«Справочник» содержат сведения по следующим разделан: высшая алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, математический анализ (включая интегралы Лебега и Стилтьеса), векторный и тензорный анализ, криволинейные координаты, функций комплексного переменного, операционное исчисление, дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными, вариационное исчисление, абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторные пространства, операторы и теория представлений, интегральные уравнения, краевые задачи, теория вероятностей и математическая статистика, численные методы анализа, специальные функции. • Настоящее издание печатается с матриц издания 1973 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Перечень таблиа.................................... ' *
Предисловие переводчиков............................... *»
Из предисловия авторов ко второму американскому изданию............. 2S
Г Л А В А I
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ -> '
И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)
1.1. Введение. Система действительных чисел.................., 27
1.1-1. Вводные замечания (27). 1.1-2. Действительные числа (27). 1.1-3. Отношение равенства (28). 1.1-4. Отношение тождества (28). 1.1-5. Неравенства (28). 1.1-6. Абсолютные величины (28).
1.2. Степени, корни, логарифмы и факториалы. Обозначения сумм и произведений................................,....... 28
1.2-1. Степени и корни (28). 1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби (29). 1.2-3. Логарифмы (29). 1.2-4. Факториалы
(30). 1.2-5. Обозначения сумм и произведений (30). 1.2-6. Арифметическая прогрессия (30). 1.2-7. Геометрическая прогрессия (30). 1.2-8. Некоторые числовые суммы (31).
1.3. Комплексные числа............................... 31
1.3-1. Вводные замечания (31). 1.3-2. Изображение комплексных чисел точками или радиусами-векторами. Тригонометрическая форма комплексного числа (32). 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни (32).
1.4. Различные формулы........................ »...... 33
1.4-1. Бином Ньютона и родственные формулы (33). 1.4-2. Пропорции (34). 1.4-3. Многочлены. Симметрические функции (34).
1.5. Определители.................................. 35
1.5-1. Определение (35). 1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения. Раз-
порядка определителей (37).
1.6. Алгебраические уравнения: «бщие теоремы . . . 4.............. 37
1.6-1. Вводные замечания (37). 1.6-2. Решение уравнения. Корни (37). 1.6-3. Алгебраические уравнения (37). 1.6-4. Соотношения между корнями "коэффициентами (38). 1.6-5. Дискриминант алгебраического уравнения
('»). 1.6-6. Действительные алгебраические уравнения и их корни (39).
1.7. Разложение многочленов на множителя и деление многочленов. Элементарные дроби .....,........., . ................. 41
1.7-1. Разложение многочленов на множители (41). 1.7-2. Деление многочленов. Остаток (41). 1.7-3. Общие делители и общие корни двух многочленов (41). 1.7-4. Разложение на элементарные дроби (42).
1-8. Линейные, квадратные, кубичные уравнения и уравнения четвертой степени 43 1.8-1. Решение линейных уравнений (43). 1.8-2. Решение квадратных уравнений (43). 1.8-3. Кубичные уравнения: решение Кардано (43). 1 -э-4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение (44). 1.8-8. Ура»- ч нения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера (44). 1.8-6. Уравнения четвертой степени: решение Феррари (44).
1.9. Системы уравнений
айло' Кпамеепя Ж?ВН?^5 <•*&• I-9'2" Системы, лнненаых 'уравнений:* пра-« лрамера (45). 1.9-3. Линейная независимость (45). 1.9-4. Системы
45
1 ОГЛАВЛЕНИЕ
линейных уравнений: общая теория (46). 1.9-5. Системы линейных уравнений: п однородных уравнений с я неизвестными (46).
1-10. Формулы, описывающие плоские фигуры в тела............... 47
1.10-1. Трапеция <47). 1.10-2. Правильные многоугольники (48). 1.10-3.
Круг (48). 1.10-4.- Призмы,- пирамиды, цилиндры и конусы (48). 1.10-5. -.
Тела вращения (48). 1.10-6. Правильные многогранники (49).
'1.11. Тригонометрия da плоскости.......... . . .............. 49
1.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники (49). 1.11-2. Свойства плоских треугольников (90). 1.11-3. Формулы для решения треугольников (50).
1-12. Сферическая тригонометрия. ..>........................ 51
1.12-1. Введение. Сферические треугольники (51).. 1.12-2. Свойства сферических треугольников (52). 1.12-3. Прямоугольный сферический треуголь- • ник (53). 1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников (53).
