Привалов И. И.
Аналитическая геометрия: Учебник. 35-е изд., стер__СПб • Издательство «Лань», 2005.— 304с.: ил.— (Учебники для "вузов. Специальная литература).
ISBN 5-8114-0518-9
Переиздание популярного учебника. В книге рассмотрены основные разделы аналитической геометрии: метод координат, прямые линии на плоскости и в пространстве, плоскости в пространстве, конические сечения, линии и поверхности 2-го порядка. Приведены необходимые сведения из векторной алгебры. В каждой главе имеются упражнения для самостоятельной работы.
Для студентов технических вузов.
ББК 22.151.5
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к тринадцатому изданию.................. 8
Введение..................•.................... '
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава I. Метод координат......................... . . . И
-§ 1. Направленные отрезки .......................... 11
§ 2. Координаты на прямой линии....................• • "
§ 3. Расстояние между двумя точками на прямой линии . -..... 15
§ 4. Прямоугольные координаты на плоскости .............. 15
§ 5. Расстояние между двумя точками на плоскости .......... 18
§ 6. Деление отрезка в данном отношении ................ 19.
§ 7. Угол между двумя осями......................... 22
§ 8. Основные положения теории проекций . . .............. 24
§ 9. Проекции направленного отрезка на оси координат........ 27
§ 10. Площадь треугольника.......................... 29
§ 11. Полярные координаты..'....:.................... 31
Упражнения.................•........•......... 33
Глава II. Линии и их уравнения........................ 35
§ 1. Составление уравнений заданных* линий............... 33
§ 2. Геометрический смысл уравнений................... 37
§ 3. Две основные задачи........................... 40
§ 4. Пересечение двух линий......................... 40
§ 5. Параметрические уравнения линий .................. 41
§ 6. Уравнения линий, в полярных координатах............. 41
Упражнения .....'.............• •................ 44
Глава III. Прямая линия......................... ., . . 46
§ 1. Угловой коэффициент прямой....... . . ............'. 46
§ 2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом....... 47
§ 3. Геометрический смысл уравнения первой степени между двумя
переменными............................... . 49
§ 4. Исследование общего уравнения первой степени Ах -\-By-\-
> +С=*0 . .---..Л......................... 50
fS. Уравнение прямой линии в отрезках ................. 51
6. Построение прямой линии по её уравнению............. 53
§ 7. Угол между двумя прямыми....................... 54
§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. . 55 § 9. Уравнение прямой, проходящей через денную точку в данном
направлении................................. 56
§ 10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости........ 58
§ 11. Уравнение пучка прямых........................ 60
§ 12. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки..... 62 § 13. Условие, ори котором три данные точки лежат на одной прямой..................;............. ;..... 64
§ 14. Нормальное уравнение прямой линии. . ............... 64
§ 15. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному
виду..................... .................. 66
§ 16. Расстояние от данной точки до данной прямой.......... 67
§ 17. Уравнение прямой в полярной системе координат......... 68
Упражнения .................................... 69
Глава IV. Элементарная теория конических сечений.......... 73
§ 1. Предварительные замечания....................... 73
§ 2. Окружность................................. 73
§ 3. Эллипс ................... . .................. 75
§ 4. Гипербола и её асимптоты........................ 77
§ 5. Парабола................................... 81
§ 6. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы посредством
циркуля и линейки.......... . •.................. 82
7. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения...... 83
8. Эксцентриситет и директрисы эллипса ................ 84
9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы............'.. 86
10. Эксцентриситет и директрис* параболы............... 87
11. Уравнение конического сечения в полярных координатах .... 88
12. Диаметры эллипса. Отряжённые диаметры............. 00
„ 13. Диаметры гиперболы. Сопряжённые диаметры........... 93
§ 14. Диаметры параболы ..... . ...................... 95
§ 15. Касательная................................. 96
§ 16. Эллипс как проекция окружности.................... 99
§ 17. Параметрические уравнения эллипса ................. 100
Упражнения..................^..........•....... 100
Глава V. Преобразование координат. Классификация линий .... 107
'§ 1. Задача преобразования координат................... 107
§ 2. Перенос начала координат. . ..................... . 107
§ 3. Поворот осей координат......................... 108
§4. Общий случай............................... 110
§ 5. Механическое истолкование формул преобразования координат 111
§ 6. Некоторые приложения формул преобразования координат ... 111 § 7. Составление формул преобразования координат в случае,
когда даны уравнения новых осей................... 115
§ 8. Классификация линий........................... 116
Упражнения........................ .....*......... 118
Глава VL Определителя 2-го и 3-го порядка ............... 120
1. Определители 2-го порядка.....................• . 120
2. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными . . 123
3. Определители 3-го порядка ... .,................... 125
4. Основные свойства определителей 3-го порядка.......... 127
5. Система трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными 131
6. Однородная система......... . . . . г.............. 133
ОГЛАВЛЕНИЯ б
§ 7. Общее исследование системы трёх уравнений первой степени
с тремя неизвестными.......................... 130
§ 8. Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии....................................... 140
Упражнения................................... 142
Глава VII. Исследование общего уравнения второй степени . . . 444
§ 1. Общее уравнение линии 2-го порядка................ 144
