ОГЛАВЛЕНИЕ
^~- Стр-
Предисловие ................ ............. 11
Г Л А В А I x ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ
§ 1. Действительные (вещественные) числа .............. 15
2. Изображение действительных чисел точками числовой оси .... 14
3. Абсолютная величина действительного числа ......... . . 1&
4. Математическая величина. Переменные и постоянные величины . . 17
5. Характер изменения и область изменения переменной величины . 20
6. Упорядоченность переменной величины. Монотонно изменяющиеся
и ограниченные переменные величины ..... "...'."..'... 22
7. Функция ......................... ••• 24
8. Способы задания функций ......... ........... 27
9. Явные и неявные функции ..... .............. 33-
10. Возрастающие, убывающие и монотонные функции ......... 3S
11. Функция, ограниченная в промежутке . . . . ..... , ..... 3S
12. Функции четные и нечетные. Периодические функции ...... 3&
13. Функции целочисленного и непрерывного аргумента ....... 38-
§ 14. Алгебраические функции .................... ЗЭ^
§ 15. Основные элементарные функции . . ........... '....- 43-'
§ 16. Элементарные функции .... ................. 48
§ 17. Полярная система координат ................... 40
Упражнения к главе I .......... ........... 5L
ГЛАВА II-ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
§ 1. Предел переменной величины .......... . ....... 5$
§ 2. Предел функции натурального аргумента (предел последователь-
ности) ......... .................... 5^
§ 3. Предел функции непрерывного аргумента ......... ... 62'
§ 4. Обобщение понятия предела функции*1) . . .......... 68-
§ 5. Функция, ограниченная при х-* а или при лс->оо ....... .75-
§ 6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины ....... 76
§ 7. Основные свойства бесконечно малых .............. 8(>
§ 8. Основные теоремы о. пределах (правила предельного перехода) . 81
!) Звездочкой отмечены параграфы, частично написанные Ю. С. Очаном; двумя звездочками — параграфы, написанные им полностью.
9. Признаки существования предела. Дополнительные сведения о пре-делах <'•.••»•«••.......
jl
10. Предел функции - - при *-».0*
П. Число в. Натуральные логарифмы ...... <и=
12. Сравнение бесконечно малых величин .... ........ Е
13. Непрерывные функции. Точки разрыва . ......... " 1C
'
14. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элемен тарных функций.......... ,............. 10
15. Взаимно обратные функции *.,................. 1Ц
16. Сложная функция **...................... llgj
17. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке . . . . 11& Упражнения к главе II..................... 123
ГЛАВА III ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
1. Скорость движения . ,.....................126
2. Определение производной................; . . . 12$
3 Геометрическое значение производной .....'.........130
4. Дифференцируемость функций................. 131
5. Нахождение производных от элементарных функций. Производная
от функции у •= х» при я целом и положительном........Ш
. 6. Производные от функций yc=sinx; y — cosx......... . 135
7. Производные; постоянной, произведения постоянной на функцию, •'"]? суммы, произведения, частного нескольких функций .. . . . . . . 13б
8. Производная логарифмической функции............. :14Д
9. Производная от сложной функции................14$
10. Производные функций у «= tg х, у = ctg х, у = hi | х \......144
11. Производная неявной функции.................145
12. Производные степенной функции цри любом действительном показателе, показательной функции, «ложной показательной функции . ;14?
13. Производная обратной функции.................149
14. Производные обратных тригонометрических функций......151
15. Таблица основных формул .дифференцирования.........153
16. Параметрическое задание функции...............154
17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме.....:1ЭВ.