Г Л А В А 2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Введение и основные понятия................'.' . ....... 56
2.1-1. Вводные эамечання (56). 2.1-2. Декартова система координат (56). 2.1-3. Правая декартова прямоугольная система координат (57). 2.1-4. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах (57). 2-1-5. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей (58). 2.1-6. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте
осей (58), 2.1-7. Одновременный перенос и поворот координатных осей (58). 2.1-8. Полярные координаты (59). 2.1-9. Способы задания кривых (60).
8.2. Прямая линия . . . ............................... 60
2.2-1. Уравнение прямой линия (60). 2.2-2. Другие способы задания прямой (61). '
8.3. Взаимное расположение точек и прямых . . ............,,'... 69
2.3-1. Точки и прямые (62). 2.3-2. Две или несколько прямых (62). 2.3-3. Тангенциальные координаты (63).
2.4. Кривые второго порядка (конические сечения) ............. V. . 64
2.4-1. Общее уравнение второй степени (64). 2.4-2. Инварианты (64). 2.4-3. Классификация кривых второго порядка (64). 2.4-4. Условие подобия невырожденных кривых второго порядка (64). 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (64). 2.4-6. Центры и диаметры кривых второго порядка (64). 2.4-7. Главные оси (66). 2.4-8. Приведение, уравнения кривой второго порядка к стандартному (каноническому) виду (66). 2.4-9. Геометрическое определение невырожденной кривой второго порядка (67). 2.4-10. Касательные и нормали к кривым второго порядка. Полюсы и поляры (67). 2.4-11. Другие способы задания кривых второго порядка (69). . -
2.5. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол . . .......... 70
2.5-1. Окружность; формулы и теоремы (701, 2.5-2. Эллипс и гипербола: формулы и теоремы (70). 2.5-3. Построение эллипсов н гипербол, их касательных и нормалей (71). 2.5-4. Построение параболы, ее касательных-
и нормалей (73). ^
2.6. Уравнения некоторых плоских кривых.................... 73
2.6-1. Примеры алгебраических кривых (73). 2.6-2. Примеры трансцендентных кривых (74).
ГЛАВ А 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
8.1. Введение и основные понятия......................... 76
3.1-1. Вводима замечания (76). 3.1-2. Декартова система координат (76). 3.1-3. Правая система осей (76). 3.1-4. Правая декартова прямоугольная система координат (76). 3.1-5. Радиус-вектор (77). 3.1-6. Цилиндрическая • н сферическая системы координат <77). 3,1-7. Основные формулы в декар-товых прямоугольных координатах и в векторной форме (77). 3.1-8, Направляющие косинусы (78). 3.1-9. Проекции (79). 3.1-10. Вектор площади (79). 3.1-11. Вычисление объемов (79). 3.1-12. Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном переносе в повороте; осев
ОГЛАВЛЕНИЕ
(79). 3.1-13 Аналитическое задание кривых (81). 3.1-14. Способы задания ^ }и?.?'*а*Ш'а>' *""• поверхностей (82). T.l-tS.
3.2. Плоскость ....... ..... .......... .......... ад
скости У84)ВНеВИе Ш10СКОСТИ <83)' 3-2-2' Параметрическое «адаине' пло--3.3. Прямая линия ..... ........ . ....... ..... 84
3.3-1. Уравнения прямой (84). 3.3-2. Параметрические уравнения прямой
3.4. Взаимное расположение точек, плоскостей и прямых .... 85 3.4-1. Углы (85). 3.4-2. Расстояния (86). 3.4-3. Специальные случаи взаиМ.
ного расположения точек, прямых и плоскостей (87). 34-4 Тангенциальные координаты плоскости и принцип двойственности (88) 3.4-5 Некоторые дополнительные соотношения (88). »""• »«>/• о.» о. пекото-
3.5. Поверхности второго порядка
.................. V7
35-1. Общее уравнение второй' степени (89). 3.5-2. Инварианты (89). 3 5-3. Классификация поверхностей второго порядка (89). 3.5-4. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (89). 3 5-5. Диаметральные плоскости, диаметры н центры поверхностей второго. порядка (91). 3.5-6. Главные плоскости и главные оси (91). 3.5-7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному (каноническому) виду (92). 3.5-8. Касательные плоскости и нормали поверхности второго порядка. Полюсы- и поляры (93). 3.5-9. Некоторые дополнительные формулы и теоремы (96). 3.5-10. Параметрическое задание поверхностей второго порядка (97). _ .
