ОГЛАВЛЕНИЕ *
ВВЕДЕНИЕ
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Область рациональных чисел , ...................... И
1. Предварительные замечания........................ 11
2. Упорядочение области рациональных чисел.......•...... 12
3. Сложение и вычитание рациональных чисел.............. 12
4. Умножение и деление рациональных чисел.............'. . 14
5. Аксиома Архимеда.............................. 16
§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел................................ 17
6. Определение иррационального числа................... 17
7. Упорядочение области вещественных чисел.....>........ 19
8. Вспомогательные предложения.......................'21
9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью ..................................... 22
10. Непрерывность области вещественных чисел............. 24
И. Границы числовых множеств........................ 25
§ 3. Арифметические действия над вещественными числами..... 28
12. Определение суммы вещественных чисел................ 28
13. Свойства сложения.............................. 29
14. Определение произведения вещественных чисел......•....: 31
15. Свойства умножения............................. 32
16. Заключение................................... 34
17. Абсолютные величины............................ 34
§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел ... 35
18. Существование корня. Степень с рациональным показателем ... 35
19. Степень с любым вещественным показателем............. 37
20. Логарифмы................................... 39
21. Измерение отрезков............................. 40
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ I. Варианта и ее предел............................ 43
22. Переменная величина, варианта...................... 43
23. Предел варианты............................... 46
' 24. Бесконечно малые величины......................., 47
* ОГЛАВЛЕНИЕ
25. Примеры..................................... 48
26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел.......... 52
27. Бесконечно большие величины...................... 54
§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов ... 56
28. Предельный переход в равенстве и неравенстве........... 56
29. Леммы о бесконечно малых........................ 57
30. Арифметические операции над переменными ............. 58
31. Неопределенные выражения....................... . 60
32. Примеры на нахождение пределов.................... 62
33. Теорема Штольца и ее применения................... 67
"§ 3. Монотонная варианта............................. 70
34. Предел монотонной варианты....................... 70
35. Примеры .................................... 72
36. Число е..................................... 77
37. Приближенное вычисление числа е.................... 79
38. Лемма о вложенных промежутках.................... 82
§4. Принцип сходимости. Частичные пределы............... . 83
39. Принцип сходимости............................. 83
40. Частичные последовательности и частичные пределы ........ 85
41. Лемма Больцано — Вейерштрасса..................... 87
42. Наибольший и наименьший пределы................... 89
ГЛАВА ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие функции................................ 93
43. Переменная и область ее изменения................... 93
44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры ... 94
45. Определение понятия функции...................... 95
46. Аналитический способ задания функции................ 98
; 47. График функции.................................. 100
48. Важнейшие классы функций ........................ 102
49. Понятие обратной функции........ -................. 108
50. Обратные тригонометрические функции................. 110
51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания......... 114
§ 2. Предел функции.................................. 115
52. Определение предела функции....................... 115
53. Сведение к случаю варианты........................ 117
54. Примеры..................................... 120
55. Распространение теории пределов.................... 128
56. Примеры..........•........................... 130
57. Предел монотонной функции........................ 133
". 58. Общий признак Больцано—Коши..................: . . 134
59. Наибольший и наименьший пределы функции............. 135
§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин......................................... 136
60. Сравнение1 бесконечно малых........................ 136
61. Шкала бесконечно малых.......................... 137 ;
62. Эквивалентные бесконечно малые..................... 139*"
63. Выделение главной части.......................... 141
64. Задачи...................................... 143
65. Классификация бесконечно больших................... 145
ОГЛАВЛЕНИЕ S
§ 4, Непрерывность (и разрывы) функций..................!4в
66. Определение непрерывности функции в точке............146
67. Арифметические операции над непрерывными функциями..... 148
68. Примеры непрерывных функций.....................148
69. Односторонняя непрерывность. Классификации разрывов......150
70. Примеры разрывных функций....................... 151
71. Непрерывность и разрывы монотонной функции. . . •.......154
72. Непрерывность элементарных функций.................155
73. Суперпозиция непрерывных функций..................156
74. Решение одного функционального уравнения.............157
75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической
и степенной функций.......;....................158
76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов............................. 160
77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 162
78. Степенно-показад-ельные выражения.................... 165
79. Примеры....................................166
§ 5. Свойства непрерывных функций.................... . 168
80. Теорема об обращении функции в нуль................ 168
