ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к четвертому изданию..................... 14
Предисловие к первому изданию....................... 15
Глава 1. Предварительные сведения об основных понятиях математического анализа............................... 17
§ 1. Математические понятия, возникающие при описании движения 17
§ 2. Мгновенная скорость и связанные с ней новые математические
понятия................................ 20
§ 3. Задача о восстановлении закола движения по скорости и связанная с ней математическая проблематика .............. 27
§ 4. Проблемы, возникающие при решении задачи о вычислении
пути.................................. 29
§ 5. Заключительные замечания..................... 33
Глава 2. Теория вещественных чисел . ,................. 35
§ 1, Вещественные числа......................... 35
1. Свойства рациональных чисел (35). 2. Об измерении отрезков числовой оси (37). 3. Вещественные числа и правило их сравнения (40). 4. Приближение вещественного числа рациональными числами (42). 6. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу (43).
§ 2. Арифметические операции над вещественными числами. Основные свойства вещественных чисел .............'. . . . 47
1. Определение суммы вещественных чисел (47). 2. Определение произведения вещественных чисел (50). 3. Свойства вещественных чисел (50). 4. Некоторые часто- употребляемые соотношения (52).
§ 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел..... S3
Дополнение 1. О переноде чисел из десятичной системы счисления
в двоичную и из двоичной системы в десятичную........ 54
1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную (54). 2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную (55).
Дополнение 2. Об ошибках в округлении чисел в системах счисления с четным и нечетным основаниями .............. 56
Глава 3. Предел последовательности ................... 58
§ 1. Числовые последовательности ................... 58
1. Числовые последовательности и операции йад ними (58).
2. Ограниченные и неограниченные последовательности (59).
3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
(60). 4. Основные свойства бесконечно малых последовательно- -стей (62).
О ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Сходящиеся последовательности и их основные свойства .... 64 1. Понятие сходящейся последовательности (64). 2. Основные свойства сходящихся последовательностей (66). 3. Предельный переход в неравенствах (68).
§ 3. Монотонные последовательности .................. 69
1. Определение монотонных последовательностей (69). 2. Признак сходимости монотонной последовательности (70). 3. Некоторые примеры сходящихся монотонных последовательностей (72). 4. Число е (74).
§ 4. Некоторые свойства произвольных последовательностей и числовых множеств............................. 76
1. Подпоследовательности числовых последовательностей (76).
2. Предельные точки последовательности (77). 3. Существование предельной точки у ограниченной последовательности (79). 4. О выделении сходящейся подпоследовательности (82). 5. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (84). 6. Некоторые свойства произвольных числовых множеств (87).
Дополнение 1. Теорема Штольца .................... 88
Дополнение 2. О скорости сходимости последовательности; приближающей У а.............................. 92
Глава 4. Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерывность .................................... 95
§ 1. Понятие функции .......................... 95
1. Переменная величина и функция (95). 2. О способах задания функции (97).
§ 2. Понятие предельного значения функции ............. 98
1. Определение предельного значения функаии (98). 2. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение (101). 3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций (102).
§ 3. Понятие непрерывности функции ................. 105
1. Определение непрерывности функции (105). 2. Арифметические операции над непрерывными функциями (106). 3. Сложная функция и ее непрерывность (107).
§ 4. Некоторые свойства монотонных функций ............ 108
1. Определение и примеры монотонных функций (1С8). 2. Понятие обратной функции. Монотонные функции, имеющие обратную (108).
§ 5. Простейшие элементарные функции ................ 112
1. Рациональные степени положительных чисел (112). 2. Показательная функция (114). 3. Логарифмическая функция (118). ; 4. Гиперболические функции (119). 5. Степенная функция с любым вещественным показателем а (120). 6. Тригонометрические \ функции (123). 7. Обратные тригонометрические функции (125). ~~^~
§ 6. Предельные значения некоторых функций ............/'128
1. Предварительные замечания (128). 2. Предельное значение -
sin x '-^i* .*"'
функции--- в точке х—0 (первый замечательны!' предел)
(128). 3. Предельное значение функции П-f--] при *->-оо
(второй замечательный предел) (129). § 7. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных
функций................................ 133
ОГЛАВЛЕНИЕ f
1 Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций (133). 2. Понятие элементарной функции. Класс элементарных функций (137).
« 8 Классификация точек разрыва функции.............. 137
1. Точки разрыва функции и их классификация (137). 2. Кусочно непрерывные функции (140).
