных временных рядов.
Книга написана очень ясно и доступно; авторы, как правило, рассматривают конкретные примеры, доводимые до числовых результатов и позволяющие читателю научиться самостоятельно применять рекомендуемые методы. В конце книги приложены алгоритмы вычислений и таблицы используемых рядов. Книга будет весьма полезна специалистам по прикладной математике, геофизикам, физикам, астрономам, обработчикам данных наблюдений, экономистам, плановикам — всем лицам, встречающимся на практике с анализом и прогнозированием эмпирических величин, меняющихся со временем.
Предисловие к русскому изданию
Книга известных специалистов по статистике Дж. Бокса и Г. Дженкинса посвящена прикладным вопросам статистики случайных процессов. Один из авторов, Дженкинс, известен нашим читателям по недавно вышедшей книге [1], в которой подробно изложены вопросы статистического оценивания спектральной плотности стационарных процессов.
Настоящая книга посвящена применению параметрических моделей для различных задач, связанных с временными рядами, главным образом для задач прогнозирования и автоматического регулирования. Параметрические методы являются, вообще говоря, более эффективными по сравнению с непараметрическими (например, с обычным спектральным анализом), поскольку наблюдения при этом «расходуются» на оценивание меньшего числа параметров. Правда, параметрические модели описывают более узкий класс процессов, и их применение требует более полной априорной информации об изучаемых временных рядах.
Следует отметить, что если по спектральному анализу временных рядов с момента появления известной книги Блэкмана и Тьюки [2]" вышло еще около десятка монографий, то по параметрическим методам для временных рядов книга Бокса и Дженкинса, по-видимому, первая. В силу этого она является, несомненно, оригинальной и представляет большой интерес для специалистов по случайным процессам.
Круг вопросов, затрагиваемых авторами, весьма широк. Сюда входят: выбор подходящей параметрической модели для изучаемого временного ряда и оценивание ее параметров; полу-чение_ формул для прогноза ряда; оценивание передаточной функции линейного фильтра с помощью параметрической модели и изучение регулирующих схем.
Существенная особенность книги Бокса и Дженкинса состоит в том, что предлагаемый ими класс параметрических моделей содержит помимо традиционно рассматриваемых стационарных процессов и некоторые нестационарные процессы, а именно процессы со стационарными приращениями п-гр порядка. Детальное математическое изучение этих процессов для случая, когда время изменяется непрерывно, было начато советскими матема.-д м Яглпмом и М. С. Пинскером [3, 4J.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ . .
ПЛАН КНИГИ ...................
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ и КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
1.1. Три важные практические проблемы...........
1.2. Стохастические и детерминированные динамические математические модели....................
1.3. Основные понятия в построении моделей.........
Часть I. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОСНОВАННОЕ НА НИХ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
Глава 2. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ и СПЕКТР
2.1. Автокорреляционные свойства стационарных моделей . . . . i
•2.2. Спектральные свойства стационарных моделей ....... 1
Приложение П2.1. Связь между выборочным спектром и оценкой ав-
токовариационной функции .............. • •]
Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ............ ^
3.1. Общий линейный процесс................]
3.2. Процессы авторегрессии . •...............
3.3. Процессы скользящего среднего ......:....»!
3.4. Смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего . Приложение П3.1. Автоковариации. Производящая функция авто-
ковариаций и условия стационарности общего линейного пра-
цесса......................•
Приложение П3.2. Рекуррентный метод вычисления оценок параметров - авторегрессии................. »
Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ.........«
4.1. Процессы авторегрессии — проинтегрированного скользящи"®.; среднего....... -............• •fr-g
4.2. Три формы представления модели авторегрессии — проинтегри*"-, рованного скользящего среднего..........., «г
4.3. Процессы проинтегрированного скользящего среднего .••/*, Приложение П4.1. Линейные разностные уравнения . . . , * ? Приложение П4.2. Процесс ПСС (О, 1, 1) с детерминировявны»
дрейфом нуля..................' • -t,
Приложение П4.3. Свойства конечного оператора суммирован^ • •. Приложение П4.4. Процессы АРПСС с добавленным шумом,! * '
Глава 5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ.....................144
5.1. Прогнозы с минимальной среднеквадратичной ошибкой и их свбйства ....... ...... ......... 144
5.2. Вычисление и подправление прогноза..........150
5.3. Прогнозирующая функция и веса прогноза........157
5.4. Примеры прогнозирующих функций и их подправления . . . 162
5.5. Резюме...................... 175
Приложение П5.1. Корреляция между ошибками прогноза .... 177 Приложение П5.2. Веси прогноза для произвольного упреждения . . 180 Приложение П5.3. Прогнозирование при помощи общего проинтегрированного представления ............... 182
.Часть II. ПОСТРОЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ,
Глава 6. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ.....• •.........193
6.1. Цели идентификации................. 193
6.2. Методика идентификации...............194
6.3. Начальные оценки параметров.............209
6.4. Многозначность моделей ...............218
Приложение П6.1. Среднее значение выборочной автокорреляционной функции нестационарного процесса .......... 224
Приложение П6.2. Общий метод получения начальных оценок параметров смешанного процесса авторегрессии — скользящего среднего .......................225
Приложение П6.3. Прямой и возвратный процессы ПСС • порядка
(0,1,1) ....................229
Глава 7. ОЦЕНИВАНИЕ МОДЕЛИ...................232
7.1. Исследование функций правдоподобия и суммы квадратов . . 232
7.2. Нелинейное оценивание .................257
7.3*. Результаты оценивания для некоторых частных моделей . . 270
7.4*. Оценивание при помощи теоремы Байеса...... . . 278
Приложение П7.1. Обзор теории нормального распределения . . . 286 Приложение П7.2. Обзор линейной теории наименьших квадратов . 293 Приложение П7.3. Примеры влияния ошибок оценивания параметров
на вероятностные пределы прогнозов........... 295
Приложение П7.4. Точная функция правдоподобия для процесса
скользящего среднего.................297
Приложение. П7.5. Точная функция правдоподобия для процесса авторегрессии .....................302
Глава 8. ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА МОДЕЛИ...........313
8.1. Проверка стохастических моделей............313
8.2. Диагностические проверки, применяемые к остаточным ошибкам 317
8.3. Использование остаточных ошибок для изменения модели . . 327
Глава 9. МОДЕЛИ СЕЗОННЫХ РЯДОВ................330
9.1. Экономичные модели сезонных временных, рядов......330
9.2. Представление данных об авиаперевозках мультипликативной моделью (О, 1, 1)Х(0. 1, 1)и . . . ..........336
9.3. Некоторые аспекты более общих моделей сезонных рядов . . 353 Приложение П9.1....................361
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММ ДЛЯ ЭВМ..........................366
Программа 1, Идентификация стохастической модели......367
Программа 2. Предварительное оценивание стохастической модели 369
Программа 3. Оценивание стохастической модели.......372
Алгоритм Марквардта для нелинейного метода наименьших квадратов.......................376
Программа 4. Прогнозирование с помощью стохастической. модели . 377
СБОРНИК ТАБЛИЦ И ДИАГРАММ...........................381
СБОРНИК ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ, АНАЛИЗИРУЕМЫХ В КНИГЕ..........388
ЛИТЕРАТУРА....................................... . 397
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ............................ . . . 402
