ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к четвертому изданию..................... 10
Введение.................................... 13
Глава I. Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение к простейшим задачам...................... 1G
§ 1. Прямоугольные координаты точки на плоскости........ 16
§ 2. Преобразование прямоугольной системы координат ....... 18
§ 3. Расстояние между двумя точками на плоскости......... 20
§ 4. Деление отрезка в данном отношении.............. 22
§ 5. Площадь треугольника . . . :.................... 23
Упражнения ............................... 25
Глава II. Уравнение линии........................ 26
§ 1. Множества.............................. 26
§ 2. Метод координат на плоскости.................. 28
§ 3. Линия как множество точек.................... 29
§ 4. Уравнение линии на плоскости.................. 30
§ 5. Построение линии по ее уравне нию ........*....... 33
§ 6. Некоторые элементарные задачи ................. М
§ 7. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости . 36
§ 8. Алгебраические линии....................... 36
Упражнения............................... 37
Глава III. Прямая линия ......................... 38
§ 1. Уравнение прямой ......................... 38
§ 2. Угол между двумя прямыми ................... 41
§ 3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении............................. 43
§ 4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ... 45
§ 5. Уравнение прямой в «отрезках».................. 46
§ 6. Точка пересечения двух прямых................. 46
§ 7. Расстояние точки до прямой ................... 48
Упражнения ............................... 49
Глава IV. Линии второго порядка .................... 51
§ 1. Окружность............................. 51
§ 2. Центральные кривые второго порядка . . -........... 52
§ 3. Фокальные свойства центральных кривых второго порядка . . 55
§ 4. Эллипс как равномерная деформация окружности ....... 57
§ 5. Асимптоты гиперболы....................... 58
§ 6. График обратной пропорциональности.............. 59
§ 7. Нецентральные кривые второго порядка............. 59
§ 8. Фокальное свойство параболы .................. 61
§ 9. График квадратного трехчлена.................. 61
Упражнения ............................... 63
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии . . 65
§ 1. Полярные координаты....................... 65
§ 2. Связь между прямоугольными и полярными координатами . . 66
§ 3. Параметрические уравнения линии................ 67
§ 4. Параметрические уравнения циклоиды.............. 69
Упражнения................................ 70
Глава VI. Функция............................. 71
§ 1. Величины постоянные и переменные............... 71
§ 2. Понятие функции.......................... 71
§ 3. Простейшие функциональные зависимости............ 74
§ 4. Способы задания функции..................... 77
§ 5. Понятие функции от нескольких переменных.......... 81
§ 6. Понятие неявной функции..................... 82
§ 7. Понятие обратной функции .................... 83
§ 8. Классификация функций одного аргумента........... 84
§ 9. Графики основных элементарных функций............ 86
§ 10. Интерполирование функций.................... 94
Упражнения................................ 98
Глава VII. Теория пределов ..................... 100
§ 1. Действительные числа ....................... 100
§ 2. Погрешности приближенных чисел................ 104
§ 3. Предел функции........................... 108
§ 4. Односторонние пределы функции................. 114
§ 5. Предел последовательности.................... 116
§ 6. Бесконечно малые.......................... 117
§ 7. Бесконечно большие ........................ 118
§ 8. Основные-теоремы о бесконечно малых ............. 119
§ 9. Основные теоремы о пределах.................. 121
§ 10. Некоторые признаки существования предела функции .... 125 § 11. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой
дуге................................. 127
§ 12. Число е............................... 128
§ 13. Понятие о натуральных логарифмах............... 132
§ 14. Понятие об асимптотических формулах............. 133
Упражнения................................ 135
Глав а VIII. Непрерывность функции ................... 136
§ 1. Приращения аргумента и функции. Непрерывность функции . . 136
§ 2. Другое определение непрерывности функции .......... 140
§ 3. Непрерывность основных элементарных функций........ 141
§ 4. Основные теоремы о непрерывных функциях .......... 142
§ 5. Раскрытие неопределенностей ................... 144
§ 6. Классификация точек разрыва функции............. 145
Упражнения................................ 146
Глава IX. Производная........................... 147
§ 1. Задача о касательной........................ 147