81. Применение к решению уравнений. ................... 170
82. Теорема о промежуточном значении................... 171
83. Существование обратной функции ,....................172
84. Теорема об ограниченности функции.................. 174
85. Наибольшее и наименьшее значения функции............ 175-
86. Понятие равномерной непрерывности..................178
87. Теорема Кантора................................179
88. Лемма Бореля................................. 180
89. Новые доказательства основных теорем.............. . . . !Ь2
ГЛАВА ТРЕТЬЯ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1. Производная и ее вычисление....................... 186
90. Задача о вычислении скорости движущейся точки.........186
91. Задача о проведении касательной к кривой.............. 187
92. Определение производной........ч.................189
93. Примеры вычисления производных................... 193
94. Производная обратной функции..................... 196
95. Сводка формул для производных.....................198
96. Формула для приращения функции -...'..'................ 198
97. Простейшие правила вычисления производных. . ......... . 199
9», Производная сложной функции......................202
99. Примеры....................................203
im Одност°ронние производные........."........'.-.-..... 209'
!по °есконечные производные......................... 209
JUZ Дальнейшие примеры особых случаев .................2Ц
§ 2. Дифференциал. . ........___: . . . __.................. 211 .„:
им' 2"РеДеление дифференциала.......................211
JU4. Связь между дифференцируемостыо и существованием произ-
]0, родной ......ТТ.. ........................ ... 213 -
1ля г:сновные Формулы и правила дифференцирования ........215
107 ;;нваРиан™ость формы дифференциала.................. 216
108 г7И(')ФеРенциалы как источник приближенных формул........218
°- применение дифференциалов при оценке погрешностей , ***
оценке погрешностей ...... 220
6 ОГЛАВЛЕНИЕ " •
.'(
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления........ 223 ••]
109. Теорема Ферма................................ 229
110. Теорема Дарбу................................ 224
111. Теорема Ролля . ............................... 225 ;
112. Формула Лагранжа.............................. 226
113. Предел производной............................. 228 ;
114. Формула Коши................................ 229 ;
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков ........ 231
115. Определение производных высших порядков............. 231
116. Общие формулы для производных любого порядка......... 232
117. Формула Лейбница............................. 236
118. Примеры.................................... 238
119. Дифференциалы высших порядков ................... 241
120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.................................... 242
121. Параметрическое дифференцирование.................243
- 122. Конечные разности.............................. 244
§ 5. Формула Тейлора................................246
123. Формула Тейлора для многочлена............•.......246
124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано..................................248 .
125. Примеры....................................251
126. Другие формы дополнительного члена.................254
127. Приближенные формулы ..........................257
§ 6. Интерполирование............................... 263
128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа .... 263
129. Дополнительный член формулы Лагранжа............... 264
130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита...... 265
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
*
§ 1. Изучение хода изменения функции...................268
131. Условие постоянства функции......................268
132. Условие монотонности функции.....................270
133. Доказательство неравенств........................273
134. Максимумы и минимумы; необходимые условия...........276
135. Достаточные условия. Первое правило.................278
136. Примеры....................................280
137. Второе правило................................284
138. Использование высших производных...................286
139. Разыскание наибольших и наименьших значений..........288
140. Задачи...................................... 290
§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции.....................294
141. Определение.выпуклой (вогнутой) функции , . .............294
142. Простейшие предложения о выпуклых функциях..........296
143. Условия выпуклости функции..................... . 298
144. Неравенство Иенсена и его приложения............... . 301
145. Точки перегиба........................,.......303
0 314
ОГЛАВЛЕНИЕ '
§ 3. Построение графиков функций......................305
146 Постановка задачи..............................305
147. Схема построения графика. Примеры................. ЗОо
148 Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты . . 308
149. Примеры....................................311
.§ 4. Раскрытие неопределенностей.......................314
150. Неопределенность вида ^
151. Неопределенность вида —.........................320
152. Другие виды неопределенностей.....................322
§ 5. Приближенное решение уравнений.................... 324
153. Вводные замечания............................. 324
154. Правило пропорциональных частей (метод хорд).......... 325
155. Правило Ньютона (метод касательных)................. 328
156. Примеры и упражнения.......................... 331
157. Комбинированный метод........................ . . 335
158. Примеры и упражнения.......................... 336
ГЛАВА ПЯТАЯ
ФУНКЦИИ- НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия............................... Й40
159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры . . . 340
160. Функции двух переменных и области их определения....... 341
161. Арифметическое п-мерное пространство................ 345
