АННОТАЦИЯ
Перевод книги известного американского математика Корнелия Ланцоша, одного из виднейших специалистов в области вычислительных методов и их приложений к инженерным проблемам.
Книга состоит из семи глав: I. Алгебраические уравнения. II. Матрицы и проблемы собственных значений. III. Системы многих линейных уравнений. IV. Гармонический анализ. V. Анализ эмпирических данных. VI. Методы квадратур. VII. Степенные разложения.
Книга может быть использована и как справочное пособие: каждый из ее параграфов представляет собой, как правило, отчетливое изложение частного метода, сопровождаемое числовым примером.
Книга предназначена для широкого круга читателей: студентов, математиков-вычислителей, инженеров, применяющих математические методы, работников НИИ, лабораторий и вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода.................... 9
Предисловие автора.............. . . . . ' ... 11
Введение...................... - . - . . 19
1. Чистая и прикладная математика.................. 19
2. Чистый анализ, практический анализ, численный анализ....... 20
Глава I Алгебраические уравнения
1. Историческое введение....................... 23
2. Смежные области ......................... 24
3. Кубические уравнения....................... 24
4. Численный пример......................... 26
5. Метод Ньютона .......................... 27
6. Численный пример для метода Ньютона.............. 29
7. Схема Горнера .......................... 29
8. Техника подвижной полосы .................... 30
9. Остальные корни кубического уравнения.............. 33
10. Подстановка комплексного числа в полином............. 33
П. Уравнения четвертой степени ................... 36
12. Уравнения высших степеней.................... 39
13. Метод моментов.......................... 40
14. Алгебраическое деление двух полиномов.............. 41
15. Степенные суммы и наибольший по модулю корень......... 43
16. Оценка наибольшего абсолютного значения............. 47
17. Развертка единичной окружности.................. 49
18. Преобразование обратными радиусами............... 53
19. Корни, близкие к мнимой оси ................... 56
20. Кратные корни .......................... 58
21. Алгебраические уравнения с комплексными коэффициентами .... 59
22. Анализ устойчивости........................ 60
Литература к главе I ....................... 64
Глава II Матрицы и проблемы собственных значений
1. Исторический обзор........................ 65
2. Векторы и тензоры ........................ 67
3. Матрицы как алгебраические объекты ............... 68
4. Анализ собственных значений ................... 73
5. Уравнение Гамильтона — Кели................... 76
6. Численный пример полного анализа собственных значений..... 81
7. Алгебраическое доказательство ортогональности собственных векторов 90 «. I еометрическая интерпретация проблемы собственных значений ... 96
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
9. Преобразование матрицы к главным осям.............. 105
10. Косоугольная система координат..................НО
11. Преобразование к главным осям в случае, когда поверхность задана
в косоугольной системе ...................... 116
12. Инвариантность матричных равенств относительно ортогональных преобразований ............................125
13. Инвариантность матричных равенств относительно произвольных линейных преобразований ........................ 129
14. Коммутативные и некоммутативные матрицы............132
15. Обращение матриц. Гауссов метод исключения...........133
16. Последовательная ортогонализация матрицы.............137
17. Обращение треугольной матрицы..................144
18. Численный пример последовательной ортогонализации матрицы . . .147
19. Триангуляризация матрицы.....................150
20. Обращение комплексной матрицы .................151
21. Решение кодиагональных систем..................153
22. Обращение матриц путем подразделения на блоки .........155
23. Метод возмущений.........................158
24. Совместность линейных уравнений.................163
25. Переопределенность и принцип наименьших квадратов.......169
26. Естественная и искусственная косоугольность системы линейных уравнений ...............................173
27. Ортогонализация произвольной линейной системы..........175
28. Влияние помех па решение обширных линейных систем ......179
Литература к главе II.......................182
Глава III Системы многих линейных уравнений
1. Историческое введение ......................183
2. Операции с матричными полиномами................184
3. р, g-алгоритм............................186
4. Полиномы Чебышева ........................190
5. Спектроскопический анализ собственных значений .........192
6. Построение собственных векторов.................200
7. Итерационное решение обширных линейных систем ........201
8. Остаточное испытание.......-................209
9. Наименьшее собственное значение эрмитовой матрицы...... .211
10. Собственное значение произвольной матрицы, отличное от наибольшего ...............................214
Литература к главе III.......................216
Глава IV Гармонический анализ
1. Исторические замечания......................218
2. Основные теоремы ........................219
3. Квадратичные приближения ....................222
4. Ортогональность функций Фурье..................225
5. Отделение ряда синусов от ряда косинусов............• 226
6. Дифференцирование ряда Фурье..................230
7. Разложение дельта-функции в тригонометрический ряд....... 232
8. Распространение тригонометрического ряда на неинтегрируемые функции ................................234
9. Сглаживание колебаний Гиббса с помощью о-множителей......235
10. Общий характер сглаживания а-множителями............237
11. Метод тригонометрической интерполяции . . .............238
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
12. Интерполяция синусами......................244
13. Интерполяция косинусами .....................247
14. Гармонический анализ равноотстоящих данных...........249
is! Ошибка тригонометрической интерполяции .............251
16. Интерполирование с помощью полиномов Чебышева ........254
17. Интеграл Фурье..........................257
18. Соотношение входа и выхода электрических цепей.........264
19. Эмпирическое определение соотношения входа — выхода......268
Интерполирование преобразования Фурье..............271
Интерполяционный анализ фильтра.................273
Разыскание скрытых периодичностей................276
23. Выделение показательных функций.................280
24. Преобразование Лапласа......................288