Г Л А В А 4
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ '
4.1. Введение........ .....7....;-.................., 98
4.2. Функции...................'............ ........ 93
4.2-1. Функции и переменные (98). 4.2-2. Функции со специальными свойствами (99). , -
4.3. Точечные множества, интервалы и области............' . j . . . . 9Э
4.3-1. Вводные замечания (99). 4.3-2. Свойства множеств (100). 4.3-3. Границы (100). 4.3-4. Интервалы (101). 4.3-5. Определение окрестностей (101). 4.3-6. Открытые и замкнутые множества н области (101). •
. .. — --г-к"-!?*"» ч/упяцни и смежные вопросы . . ...........102
4.4-1. Пределы функций и последовательностей (102). 4.4-2. Операции над пределами (103). 4.4-3. Асимптотические гоптвотоиоо ..„,.-.... ---- -•---
4.4. Пределы, непрерывные функции и смежные вопросы
4 д-' "~--- ' и и последовательностей (102). •
Асимптотические соотношения между двумя функ------ - „1---[апосовокуп-
вные функции
... -„..„чи^цпппс пределы, односторонняя непрерывность (105). Монотонные функции и функции ограниченной вариации (106).
4.5. Дифференциальное исчисление ,
,. . v .............. ..... ....
4-5-1. Производные и дифференцирование (107). 4.5-2. Частные производные Mini 4-5'3- Дифференциалы (109). 4.5-4, Правила дифференцирования (НО). 4.5-5. Однородные функции (112). 4.5-6. Якобианы и функциональная зависимость -(112J. 4.5-7. Неявные функции (112).
-6. Интегралы и интегрирование .......... '...,........'.....
4.6-1. Определенные интегралы (интеграл Римана) (113). 4.6-2. Несобственные интегралы (115). 4.6-3. Среднее-значение (117), 4.6-4. Неопределенные интегралы (117). 4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления (117). J.b-б. Методы интегрирования Н17). 4.6-7. Эллиптические интегралы (119). лот Кратные интегралы (119). 4.6-9. Длина дуги спрямляемой кривой г 19 и 4-6~'°- Криволинейные интегралы (120). 4.6-11. Площади и объемы l«i). 4.6-12. Интегралы по поверхности и по объему (122). 4.6-13. Замена шйеменных в интегралах по объему и по поверхности (123). 4.6-14. Мера Измеримые функции (123). 4.6-15. Интеграл Лебега (124), 4.6-16. о схоимости
107
113
. .-. рл е , .-.
емы о сходимости (теоремы о непрерывности) <126). 4.6-17. Интеграл ^тилтьеса (126). 4.6-18. Свертки (128). 4.6-19. Неравенства Миаковского и Гельдера (128).
5 ОГЛАВЛЕНИЕ
4.7. Теоремы о среднем значении. Раскрытие неопределенностей. Теоремы Вейерштрасса о приближении.................... . ....... 129
4.7-1. Теоремы о среднем значении (129). 4.7-2. Раскрытие неопределенностей (130). 4.7-3. Теоремы Вейерштрасса о приближении (131).
4.8. Бесконечные ряды, бесконечные произведения и непрерывные дроби .... 131 4.8-1. Бесконечные ряды. Сходимость (131). 4.8-2. Ряды функций. Равномерная сходимость (132). 4.8-3. Операции над сходящимися рядами (132). 4.8-4. Операции над бесконечными рядами функций (133). 4.8-5. Улучшение сходимости и суммирование рядов. Суммы некоторых рядов (134). 4.8-6. Расходящиеся бесконечные ряды (136). 4.8-7. Бесконечные произведения (137). 4.8-8. Непрерывные (цепные) дробн (138).
4.9. Признаки сходимости • и равномерной сходимости бесконечных рядов и
несобственных интегралов................ ......... . . 139
4.9-1. Признаки сходимости бесконечных рядов (139). 4.9-2. Признаки равномерной сходимости бесконечных рядов (140). 4.9-3. Признака сходимости несобственных интегралов (140). 4.9-4. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов (142).
4.10. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом.