§ 2. Задача о скорости движения точки................ 149
§ 3. Общее определение производной.................. 150
§ 4. Другие применения производной ................. 154
§ 5. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью
функции ............................... 155
§ 6. Понятие о бесконечной производной ............... 156
Упражнения................................ 156
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава X. Основные теоремы о производных ............... 157
S 1. Вводные замечания ........• • • • • • • •......... j^
§ 2 Производные от некоторых простейших функций........ &/
I з'. Основные правила дифференцирования функций ........ 61
I 4. Производная сложной функции.................. №
I 5. Производная обратной функции.................. Ь»
S 6. Производная неявной функции .................. '<->
5 7. Производная логарифмической функции ............. HI
« 8. Понятие о логарифмической производной ............ н*
§ 9. Производная показательной функции............... п 4
6 10. Производная степенной функции................. но
5 11. Производные обратных тригонометрических функций..... нб
§ 12. Производная функции, заданной параметрически ....... на
§ 13. Сводка формул дифференцирования............... °0
§ 14. Понятие о производных высших порядков........... «U
§ 15. Физическое значение производной второго порядка...... 181
Упражнения................................ '<"
Глава XI. Приложения производной.................... 184
6 1. Теорема о конечном приращении функции и ее следствия ... 184
§ 2. Возрастание и убывание функции одной переменной...... 186
§ 3. Понятие о правиле Лопиталя................... J89
§ 4. Формула Тейлора для многочлена ................ 193
§ 5. Бином Ньютона........................... '91
§ 6. Формула Тейлора для функции.................. 19э
§ 7. Экстремум функции одной переменной.............. 197
§ 8. Вогнутость и выпуклость графика функции. Точки перегиба . . 204
§ 9. Приближенное решение уравнений ................ 207
§ 10. Построение графиков функций.................. 210
Упражнения................................ 213
Глава XII. Дифференциал ......................... 215
§ 1. Понятие о дифференциале функции................ 215
§ 2. Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал
независимой переменной ...................... 218
§ 3. Геометрический смысл дифференциала .............. 219
§ 4. Физическое значение дифференциала............... 220
§ 5. Приближенное вычисление малых приращений функции .... 221
§ 6. Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции 222
§ 7. Свойства дифференциала...................... 225
§ 8. Дифференциалы высших порядков ................ 227
Упражнения................................ 230
Глава XIII. Неопределенный интеграл................... 231
§ 1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл ...... 231
| о' °.сновные свойства неопределенного интеграла ......... 234
I ?' Таблица простейших неопределенных интегралов........ 236
<) 4. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента................................. 237
I «' Р°нятие об основных методах интегрирования ......... 21Э
§ о. Интегрирование рациональных дробэй с квадратичным знаменателем ................................ 245
• s я ;™тегРиРование простейших иррациональностей ........ 243
| Q- Интегрирование тригонометрических функций.......... 250
| , Л Интегрирование некоторых трансцендентных функция ..... 252
Vnn е°Р6Ма Коши. Понятие о «неберущихся» интегралах .... 252
Упражнения....... 253
0 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XIV. Определенный интеграл..................., 255
§ 1. Понятие об определенном интеграле ............... 255
§ 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом . . . '257
§ 3. Геометрический смысл определенного интеграла ........ 258
§ 4. Физический смысл определенного интеграла........... 261
§ 5. Основные свойства определенного интеграла .......... 262
§ 6. Теорема о среднем ......................... 265
§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле..... 267
§ 8. Замена переменной в определенном интеграле ......... 268
§ 9. Определенный интеграл как предел интегральной суммы . . . 270 § 10. Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов.................................. 273
§11. Формула Симпсона.........,............... 275
§ 12. Несобственные интегралы..................... 276
Упражнения............................... . 278
Глава XV. Приложения определенного интеграла............ 280
§ 1. Площадь в прямоугольных координатах............. 280
§ 2. Площадь в полярных координатах................ 284
§ 3. Длина дуги в прямоугольных координатах ........... 285
§ 4. Длина дуги в полярных координатах .............. 290