162. Примеры областей в и-мерном пространстве............. 348
163. Общее определение открытой и замкнутой области........ 350
164. Функции п переменных.......................... 352
165. Предел функции нескольких переменных............... 354
166. Сведение к случаю варианты...................'.... 356
167. Примеры.................................... 358
168. Повторные пределы............................. 360
§ 2. Непрерывные функции....... v.................... 362
169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных. . . 362
170. Операции над непрерывными функциями............... 364
171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано—Коши . . 365
172. Лемма Больцано — Вейерштрасса.................... 367
173. Теоремы Вейерштрасса........................... 369
174. Равномерная непрерывность ....................... 370
175. Лемма Бореля................................ 372
176. Новые доказательства основных теорем................ 373
8 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных ..........~™........ ....................375
17й тные производные и частные дифференциалы.......... 375
/8. Полное приращение функции.......................378
sn Полный Дифференциал...........................381
'«и. I еометрическая интерпретация для случая функции двух пере-
,„, Ценных.....................................383
{so п'Роизв°Дные от сложных функций...................386
18А Примеры.................................... 388
ОГЛАВЛЕНИЕ
183. Формула конечных приращений.....................390
— — __---------.„ _QQ1"
184. Производная по заданному направлению,
---• -- « I*--------^ --л,л^~.
391
Ч. I 1риИ.ЗИидПаЛ 1IV OUMU'""^"'J 1.ы..^,ы.-.........~.............
185. Инвариантность формы (первого) дифференциала..........394
186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях .......................................396
187. Однородные функции..............................399
188. Формула Эйлера...............................400
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков ........402
189. Производные высших порядков......................402
190. Теорема о смешанных производных...................404
191. Обобщение..................................407
192. Производные высших порядков от сложной функции.......408
«• 193. Дифференциалы высших порядков....................410
194. Дифференциалы сложных функций...................413
195. Формула Тейлора..............................414
§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения.........417
196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия......................................417
197. Достаточные условия (случай функции двух переменных)..... 419
198. Достаточные условия (общий случай).................. 422
199. Условия отсутствия экстремума..................... 425
200. Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры..... 427
201. Задачи.............\........................ 431
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Формальные свойства функциональных определителей..... 441
202. Определение функциональных определителей (якобианов) .... 441
203. Умножение якобианов . . . . .^ ,.................... 442
204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби)........ 444
§ 2, Неявные функции...............................447
205. Понятие неявной функции от одной переменной...........447
206. Существование неявной функции....................449
< 207. Дифференцируемость неявной функции................451
208. Неявные функции от нескольких переменных . . ..........453
209. Вычисление производных неявных функций..............460
210. Примеры.....................................463
§ 3. Некоторые приложения теории неявных функций.........467
211. Относительные экстремумы........................467
-212. Мегод неопределенных множителей Лагранжа............470
213. Достаточные для .относительного экстремума условия ....... 472
214. Примеры и задачи..............................473
215. Понятие независимости функций......................477
216. Ранг матрицы Якоби............................479
§ 4. Замена переменных.............................. 483
217. Функции одной переменной................ ........ 483
218. Примеры................................... 48Е
ОГЛАВЛЕНИЕ 9
219. Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных ..................................... 488
220. Метод вычисления дифференциалов......."........... . 489
221. Общий случай замены переменных................... 491
222. Примеры.....,............................... 493
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей...... 503
223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) .'...... 503
224. Примеры.................................... 505
225. Кривые механического происхождения................. 508
226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры. . . . 511
227. Поверхности и кривые в пространстве................. 516'
228. Параметрическое представление..................... 518
229. Примеры ,.......;.......................... 520'
§ 2. Касательная и касательная плоскость................. 523
230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах 523
231. Примеры.,,.,,.......,......................525
232. Касательная в полярных координатах................. 528
233. Примеры................................... J329
234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость
к поверхности............................... . 530
235. Примеры.................................... 534
286. Особые точки плоских кривых..................... . 535
237. Случай параметрического задания кривой...............540
§ 3. Касание кривых между собой....................... 542
238. Огибающая семейства кривых......'................ 542
239. Примеры..........-......\................... 545
240. Характеристические точки.....«•.................... 549
241. Порядок касания двух кривых. ..................... 551
242. Случай неявного з