Степенные ряды и ряд Тейлора........................ 142
4.10-1. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом (142). 4.10-2. Степенные ряды (143). 4.10-3. Теоремы Абеля и Таубера (145). 4.10-4.- Ряд Тейлора (145). 4. 10-5. Кратный ряд Тейлора (146).
4.11. Ряды Фурье и интегралы Фурье........................ '46
4.11-1. Вводные замечания (146). 4.11-2. Ряды Фурье (146). 4.11-3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье (148). 4.11-4. Функции, разложимые в ряд Фурье и представимые интегралом Фурье. Гармонический анализ (149). 4.11-5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье (156). 4.11-6. Интегралы Дирихле и Фейера (157). 4.11-7. Суммирование средними арифметическими (160). 4.11-8. Кратные ряды и интегралы Фурье (160). ,
Г Л А В А 5 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.1. Векторы в евклидовом пространстве. .......... . . ......... 162
5.2'. Векторная алгебра............................... 162
5.2-1. Сложение-векторов и умножение вектора на (действительный) скаляр (1621. 5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам (163). 5.2-3. Декартовы прямоугольные /координаты вектора (163). 5.2-4. Векторы и физические размерности (163). 5.2-5. Модуль (норма, абсолютная величина, длина) вектора (164). 5.2-6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов (164). 5.2-7. Векторное произведение двух векторов (164). 5.2-8. Смешанное (векторно-скалярное) произведение (165). 5.2-9. Другие произведения, содержащие более двух векторов (166). 5.2-10. Разложение вектора а по направлению единичного вектора а и ему перпендикулярному (166). 5.2-11. Решение уравнений (166).
5.3. Векторные функции скалярного аргумента.................. . 163
5.3-1. Векторные функции и их пределы (166). 5.3-2. Дифференцирование (166). 5.3-3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнения (167). _
5.4. Скалярные и векторные поля......................... 163
5.4-1. Вводные замечания (168). 5.4-2. Скалярные поля (168). 5.4-3. Векторные поля (168). 5.4-4. Векторный элемент линии и длина дуги (168). 5.4-5_ Криволинейные (линейные) интегралы (169). 5-4-6. Поверхностные интегралы ((69). 5.4-7. Объемные интегралы (170).
5.5. Дифференциальные операторы.......... . .............. 170
5.5-1. Градиент, дивергенция я ротор; инвариантные определения (170). 5.5-2. Оператор V (171). 5.5-3. Полный дифференциал, полная производная и производная По направлению (172). 5.5-4. Производные высших порядков
по направлению. Ряд Тейлора (173). 5.5-5. Оператор Лапласа (173). 5.5-6. Операции второго порядка (173). 5.5-7. Операции над простейшими функциями от т (174). 5.5-8. Функции от двух и более радиусов-векторов (174).
5.6. Интегральные теоремы............................. 175
5.6-1. Теорема о дивергенции и связанные е ней теоремы (175). 5.6-2. Теорема
о роторе и связанные с вей теоремы (176). 6.6-3. Поля с разрывами на во-
ОГЛАВЛЕНИЕ _ 7
5.7 Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции .......... 178
5.7-1. Безвихревое векторное поле (176). 5.7-2. Соленондалыше (трубчатые) векторные поля (177). 6.7-3. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции (177).
Г Л А В А 6 СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
6.1. Вводные замечания ............ . ............. ..... 179
6.2. Системы криволинейных координат ..... . ............... !79
6.2-1. Криволинейные координаты (179). 6.2-2. -Координатные noeepXHOCTii
и координатные линии (179). 6.2-3. Элементы длины дури и объема i ( Г79).
6.3. Криволинейные координаты вектора . . . . ............ igg
6.3-1. Координаты вектора и локальный (местный) баэнс (180) 6* 3*-2 'физические координаты вектора CJ82). 6.3-3. Контравариантные и ко'вариант.