18. Производная функции, .заданной параметрически ** ....... 158
. 19. Гиперболические функции *................... 160
20. Дифференциал *....................... . 163S
•§ 21. Геометрическое значение дифференциала ............168
•§ 22. Производные различных порядков,.......>.........169
4 23. Дифференциалы различных порядков.............. 171
•§24- Производные различных порядков от неявных функций и функ-
ций, заданных параметрически.................. 172
«§ 25. Механическое значение второй производной . . . .... . . . . Ш'.-•
-§ 26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и под- •
нормали................... .... ... . . . . . 12Jb,
5 27. Геометрическое значение производной радиуса-вектора по поляр- ' "
ному углу............ . .... . . . . , ....... Ш;
Упражнения к главе Ш. . . . . . ... . ... ........ЩЦ
;'-- . - . ' '" ГЛАВА IV ';''":;:v\ - •'#
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ ^|
?1. Теорема о •корнях производной (теорема Ролля).........tSii! Z Теорема о конеЧ4(ых приращенияж (теорема Лаграижа) ..... 190
Л- '• '•'': . ' ' ' "' ' ' '•' - ' ' ' '
Стр.
& 3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши) 191 ,
§ 4. Предел отношения двух бесконечно малых величии («Раскрытие :
неопределенностей вида -g-»j............. '.-'. ... 193
§ 5. Предел отношения двух бесконечно больших величин/«Раскры- .
тие неопределенностей вида — »J............... 195
§ 6. Формула Тейлора........................ 200
§ 7. Разложение по формуле Тейлора функций ех, sin*, cos* .... 203
Упражнения к главе IV..................... 206
ГЛАВА V ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
§ 1. Постановка задачи....................... 208
§ 2. Возрастание и убывание функции................ 209
§ 3. Максимум и минимум функций ....... лч'......... 211
§ 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и
минимум с помощью первой производной . . ;......... 217
§ 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй
производной.......................... 220
§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .... 223 § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению
задач............................. 225
§ 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора........................'. 227'
§ 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба........ 229
§ 10. Асимптоты........................... 235
§11. Общий план исследования функций и построения графиков . . . '240
§ 12. Исследование кривых, заданных параметрически ......... 244
Упражнения к главе V..................... 248-
* - • . ~' ~
Г Л ABA» VI
КРИВИЗНА КРИВОЙ J:,
§ 1. Длина дуги и ее производная *....,... v . . . . . . . . 253
§ 2. Кривизна............................ 4v 256
§ 3. Вычисление кривизны. .......'.............''„ 257
§ 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически . ... . . 260
§ 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных
координатах......................... . 260
§ 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента 261
S 7. Свойства эволюты....................... 266 '
Упражнения к главе VI.................-. .. ; .270
ГЛАВА VII , КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ
I о' ^омплексные числа. Исходные определения.......... . 272
| ~ Основные действия над комплексными числами......... 2^4
S о. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из
комплексного числа ............... i ....... 276
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Показательная форма комплексного числа. Предел комплексной Jj
переменной величины **................... .
§ 5. Понятие о функции комплексного переменного. Показательная
функция и ее свойства. Формула Эйлера *............ 2J
§ 6. Разложение многочлена на множители............... 2J
§ 7. О кратных кйрнях многочлена................ . 2)
§ 8 Разложение многочлена на множители в случае комплексных ;
корней............................. 2!
§ 9. Приближенное вычисление действительных корней уравнения . . 2!
§ 10. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа .. . . . 2J § 11. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебы-
шева......'........................ 2!
Упражнения к главе VII.................... 21
ГЛАВА VIII ] ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Определение функции нескольких переменных.......... 30!
' § 2. Геометрическое изображение функции двух переменных..... 304
' § 3. Частное и полное приращение функции.........•. . . . 301
§ 4. Непрерывность функции нескольких переменных *........ 307
§ 5. Частные производные функции нескольких переменных..... 31С
§ 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух
переменных .......................... -312
§ 7. Полное приращение и полный дифференциал .,......... 312
§ 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычисле-.
ниях..............................316
§ 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях **............................ 317
§ 10. Производная сложной функции. Полная производная....... - 321
§ 11. Производная от функции, заданной неявно ** ......... 323
§ 12. Частные проивводные различных порядков............ 32С
§ 13; Линии уровня......................... 'ЗЗС
§ 14. Производная по направлению.................. 331
§ 15. Градиент............................ 33с
§ 16. Формула Тейлора для функции двух переменных ** ...... ЗЗС
_ § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных ...... 34С
§ 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных
данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) .... 34?