Дополнение. Доказательство утверждения из п. 6 § 5........ 140
1. Доказательство единственности (140). 2. Доказательство существования (143).
Глава 5. Основы дифференциального исчисления............ 150
§ 1. Производная. Ее физическая и геометрическая интерпретация 150 !. Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности (150). 2. Определение производной (151). 3. Производная с физической точки зрения (152). 4. Производная с геометрической точки зрения (153). 5. Правая и левая производные (154). 6. Понятие производной векторной функции (154).
§ 2. Понятие дцфференцируемости функции .............. 15Ь
1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке (156).
2. Связь между понятиями диффергнцируемости и непрерывности функции (157). 3. Понятие дифференциала функции (157).
§ 3, Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и
частного................................ 159
§ 4, Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций и логарифмической функции............ 162
1. Производная степенной функции с целочисленным показателем (162). 2. Производная функции y—sinx (163). 3. Производная функции (/ = cosx (163). 4. Производные функций y=tgx и y — cigx (164). 5. Производная функции у = Iog3 x (0 < а ^ \) (164).
§ 5. Теорема о производной обратной функции ............ 165
§ 6. Вычисление производных показательной функции и обратных
тригонометрических функций..................... 166
1. Производная показательной функции у = ах (0<С а=? 1) (166).
2. Производные обратных тригонометрических функций (167).
§ 7. Правило дифференцирования сложной функции......... 169
§ 8. Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций.................. 171
1. Понятие логарифмической производной функции (171). 2. Производная степенной функции с любым вещественным показателем (171). 3. Таблица производных простейших элементарных функций (172).
§ 9. Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые применения дифференциала....................... 173
1. Инвариантность формы первого дифференциала (173). 2. Формулы и правила вычисления дифференциалов (174). 3. Использование дифференциала для установления приближенных формул (175).
§ Ю. Производные и дифференциалы высших порядков ....... 176
1. Понятие производной п-го порядка (176). 2. n-е производные некоторых функций (177). 3. Формула Лейбница для л-й производной произведения двух функций (178). 4. Дифференциалы высших порядков (180).
S ч. Дифференцирование функции, заданной параметрически .... 181
о . ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 6. Неопределенный ингеграл.................... 183
§ 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 183 ]. Понятие первообразной функции (183). 2. Неопределенный интеграл (184). 3. Основные свойства неопределенного интеграла (185). 4. Таблица основных неопределенных интегралов (186).
§ 2. Основные методы интегрирования................ . 189
1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой) (189),
2. Интегрирование по частям (191).
Глава 7. Комплексные числа. Алгебра многочленов. Интегрирование
в элементарных функциях........................ 196
§ 1. Краткие сведения о комплексных числах............ 196
§ 2. Алгебраические многочлены.................... 200
§ 3. Кратные корни многочлена. Признак кратности корня .... 203 § 4. Принцип выделения кратных корней. Алгоритм Евклида . . . 204 1. Принцип выделения кратных корней (204). 2. Нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов (алгоритм Евклида) (205). § 5. Разложение правильной рациональной дроби с комплексными
коэффициентами за- сумму простейших дробей......... 207
§ 6. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных
множителей............................. 209
§ 7, Разложение правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на сумму простейших дробей с вещественными
коэффициентами............................ 212
§ 8. Проблема интегрирования рациональной дроби ......... 217
§ 9. Метод Остроградского ....................... 220
§ 10. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных
выражений.............................. 223
1. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений (223). 2. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей (226). 3. Интегрирование биномиальных дифференциалов (227). 4. Интегрирование квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера (228). 5. Интегрирование квадратичных иррациональностей другими способами (230). §11. Эллиптические интегралы..................-г . . 236
Глава 8. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях ..................................... 239
§ 1, Новое определение предельного значения функции....... 239
1. Новое определение предельного значения функции. Его эквивалентность старому определению (239). 2. Необходимое и достаточное условие существования предельного значения функции (критерий Коши) (242).
§ 2, Локальная ограниченность функции, имеющей предельное значение ................................. 244
§ 3. Теорема об усгойчивости знака непрерывной функции..... 246
§ 4, Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение............................. 247
1. Прохождение непрерывной функции через нуль при смене знаков (247). 2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение (247).