25. Анализ цепей и преобразование Лапласа..............290
26. Обращение преобразования Лапласа ................292
27. Обращение с помощью полиномов Лежандра............293
28. Обращение с помощью полиномов Чебышева............296
2'.". Обращение с помощью рядов Фурье................297
30. Обращение с помощью функций Лагерра..............300
31. Интерполяция преобразования Лапласа...............305
Литература к главе IV......................310
Глава V Анализ эмпирических данных
1. Историческое введение ......................312
2. Интерполяция с помощью простых разностей............313
3. Интерполяция при помощи центральных разностей .........315
4. Дифференцирование табулированной функции ...........319
5. Неудобства таблицы разностей....................319
6. Основной принцип метода наименьших квадратов..........321
7. Сглаживание эмпирических данных при помощи четвертых разностей 323
8. Дифференцирование эмпирической функции............ 327
9. Дифференцирование с помощью интегрирования .........! 330
Ю. Вторая производная эмпирической функции.............332
11. Сглаживание в целом с помощью разложения в ряд Фурье.....336
12. Эмпирическое определение граничной частоты v0..........341
13. Полиномы метода наименьших квадратов..............347
14. Полиномиальные интерполяции в целом...............349
15. Сходимость полиномиальной интерполяции равноотстоящих данных . . 355
16. Системы ортогональных функций..................360
17. Самосопряженные дифференциальные операторы.........'. 364
18. Дифференциальный оператор Штурма — Лиувилля......! ! . 366
19. Гипергеометрический ряд . . . "................368
20. Полиномы Якоби .........'........!!!!!!!! зеэ
-1. Интерполирование ортогональными полиномами...........372
Литература к главе V.......................379
Глава VI Методы квадратур
Ь Исторические замечания......................380
-. Квадратура при помощи планиметров ......... 381
>;>• Правило трапеций............. 381
4. Правило Симпсона..............!!!..!..!!! 382
,-' Точность формулы Симпсона................'.!'! 385
1>- 1очность правила трапеций .............!!!!!!'. 386
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
7. Правило трапеций с концевой поправкой.............. 387
8. Численные примеры........................390
9. Приближение полиномами высших степеней ............393
10. Гауссов метод квадратуры.....................396
11. Численный пример........................ 401
12. Погрешность квадратуры Гаусса..................404
13. Коэффициенты квадратурной форм>лы с произвольными узлами . . . 406
14. Квадратура Гаусса с округленными узлами.............407
15. Применение двукратных корней..................409
16. Применения квадратурного метода Гаусса в технике........411
17. Формула Симпсона с концевой поправкой..............412
18. Квадратура, содержащая показательные функции..........416
19. Квадратура с помощью дифференцирования.............417
20. Примеры.............................422
21. Задачи собственных значений ...................424
22. Сходимость квадратуры, использующей краевые значения......430
Литература к главе VI.......................432
Глава VII Степенные разложения
1. Историческое введение.......................433
2. Аналитическое разложение с помощью обратных радиусов.....435
3. Численный пример........................ 439
4. Сходимость ряда Тейлора.....................441
5. Жесткие и гибкие разложения...................442
6. Разложение по ортогональным полиномам .............445
7. Полиномы Чебышева .......................447
8. Смещенные полиномы Чебышева..................449
9. Телескопический сдвиг степенного ряда путем последовательного сокращения .............................451
10. Телескопический сдвиг степенного ряда путем пересоставления . . . 453
11. Степенные разложения вне интервала сходимости Тейлора.....456
12. т-метод..............................457
13. Канонические полиномы......................462
14. Примеры приложения т-метода...................467
15. Оценка погрешности т-метода ....................483
16. Квадратный корень из комплексного числа.............490
17. Обобщение т-метода. Метод избранных точек............493
Литература к главе VII......................496
Приложение. Числовые таблицы....................497
Литература..............................517
Алфавитный указатель.........................518
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Среди книг по прикладному анализу, изданных за последние годы, книга Корнелия Ланцоша «Прикладной анализ» резко выделяется не только своим содержанием, но и принципиальными установками автора. Его привлекала не только возможность познакомить широкий круг инженеров и физиков с современными методами численного решения математических задач, возникающих в практической деятельности, но и потребность дать (как сказано на суперобложке английского издания книги) «философское и теоретическое исследование математического аппарата, используемого при этом». И хотя вопросы философского содержания — в прямом смысле этого слова — не рассматриваются в книге Ланцоша, но все же автор уделил внимание рассмотрению некоторых общих принципов, существенных, по его мнению, для развития прикладного анализа за последнее время.
Основную часть книги составляет подробное изложение (сопровождаемое многочисленными, прекрасно подобранными числовыми примерами) разнообразных методов, используемых в настоящее время в вычислительной работе. При этом, однако, автор старается — всюду, где это уместно,— обратить внимание на то, что в промежуток, разделяющий «чистую» и «прикладную» математику, вклинилась в последние десятилетия новая область математики, которую он называет «анализом конечных алгорифмов». Ее задачу он видит в создании и исследовании конечных процессов, приводящих к приближенному решению проблем анализа.
Построение схем, эффективно уменьшающих ошибку (при малом количестве шагов) и дающих возможность оценить ее с достаточной точностью, представляет, по мнению автора, не только практическую ценность, но и самостоятельный научный интерес.
Эта точка зрения отражается на всем изложении материала. Она нисколько не уменьшает удобства использования книги как учебного и справочного издания и несомненно способствует выработке у читателя правильного взгляда на основную сущность задач прикладного анализа; она же приведет его к творческому использованию книги, т- е. к самостоятельному созданию новых вычислительных схем.
Автор книги не ставил себе целью изложить вопросы прикладного анализа во всем их объеме — подробное оглавление, которым