§ 19. Особые точки кривой...................... 35с
Упражнения к главе VIII........'."........... 35?
ГЛАВА IX
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1.»Уравнения кривой в пространстве................ 36i
§ 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости............................. 36J
§ 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) • . . 371 § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна
кривой. Главная нормаль.................... 37i
§ 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение........ 37!
§ 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности......... 38<
Упражнения к главе IX.................... , ggj
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
ГЛАВА X НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
& 1 Первообразная и неопределенный интеграл...........389
1 2. Таблица интегралов.......................391
1 3 Некоторые свойства неопределенного интеграла......... 393
1 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки *......................., • • • 395
§ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен *.............................397
& 6. Интегрирование по частям **................. 401
§ 1. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование...........................405
§ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие.........409
§ 9. Интегрирование рациональных дробей..............413
§ 10. Способ Остроградского *.................... 416 <;
§ 11. Интегралы от иррациональных функций.............419
§ 12. Интегралы вида ("/?(*, "\faoft + Ьх + с) dx.......... . 421
§ 13. Интегрирование дифференциальных биномов **.........425
§ 14. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью
тригонометрических подстановок *............... 428
§ 15. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций . 431 § 16. Интегрирование некоторых неалгебрайческих функций **.... 435 § 17. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции *....................• • • 436
Упражнения к главе X.....................437
ГЛАВА XI ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы ... 446
§ 2. Определенный интеграл *....................449
§ 3. Основные свойства определенного интеграла...........455
§ 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница..............................460
§ 5. Замена переменной в определенном интеграле..........465
§ 6. Интегрирование по частям...............i . . . 467
§ 7. Несобственные интегралы *...................469
§ 8. Приближенное вычисление определенных интегралов...... . 479
§ 9. Формула Чебышева.......................484
§ 10. Интегралы, зависящие от параметра...............489
Упражнения к главе XI.....................492
ГЛАВА XII
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах....... 496
I. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах . . . 501
3. Длина дуги кривой *...................... 502
4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений . . 509
о. Объем тела вращения...................... 510
Ь. Поверхность тела» вращения.................. . 511
* .с*
7. Вычисление -работы с помощью определенного интеграла ..... 81
8. Координаты центра тяжести....................'•'•$•
Упражнения к главе XII.....................$
ГЛАВА XIII , -.4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Постановка задачи.......................5)
2. Определения....................-......51
3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) . S
4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными . . . 5;
5. Однородные уравнения первого порядка .........'.....•&
6. Уравнения, приводящиеся к однородным............5<
7. Линейные уравнения первого порядка..............S
8. Уравнение Бернулли.....................'. ' 6
9. Уравнение в полных дифференциалах..............5,
10. Интегрирующий множитель.................... .5,
11. Огибающая семейства кривых **..............., ft
12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка . 5
13. Уравнение -Клеро......... . ,............. &
Н. Уравнение Лагранжа...................... 5
15. Ортогональные и изогональные траектории...........&
16. Дифференциальные уравнения высших порядков * (общие понятия) .......i.......... .ч...........^ 3
f!7. Уравнение вида уи») =/(*)................... 5 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка,
приводимых к уравнению первого порядка.........' . . . 5
§ 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения ':'
второго порядка ........................5
§ 20. Линейные однородные уравнения. Определение и общие свойства 5 § 21. Линейные цднородные уравнения -второго порядка с постоянными '
коэффициентами........................ И
§ 22. Линейные однородные уравнения п-го порядка с постоянными
коэффициентами *....................... . 5
§ 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка...... .5
§ 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами....................... 6
25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков......6
26. Дифференциальное уравнение механических колебаний ...... 6
27. Свободные колебания ..................... .6
28. Вынужденные колебания.........«..........6
„ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений .......6
§ 30.. Понятие о теории устойчивости Ляпунова *......... ..'. :• <з
Упражнения к главе XIII.........••............ 6
ГЛАВА XIV \ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Двойной интеграл *..................'..... i
2. Вычисление двойного интеграла ................ . €
3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) *. ...... . . С
4: Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов С
5; Двойной интеграл в полярных координатах • • ~.....• ... I
< | 6.* Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) . . . .' $ § Т. Вычисление площади поверхности . . . . . . .... . . . . . * I
ОГЛАВЛЕНИЕ V.