§ 5. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям . . 292
§ 6. Объем тела вращения........................ 294
§ 7. Работа переменной силы...................... 296
§ 8. Другие физические приложения определенного интеграла . . . 297
Упражнения................................ 299
Глава XVI. Комплексные числа...................... 301
§ 1. Арифметические операции над комплексными числами..... 301
§ 2. Комплексная плоскость....................... 302
§ 3. Теоремы о модуле и аргументе.................. 304
§ 4. Извлечение корня из комплексного числа............ 305
§ 5. Понятие функции комплексной переменной ........... 307
Упражнения................................ 308
Глава XVII. Определители второго и третьего порядков........ 309
§ 1. Определители второго порядка ".................. 309
§ 2. Система двух однородных уравнений с тремя неизвестными . . 311
§ 3. Определители третьего порядка.................. 312
§ 4. Основные свойства определителей................ . 3!4
§ 5. Система трех линейных уравнений................ 317
§ 6. Однородная система трех линейных уравнении......... 319
§ 7. Система линейных уравнений с многими неизвестными. Метод
Гаусса ................................ 321
Упражнения................................ 323
Глава XVIII. Элементы векторной алгебры................ 325
§ 1. Скаляры и векторы......................... 325
§ 2. Сумма векторов........................... 326
§ 3. Разность векторов.......................... 327
§ 4. Умножение вектора на скаляр.................. 328
§ 5. Коллинеарные векторы....................... 328
§ 6. Компланарные векторы....................... 329
§ 7. Проекция вектора на ось...................... 330
§ 8. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве ..... 332
§ 9. Длина и направление вектора................... 334
§ 10. Расстояние между двумя точками пространства........ 335
ОГЛАВЛЕНИЕ '
§ 11. Действия над векторами, заданными в координатней ферме. . 336
§ 12. Скалярное произведение векторов................ 337
§ 13. Скалярное произведение векторов в координатной форме . . . 339
§ 14. Векторное произведение векторов ................ 340
§ 15. Векторное произведение в координатной форме ........ 342
§ 16. Смешанное произведение векторов................ 343
Упражнения................................ 345
Глава XIX. Некоторые сведения из аналитической геометрии «пространстве.................................. 346
§ 1. Уравнения поверхности и линии в пространстве........ 346
§ 2. Общее уравнение плоскости.................... 351
§ 3. Угол между плоскостями...................... 354
§ 4. Уравнения прямой линии в пространстве............ 354
§ 5. Понятие о производной вектор-функции............. 358
§ 6. Уравнение сферы.......................... 359
§ 7. Уравнение эллипсоида....................... 361
§ 8. Уравнение параболоида вращения................ 362
Упражнения................................ 363
Глава XX. Функции нескольких переменных............... 365
§ 1. Понятие функции от нескольких переменных.......... 365
§ 2. Непрерывность............................ 368
§ 3. Частные производные первого порядка.............. 370
§ 4. Полный дифференциал функции................ . 372
§ 5. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям................................ . 378
§ 6. Понятие о производной функции по данному направлению . . 379
§ 7. Градиент............................... 382
§ 8. Частные производные высших порядков............. 385
§ 9. Признак полного дифференциала ................. 386
§ 10. Максимум и минимум функции нескольких переменных . . . 388
§11. Абсолютный экстремум функции................. 390
§ 12. Построение эмпирических формул по способу наименьших
квадратов.............................. 392
Упражнения................................ 395
Глава XXI. Ряды.............................. 397
§ 1. Примеры бесконечных рядов ................... 397
§ 2. Сходимость ряда........................... 393
§ ^Необходимый признак сходимости ряда ............. 402
§ 4* Признак сравнения рядов..................... 404
§ 5*Признак сходимости Даламбера.................. 406
§ Ь»Абсолютная сходимость....................... 410
>*• f а*^Накочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница ... 412
Г*. I ^Степенные РЯДЫ........................... 413
сжД- .J» , • Дифференцирование и интегрирование степенных рядов .... 416
л* « "* Разложение данной функции в степенной ряд....... 416
V | '• Ряд Маклорена . ...................... 418
§ '<;. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды
. некоторых функций ........................ 419
s \л пРименение степенных рядов к приближенным вычислениям . 421
1 \\- Сяд Тейлора..........."................ 424
1 fi 5?ДЫ В комплексной области.................... 426
| °- Формулы Эйлера ...