§ 5. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте ...... 248
§ 6. Точные грани функции и их достижение функцией, непрерывной на сегменте . . ......................... 249
87 '
лагр'""
-,™p^«p
ЛППИ^ОМУЮ (256). 2. Условия монотонности функции производную (^оо;. ~ производной точек раз
™У
Ю (256). 2. Условия монотонности ункции н ю (^оо;. ~ производной точек разрыва
и ? yULS Р™ывУа (W 4. Вывод некоторых
« И 0%«я(2$рмУла конечных прирашеннй (формула Коши), 260 | 12 PaSjSr^ неопределенностей (правило Лопиталя) ....... 261
1. Раскрытие неопределенности вида JJ (261). 2. Раскрытие неопределенности вида °? (264). 3. Раскрытие неопределен-
ностей других видов (265). „,.
8 13 Формула Тейлора .................. • ....... „,.,. ч
§ 14. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена . 2Ы 1 Остаточный член в форме Лагранжа Коши и Пеано (269). <2. Другая запись формулы Тейлора (272). 3. Формула Маклорена (272).
§ 15. Оценка остаточного члена. Разложение некоторых элементарных функций .................. „• • ..... • • •
1 Оценка остаточного члена для произвольной функции (^/d;.
, 2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций (274).
§ 16. Примеры приложений формулы Маклорена ........ •. . . til
1. Алгоритм вычисления числа е (277). 2. Реализация алгоритма вычисления числа е на электронной машине (277). 3. Использование ф°РмУлы Маклорена для асимптотических оценок элементарных функций и вычисления пределов (278),
Дополнение. Вычисление элементарных функций ............ 281
1. Вычисление логарифмической и обратных тригонометрических функций (281). 2. Вычисление тригонометрических функций, показательной функции и гиперболических функций (284).
Глава 9. Геометрическое исследование графика функции. Нахождение
максимального и минимального значений функции .......... 291
§ 1. Участки монотонности функции. Отыскание точек экстремума. 291 I. Отыскание участков монотонности функции (291). 2. Отыскание точек возможного экстремума (292). 3. Первое достаточное условие экстремума (292). 4. Второе достаточное условие экстремума (294). 5. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке. Общая схема ошскания экстремумов (297). § 2. Направление выпуклости графика функции ............ 299
§ 3. Точки перегиба графика функции ............... , . 301
1. Определение точки перегиба. Необходимое условие перегиба (301). 2. Первое достаточное условие перегиба (304). 3. Второе достаточное условие перегиба (305). 4. Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба (305).
10 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Третье достаточное условие экстремума и перегиба....... 306
§ 5. Асимптоты графика функции ................... 308
§ 6. Схема исследования графика функции ,.............. 311
§ 7. Отыскание максимального и минимального значений функции.
Краевой экстремум.......................... 313
1. "Отыскание максимального и минимального значений функции (313). 2. Краевой экстремум (316),
Глава 10. Определенный интеграл..................... 317
§ 1. Интегральные суммы. Интегрируемость.............. 317
§ 2, Верхние и нижние суммы...................... 320
1. Понятие верхней и нижней сумм (320). 2. Свойства верхних и нижних сумм (321).
§ 3, Необходимое и достаточное условие интегрируемости...... 325
§ 4, Некоторые классы интегрируемых функций............ 327
1. Свойство равномерной непрерывности функции (327). 2. Лемма Гейне —Бореля. Другое доказательство теоремы о равномерной непрерывности (329). 3. Интегрируемость непрерывных функций (331). 4. Интегрируемость некоторых разрывных функций (331). 5. Интегрируемость монотонных ограниченных функций (333).
§ 5, Основные свойства определенного интеграла........... 333
§ 6, Оценки интегралов. Формулы среднего значения......... 336
1. Оценки интегралов (336). 2. Первая формула среднего значения (338). 3. Первая формула среднего значения в обобщенной форме (339). 4. Вторая формула среднего значения (340). § 7, Существование первообразной для непрерывной Сункции. Основные правила интегрирования.................... 341
1. Существование первообразной для непрерывной функции (341). 2. Основная формула интегрального исчисления (342). 3. Замена переменной под знаком определенного интеграла (344). 4. Формула интегрирования по частям (345), 5. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме (346). Дополнение 1. Некоторые важные неравенства для сумм и интегралов ................................... 348
1. Вывод одного предварительного неравенства (348). 2. Неравенство Гёльдера для сумм (348). 3. Неравенство Минковского для сумм (349). 4. Интегрируемость произвольной положительной степени модуля интегрируемой функции (350). 5. Неравенство Гёльдера для интегралов (351), 6. Неравенство Минковского для интегралов (352). Дополнение 2, Доказательство утверждения из п, 4 § 6....... 353
Глава 11. Геометрические и физические приложения определенного
интеграла.................................. ggg
§ 1, Длина дуги кривой......................... 355
1. Понятие плоской кривой (355).' 2. 'Параметрическое задание кривой (356). 3. Понятие пространственной кривой (358). 4 Понятие длины дуги кривой (359). 5. Достаточные условия спрямляемости кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой (363). 6. Дифференциал дуги (367), 7, Примеры вычисления длины дуги (368).