ные координаты вектора (182) 6.3-4. Запись векторных соотношений в кр? волинейных координатах (183). «ючшеиии в крн
6.4. Системы ортогональных координат. Векторные соотношения в ортогоааль-
ных координэтэх • ••••.•.••", ,.в «о-»
"
185
nsV' ЛРч°Г°1?аЛЬНЫе "OOP;?1"13™ (183). 6.4-2, векторные соотношения ныи^интеграл (Р185В)°ЛНН ин«>грал. поверхностный интегрм и
е.5 Формулы для специальных систем ортогональных координа»
Г Л А В А 7 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.1. Вводные замечания.................,:.....•. «...... , 197
7.2. Функции комплексного переменного. Области в комплексной плоскости 197 7.2-1. Функции комплексного переменного (197). 7.2-2. z-плоскость в ш-пло-скость. Окрестности. Бесконечно удаленные точки (197). 7.2-3 Кривые я контуры (200). 7.2-4. Границы и области (200). 7.2-5. Комплексные контурные интегралы (200). *
7.3. Аналитические (регулярные, голоморфные) функции............ ~ 201
7.3-1. Производная функция (201). 7.3-2. Уравнения Коши — Римана (201). 7.3-3. Аналитические функции (202). 7.3-4. Свойства аналитических функций (202). 7.3-5. Теорема о максимуме модуля (203).
7.4. Многозначные функции.............................. 203
7.4-1. Ветви (203). 7.4-2. Точки разветвления-, и разрезы (203) 7.4-3. Рима-
новы поверхности (204),
7.5. Интегральные теоремы и разложения в ряды'................. 203
7.5-1. Интегральные теоремы (205). 7.5-2 Разложение в ряд Тейлора (206). 7.5-3. Разложение в ряд Лорана (206).
7.6 Нули и изолированные особые точки...................... 207
7.6-1. Нули (207). 7.6-2. Особые точки (207). 7.6-3. Нули и особенности в бесконечности (209). 7.6-4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара (209). 7.6-5. }^?ль|е Функции (209). 7.6-6. Разложение целой функции в произведение (-IU) 7.6-7. Мероморфные функции (210). 7.6-8. Разложение мероыорфных функций на простейшие дроби (211). 7.6-9. Нули и полюсы мероыорфных
7-7. Вычеты и контурные интегралы....................... . 211
7.7-1. Вычеты (211). 7.7-2. Теорема о вычетах (212). 7.7-3. Вычисление опре-ря о ны,х,,интегРалов (212). 7.7-4. Применение вычетов к суммированию
7-8 Аналитическое продолжение........................... 214
(2ii> ^налитическое продолжение и моногенные аналитические функции wv. /.8-2. Методы аналитического продолжения (214).
"•9 Конформное отображение.........."...,.............. 215
7.9-1. Конформное отображение (215) 7.9-2. Дробно-линейное отображение (преобразование) (216). 7.9-3. Отображение В1 = ~*+- (217)>
ОГЛАВЛЕНИЕ ' . J
7.9-4. Интеграл Шварца — Кристоффеля (217). 7.9-5. Таблица отображений (218). 7.9-6. Функции, отображающие специальные области на единичный круг (227). .
Г Л А В А 8
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
8.1. Вводные замечания............................. . . 228
8.2. Преобразование Лапласа............................ 228
8.2-1. Определение (228). 8.3-2. Абсолютная сходимость (228). 8.2-3. Область определения (229). 8.2-4. Достаточные условия существования преобразования Лапласа (229). 8.2*6. Обратное преобразование Лапласа (229). 8.2-6. Теорема обращения (229). 8.2-7. Существование обратного преобразования Лапласа (230). 8.2-8. Единственность преобразования Лапласа и его обращения (230). '_•'..
8.3. Соответствие между операциями над оригиналами- и изображениями . . . 230 8.3-1. Таблица соответствия операций (230). 8.3-2. Преобразования Лапласа периодических функций и произведений оригиналов на синус или косинус (230). 8.3-3. Преобразование произведения (теорема о свертке) (233). 8.3-4.
• Предельные теоремы (233).
6.4. Таблицы преобразования Лапласа и вычисление обратных преобразований
Лапласа..................................".".. 234
«.4-1. Таблица преобразования Лапласа (234). 8.4-2. Вычисление обратных преобразований Лапласа (234). 8.4-3. Применение контурного интегрирования (234). 8.4-4. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций: разложение Хевнсайда (234). '8.4-5. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций; разложение на простейшие дроби (252). 8.4-6. Разложения в ряды (252). 8.4-7. Разложения по степеням ( (253). 8.4-8. Разложения по многочленам Лагерра (253). 8.4-9. Разложения! в асимптотические ряды (254).
8.5. Формальное преобразование Лапласа импульсных функций ........ 255
8.6. Некоторые другие функциональные преобразования . ............ 256
8.6-1. Вводные замечания (256). 8.6-2. Двустороннее преобразование Лапласа (256). 8.6-3. Преобразование Лап
