Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я.
17 Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. I.— 4-е изд., испр. и доп.— М.- Высш. шк., 1986.—304с., ил.
В пер.: 1 р.
Содержание I части охватывает следующие разделы программы' аналитическую геометрию, основы линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление функций одной независимой пере" менной, элементы линейного программирования.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной паботы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к четвертому изданию............,,,,,,, 5
Из предисловий к первому, второму и третьему изданиям , , , . i , . . 5
Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1. Прямоугольные и полярные координаты............ 6
§ 2. Прямая..........,................. 15
§ 3. Кривые второго порядка....."............. 25
§ 4. Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка.....•.................... 32
§ 5. Определители второго и третьего порядков и системы линейных
уравнений с двумя и тремя неизвестными......., , , , 39
Глава II. Элементы векторной алгебры
§ 1. Прямоугольные координаты в пространстве........... 44
§ 2. Векторы и простейшие действия над ними............ 45
§ 3. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение . . 48
Глава III. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 1. Плоскость и прямая.....,................ 53
§ 2. Поверхности второго порядка. , ,.....,......... 63
Глава IV. Определители и матрицы
§ 1. Понятие об определителе n-го порядка............. 70
§ 2. Линейные преобразования и матрицы.............. 74
§ 3. Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка.................. 81
§ 4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы............ 86
§ 5. Исследование системы т линейных уравнений с п неизвестными . 88
§ 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса..... 91
§ 7. Применение метода Жордана — Гаусса к решению систем линейных уравнений , ,...................., , 94
Глава V. Основы линейной алгебры
§ 1. Линейные пространства.................... 103
§ 2. Преобразование координат при переходе к новому базису ... 109
§ 3. Подпространства....................... 111
§ 4. Линейные преобразования................... 115
§ 5. Евклидово пространство.................... 124
§ 6. Ортогональный базис и ортогональные преобразования..... 128
§ 7. Квадратичные формы............• , , ,..... 131
Глава VI. Введение в анализ
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности........... 136
§ 2. Функция одной независимой переменной............ 137
§ 3. Построение графиков функций................. 140
§ 4. Пределы............................ 142
§ 5. Сравнение бесконечно малых.................. 147
§ 6. Непрерывность функции ... ... ,,.,...,...... 149
Глава VII. Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной
§ 1. Производная и дифференциал................. 151
§ 2. Исследование функций.................... 167
§ 3. Кривизна плоской линии................... 183
§ 4. Порядок касания плоских кривых.......,....... 185
§ 5. Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная . . . 185 § 6. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизна и кручение......................., 188
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных
§ 1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня . , 192
§ 2. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных . 193
§ 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности •...,,.. 203
§ 4. Экстремум функции двух независимых переменных....... 204
Глава IX. Неопределенный интеграл
§ 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям...................... 208
§ 2. Интегрирование рациональных дробей............. 218
§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций..... 229
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций ......... 234
§ 5. Интегрирование разных функций ......,,,,,.,,. 242
Глава X. Определенный интеграл
§ 1. Вычисление определенного интеграла.............. 243
§ 2. Несобственные интегралы................... 247
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры............. 251
§ 4. Вычисление длины дуги плоской кривой............ 254
§ 5. Вычисление объема тела.................... 255
§ 6. Вычисление площади поверхности вращения.......... 257
§ 7. Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур . 258
§ 8. Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена . . . 260
§ 9. Вычисление работы и давления . . '.............. 262
§ 10. Некоторые сведения о гиперболических функциях......, 266
Глава XI. Элементы линейного программирования
§ 1. Линейные неравенства и область решений системы линейных неравенств .....•..................... 271
§ 2. Основная задача линейного программирования ......... 274
§ 3. Симплекс-метод........................ 276
§ 4. Двойственные задачи..................... 287
§ 5. Транспортная задача..................... 288
Ответы................................ 294
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
По сравнению с третьим изданием книги были сделаны следующие изменения и дополнения.
Во II часть включена новая глава «Основы вариационного исчисления», добавлен раздел об интерполировании функций на основе приближения сплайнами. Сделаны добавления по элементам теории поля и уравнениям математической физики. Увеличено число задач по определенным и кратным интегралам, а также в других разделах. Произведены улучшения методического характера и неправлены замеченные опечатки.
В настоящем издании используются следующие обозначения: начало и конец решения задачи отмечаются соответственно знаками Д и Д, а вместо слова «Указание» употребляется знак ф.
Авторы признательны канд. физ.-мат. наук доц. В. А. Богачеву и канд. физ.-мат. наук Т. А. Малаховой за помощь в написании основ вариационного, исчисления и интерполирования функций сплайнами.
Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю признательность зав. кафедрой высшей математики МЭИ,чл.-кор АН СССР С. И. Похожаеву, канд. физ-.мат. наук., доц. Т. В. Лоссиевской, А. Б. Крыгину и П. А. Шмелеву, канд. физ.-мат. наук, ст. препод. А. Л. Павлову и В. И. Афанасьеву, сделавшим ценные методические замечания и предложения, способствовавшие улучшению этой книги.
Авторы
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ К ПЕРВОМУ, ВТОРОМУ И ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЯМ
При написании книги «Высшая математика в упражнениях и задачах» авторы стремились раскрыть содержание основных понятий и теорем курса на систематически подобранных упражнениях и задачах.
В пособие включены типовые задачи и даются методы их решения. Каждому параграфу предшествует краткое введение, состоящее из определений и основных математических понятий рассматриваемого раздела. При этом наиболее трудные вопросы теории для лучшего усвоения сопровождаются раскрытием этих понятий (без доказательств).
Первое издание (в трех частях) вышло в 1967 —1971 гг. Второе издание (в двух частях) вышло в 1974 г., а третье (также в двух частях) — в 1980 г.
При написании пособия авторы использовали некоторые методические приемы и задачи из книг: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I — III; Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, II; Гюнтер Н. М. и Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике, т. I — III; Демидович Б. П. и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу; Фролов С. В., Шостак Р. Я. Курс высшей математики.
За помощь в оформлении учебного пособия и проверки правильности ответов к задачам авторы признательны всему коллективу сотрудников кафедры высшей математики Ростовского-на-Дону института инженеров железнодорожного транспорта.
Авторы