§ 2, Площадь плоской фигуры.............. осп
1. Понятие квадрируемости плоской фигуры. Площадь "квадои-руемой плоской фигуры (369). 2. Площадь криволинейной трапеции (371). 3. Площадь криволинейного сектора (372) 4 Пои-меры вычисления площадей (374). '
ОГЛАВЛЕНИЕ
s 3 Объемы тел и площади поверхностей............... 375
S 1 Понятие кубируемости и объема (375). 2. Кубируемость некоторых классов тел (376). 3. Примеры вычисления объемов (378). 4. Площадь поверхности вращения (378).
« 4 Некоторые физические приложения определенного интеграла . . XI 1. Масса и центр тяжести неоднородного стержня (381). 2. Работа переменной силы (382).
Дополнение. Пример некваарируемой фигуры............. «и
Глава 12. Приближенные методы вычисления корней уравнений и
определенных интегралов......................... *>'
s 1 Приближенные методы вычисления корней уравнений...... 387
1 Метод «вилки» (387). 2. Метод касательных (388). 3. Метод хорд (389). 4. Метод итераций (последовательных приближений) (390). 5. Обоснование метода касательных (393). 6. Обоснование метода хорд (396). „-а
§ 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов . . ow 1. Вводные замечания (399). 2. Метод прямоугольников (401). 3. Метод трапеций (403). 4. Метод парабол (405), 5, Заключительные замечания (409), Глава 13, Теория числовых рядов..................... 410
§ 1. Понятие числового ряда....................... 410
1. Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды (410). 2. Критерий Коши сходимости ряда (413), 3, Два свойства, связанные со сходимостью ряда (415).
§ 2. Ряды с положительными членами................. 415
1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами (415). 2. Признаки сравнения (416). 3. Признаки Даламбера и Коши (419). 4. Интегральный признак Коши—Маклорена (423). 5. Признак Раабе (425), 6, Отсутствие универсального ряда сравнения (428). § 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.............. 429
1. Понятия абсолютно и условно сходящегося ряда (429),
2. О перестановке членов условно сходящегося ряда (430),
3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (433).
§ 4. Арифметические операции над сходящимися рядами....... 435
§ 5. Признаки сходимости произвольных рядов............ 437
1. Признак Лейбница (438). 2. Признак Дирихле —Абеля (439). § 6. Бесконечные произведения ..................... 442
1. Основные понятия (442). 2. Связь между сходимостью бес- .
конечных произведений и рядов (445).
Дополнение 1. Вспомогательная теорема для п.З § 2......... 448
Дополнение 2. Разложение функции sinx в бесконечное произведение 449 Дополнение 3. Обобщенные методы суммирования расходящихся
рядов.................................. 452
1. Метод Чезаро (или метод средних арифметических) (453).
2. Метод суммирования Пуассона—Абеля (454).
Глава 14. Функции нескольких переменных................ 457
§ 1. Понятие функции нескольких переменных ............ 457
1. О функциональных зависимостях менаду несколькими' переменными величинами (457). 2. Понятия евклидовой плоскости и евклидова пространства (457). 3. Понятие функции двух и трех переменных (459). 4. Понятия т-мерного координатного пространства и m-мерного евклидова пространства (460).
12 ОГЛАВЛЕНИЕ
5. Множества точек m-мерного евклидова пространства Ет..(461).
6. Понятие функции m переменных (464).
§ 2. Предельное значение функции нескольких переменных . . . . . 464 1. Сходящиеся последовательности точек в /п-мерном евклидовом пространстве Ет. Критерий Коши сходимости последоватёль-ност.ч (464). 2. Некоторые свойства ограниченных последовательности точек в /n-мерном евклидовом просгранстве (466). 3. Понятие предельного значения функции нескольких перемен-ных (467). 4. Бесконечно малые функции (468). 5. Необходимое и достаточное условие существования предельного значения функции (критерий Кении) (469). 6. Повторныэ предельные значения (469).
§ 3. Непрерывные функции нескольких переменных.......... 471
1. Определение непрерывности функции нескольких переменных (471). 2. Оеновныэ свойства непрерывных функций нескольких переменных (474).