§ 2. Преобразование общего уравнения линии 2-го порядка к новому началу координат....................... . . 144
§ 3. Центр линии 2-го порядка......................... 146
§ 4.'Упрощение уравнения линии 2-го порядка.............. 148
§ 5. Упрощение уравнений, определяющих линии эллиптического
и- гиперболическо'го типов....................... 150
§ 6. Исследование простейшего уравнения, определяющего линию
эллиптического типа ........ ........ . .......... 151
§ 7. Исследование простейшего уравнения, определяющего линию
гиперболического типа.........................153
§ 8. Исследование уравнения, определяющего линию параболического типа................................ . 154
§ 9. Результаты исследования общего уравнения второй степени. . 156
§ 10. Два инварианта уравнения линии 2-го порядка.......... 156
§11. Упрощение уравнения центральной линии 2-го порядка .... 157 §12. Исследование простейшего уравнения центральной линии 2-го
порядка................................... 161
§ 13. Третий инвариант уравнения линии 2-го порядка. ........ 163
§ 14. Главные диаметры центральной линии 2-го порядка ....... 165
§ 15. Построение центральной линии 2-го порядка........... 166
§ 16. Исследование уравнения линии 2-го порядка, не имеющей определённого центра..............................167
§ 17. Определение главного диаметра и вершины параболы..... 171
§ 18. Упрощение уравнения параболы ................... 172
§ 19. Построение параболы.......................... 173
Упражнения..................................... ' 174
ЧАСТЬ ВТОРАЯ, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава I. Метод координат в пространстве................ 176
§ 1. Прямоугольные координаты...................... 176
§ 2. Основные задачи . .'. . . ........................ пд
§ 3. Основные положения теории проекций в пространстве..... 182
§ 4. Вычисление угла между двумя осями в пространстве. . .... 184
Упражнения.................................... ]g0
Глава II. Элементы векторной алгебры.................. (88
§ 1. Векторы и скаляры............................ |gg.
§ 2. Сложение векторов....."....................... 189
§ 3, Вычитание векторов........................... 192
§ 4. Умножение вектора на число,..................... 193
§ 5. Проекции вектора............................. 194
§ 6. Действия над векторами, заданными своими проекциями.... 197
7. Скалярное произведение векторов.................. 198
8. Основные свойства скалярного произведения............ 198
9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциями. . . 200
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
10. Направление вектора............ . . . •';• . . . . . . . . ... 201
П. Векторное произведение........ . ........•.; •. . . . . . . 204
12. Основные свойства векторного произведения . . . . . . ...... 205
13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями .... 208
14. Векторно-скалярное произведение . . . . . . . ... ...... . . . 210
15. Векторно-скалярное произведение в проекциях .. . . . . ..... 21з
16. Двойное векторное произведение...... . . . . . . . ....... 214
Упражнения.........,.....'..... .... . ... ,...;. .... 216
Глава III. Геометрическое значение уравнений ............. 218
1. Уравнение, поверхности.......................... 218
2. Геометрический смысл уравнений................... 219
3. Две основные задачи........................... 220
4. Сфера..................................... 220
5. Цилиндрические поверхности..................... . 221
в. Уравнения линии в пространстве................... 222
7. Пересечение трёх поверхностен.................... 223
Упражнения........................'............223
Г я а в а IV. Плоскость...............................224
§ 1. Нормальное уравнение плоскости................... 224
§ 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени
к нормальному виду............................ 226
3. Исследование общего уравнения плоскости............. 229
4. Уравнение плоскости в отрезках................. . . . 230
5. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ..... 232
6. Уравнение^ плоскости, проходящей через три данные точки. . . 233
7. Угол между двумя плоскостями.................... 235
§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 236
§ 9. Точка пересечения трёх плоскостей.................. 239
§ 10. Расстояние от точки до плоскости.................. 240
Упражнения.................................... 242
Глава V. Пряная линия.........._...................245
§ 1. Уравнения прямой линии........................245
§ 2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой ................................249
§ 3. Угод между двумя прямыми линиями................. 252
§ 4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. . 254 § 5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки .... 254
§ 6. Угол между прямой и плоскостью...................255
§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.................................... 255
§ 8. Уравнение пучка плоскостей......................257
§ 9. Пересечение прямой с плоскостью...................258
§ 10. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости . . 259 Упражнения.................................... 261
Глава VI. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. Поверхности 2-го порядка .......... 266
§ 1. Классификация поверхностей...................... 266
§ 2. Цилиндрические поверхности (общий случай)...........266
§ 3. Конические поверхности......................... 267
ОГЛАВЛЕНИЕ '
' ЖЛ
4. Поверхности вращения ............... ...... • ...... 270
5. Эллипсоид ...... ......... ' ....... '• .............. 271
6. Однополостный гиперболоид .................... ..... 273
7. Двуподостный гиперболоид. . ................ ........ 274
8. Эллиптический параболоид .......................... 275
9. Гиперболический параболоид ................. • ...... 276
10. Конус 2-го порядка ...,..••••-.••• .......... ' ...... 277
' ' '
поверхностей' '2-го порядка. Кои-струкпии В. Г. Шухова . . ....... • ....... • ........ ' ' 280
Упражнения ..... . . . . . ..... • • ..... ................ oei
Ответы ............ • ................... ........