• .\ ' Ф
Стр
§ 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл ..... §83
л 9. Момент инерции площади плоской фигуры ........... 685
s 10. Координаты центра тяжести площади плоской фигуры ...... 689
S И. Тройной интеграл . *....................... 691
§ 12. Вычисление тройного интеграла ** ............... 69^
s 13. Замена переменных в тройном интеграле............ 697
§ 14. Момент инерции и координаты центра тяжести тела....... 701
§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра *....... 703
Упражнения к главе XIV.................... 704
ГЛАВА XV .
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Криволинейный интеграл ............•...... 711
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла *...........' . . 715
§ 3. Формула Грина......................... 720 -
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования........................... 722
§ 5. Поверхностный интеграл.................... 726
§ 6. Вычисление поверхностного интеграла.............. 728
§ 7. Формула Стокса......................... 731
§ 8. Формула Остроградского.................... 736 t
§ 9. Поверхностные интегралы от скалярных функций (интегралы по
площади поверхности) **................• • • • 739
§ 10. Криволинейные интегралы "от скалярных функций (интегралы по
длине дуги) **........•................ 744
Упражнения к главе XV.................... 746
ГЛАВА XVI РЯДЫ
§ 1. Ряд. Сумма ряда . .•.......•,...............752
§ 2. Необходимый признак сходимости' дяда.............755
§ 3. Сравнение рядов с положительными членйми ..........757
§ 4. Признак Даламбера....................... 759
§ 5. Признак Коши...........• • • • - • •"• '......763
§ 6. Интегральный признак сходимости ряда............. 765
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница..........768
§ 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость . . . 770
§ 9. Функциональные ряды.................• ; • • 774
§ 10. Мажорируемые ряды.................• • • • • 775
§ Н. Непрерывность суммы ряда...................777,-
§ 12. Интегрирование и дифференцирование рядов .......... 780
§ 13. Степенные ряды. Интервал сходимости ... 1.........784
§ 14. Дифференцирование степенных рядов.............. 788
§ 15. Ряды по степеням ж — а ** ..................79ft
§ 16. Ряды Тейлора и Маклорена............'....... 791
8 1/. Примеры разложения функций в ряды . •............ 792
§ 18. Формула Эйлера..........................794-
§ 19. Биномиальный ряд ....................... 795
§ 20. Разложение функции In (1 + х) в степенный ряд. Вычисление
логарифмов...........................797
б 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов . . . . . 794,
i 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов . 80
i 23. Уравнение Бесселя ....................... 80
Упражнения к главе XVI.................... 80
Г Л ABA'XVII РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Определение. Постановка задачи............... . . 81
2. Примеры разложения функций в ряды Фурье.......... 81
3. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье............................. 82
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.......... 82
5. Ряд Фурье для функции с периодом 2/............. 82
6. О разложении в ряд Фурье непериодической функции **.... 82
7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена.................... 83
8. Интеграл Дирихле........................ 83
9. Сходимость ряда Фурье в данной точке............ . 83'
10. Ряд Фурье для дифференцируемой функции *......^... 84
11. Практический гармонический анализ............... 84
«г ..*»»«»•„„ ••• «т.«п'л V\ni " •
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге автор пытался отразить опыт работы по курсу математического анализа во втузе, которую ему пришлось вести в течение ряда лет под руководством члена-корреспондента АН СССР В. В. Голубева, а затем самостоятельно. Содержание книги, в основном, определяется программой курса математики для втузов, рассчитанной на 300—400 часов.
При изложении материала обращалось особое внимание на выяснение основных понятий и приложения математического анализа, а также на логическую стройность в изложении и расположении
материала.
Отмечу особенности в изложении мате