§ 4. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных 477
1. Частные производные функции нескольких переменных (477).
2. Понятие дирферениируемости функции нескольких перемен-v ных (479). 3. Понятие дифференциала функции нескольких
переменных (484). 4. Дифференцирование сложной функции (485J. 5. Инвариантность формы первого дифференциала (488), 6. Производная по направлению. Градиент (489).
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков . . . 492 1. Частные производные высших порядков (492). 2. Дифференциалы высших порядков (496). 3. Формула Тейлора для функции т переменных с остаточным членом в форме Лагранжа (503). 4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (505).
§ 6. Локальный экстремум функции т переменных.......... 509
1. Понятие экстремума функции m переменных. Необходимые условия локального экстремума (509). 2. Достаточные условия локального экстремума (511). 3. Случай функции двух переменных (5i7). 4. Примеры исследования функции на экстремум (519).
§ 7. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции................................... 520
!. Выпуклые множества и выпуклые функции (521). 2. Существование минимума у сильно выпуклой функции и единственность .минимума у строго выпуклой функции (527). 3. Поиск минимума сильно выпуклой функции (632).
Дополнение. О выборе оптимального разбиения сегмента для приближенного вычисления интеграла ................ 541
Глава 15. Теория неязных функций и ее приложения.......... 544
§ 1. Понятие неявной функции...................... 544
§ 2. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции и некоторые ее применения . . ................ 545
1. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (545). 2. Вычисление частных производных неявно заданной функции (551). 3. Особые точки поверхности и плоской кривой (553). 4. Условия, обеспечивающие существование для функции y = f (x) обратной функции (554). § 3. Неявные функции, определяемыг системой функциональных
уравнений'............................-. . . 555
1, Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений (555). 2. Вычисление частных производных функций, неявно
ОГЛАВЛЕНИЕ 13
определяемых посредством системы функциональных уравнений (560). 3. Взаимно однозначное отображение двух .множеств т-мерного пространства (561).
5 4 Зависимость функций......„••„•'•.............. 001
1 Понятие зависимости функции. Достаточное условие независимости (561). 2. Функциональные матрицы и их приложения
6 5. Условный экстремум........• • • • • • •.......... 567
1 Понятие условного экстремума (567). 2. Метод неопределенных множителей Лагранжа (570), 3, Достаточные условия (572). 4. Пример (573). Дополнение. Замена переменных..................... 5/5
Глава 16. Некоторые геометрические приложения дифференциального
исчисления.............................• • • • 579
§ 1. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического
семейства плоских кривых ..................... 579
1. Предварительные замечания (579). 2. Однопараметрические семейства плоских кривых. Характеристические точки кривых семейства (582). 3. Огибающая и дискриминантная кривая одно-параметрического семейства плоских кривых (583). 4. Огибающая и дискриминантная поверхность однопараметрического семейства поверхностей (587).
§ 2. Соприкосновение плоских кривых................. 588
1. Понятие порядка соприкосновения плоских кривых (588).
2. Порядок соприкосновения кривых, являющихся графиками функций (589). 3. Достаточные условия соприкосновения порядка п (592). 4. Соприкасающаяся окружность (593).
§ 3. Кривизна плоской кривой..................... 594
1. Понятие о кривизне плоской кривой (594). 2, Формула для
вычисления кривизны (596), § 4, Эволюта и эвольвента........................ 599
1. Нормаль к плоской кривой (599). 2. Эволюта и эвольвента
плоской кривой (600).
Приложение. Дальнейшее развитие теории вещественных чисел . . . 604
1. Полнота множества вещественных чисел (604). 2. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел (607). 3, Заключительные замечания (612),
Алфавитный указатель,............................ gj3
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
В четвертое издание этой книги внесен ряд улучшающих и дополняющих изложение изменений. Наиболее существенные из них относятся к изложению приближенных методов вычисления определенных интегралов, к теории отыскания локальных экстремумов и точек перегиба графика функции, к изложению градиентного метода поиска экстремума сильно выпуклой функции и к выводу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (как в одномерном, так и в многомерном случаях).
Авторы приносят глубокую благодарность титульным редакторам А. Н. Тихонову и А. Г. Свешникову за сделанные ими ценные замечания.
Авторы благодарят также Л. Д. Кудрявцева, замечания которого способствовали существенному улучшению изложения.
Авторы считают, кроме того, необходимым отметить, что на формирование их педагогических взгля
