Иванов В. А. и др.
Математические основы теории автоматического регулирования. Учеб. пособие для вузов. Под ред. Б. К. Че-моданова. М., Высшая школа. 1971.
На оборот, тит. л. авт.г В. А. Иванов, В. С. Медведев, Б. К. Чемоданов и А. С. Ющенко.
В книге изложен математический аппарат, используемый в теории автоматического регулирования. Приведены необходимые сведения из теории дифференциальных и разностных уравнений, описывающих процессы в автоматических системах. Значительное внимание уделено линейной алгебре и матричному исчислению, основам теории функций комплексного переменного, спектральному анализу, операционному исчислению и теории случайных процессов. Изложение вопросов математики сопровождается рассмотрением основных задач теории автоматического регулирования.
Книга представляет собой учебное пособие для лиц, специализирующихся в области автоматического регулирования и знакомых с математикой в объеме обычного курса технического вуза.
Рис. 222; библиограф. 44.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основой настоящей книги послужил одноименный трехсеместро-вый курс лекций, читавшихся авторами в течение многих лет в Московском высшем техническом училище им. Баумана.
Квалификация современного инженера-специалиста по автоматическому регулированию в значительной степени определяется уровнем его математических знаний. Это объясняется тем, что овладение теорией автоматического регулирования и разработанными на ее основе методами проектирования автоматических систем невозможно без знания довольно сложного математического аппарата. Общий курс математики, изучаемый в высших технических учебных заведениях, не в полной мере удовлетворяет требованиям подготовки инженеров на факультетах и кафедрах, в той или иной степени связанных с проблемами автоматического регулирования. Студенты, усвоившие курс высшей математики в объеме обычной программы втуза, оказываются тем не менее недостаточно математически подготовленными к восприятию теории автоматического регулирования и, как следствие, ряда специальных дисциплин. По этой причине во многих втузах страны в учебные планы наряду с общим курсом высшей, математики введены также и дополнительные главы. В МВТУ дополнительные главы высшей математики изучаются в курсе «Математические основы теории автоматического регулирования». В нем содержится математический аппарат, знание которого необходимо студентам для последующего изучения курса «Теория автоматического регулирования» Этот аппарат изложен в предлагаемой книге.
Выбор материала, составляющего содержание книги, определяется особенностями задач, решаемых в теории автоматического регулирования. Среди этих задач важнейшими следует назвать математическое описание систем автоматического регулирования (САР), являющихся сложными активными динамическими системами с обратными связями*>, а также их анализ и синтез. Математическими
Предисловие
Часть первая
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ j
И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Г л а в а I Матрицы и линейные уравнения
§ 1. Числовые матрицы и действия над ними.............,..... 7:
1. Основные понятия и определения (7). 2. Свойства матриц (10).
§ 2. Определители и их свойства........................ . 13
1. Инверсии и перестановки (13). 2. Определители п-го порядка (14). 3. Свойства определителей (16). 4. Миноры и алгебраические дополнения (19). 5. Вычисление '. некоторых определителей (22). 6. Ранг матрицы. Обратная матрица и ее свойства (25).
§ 3. Понятия о функциональных матрицах.................... 30
1. Функциональные матрицы. Векторная запись дифференциальных уравнений (30).
2. Примеры векторной записи дифференциальных уравнений автоматических систем (34). _
§ 4. Системы линейных уравнений......................... 39
1. Основные понятия и определения (39). 2. Метод Гаусса (40). 3. Система п линейных уравнений с п неизвестными (45). 4. Правило Крамера (46).
Г л ав а II Линейные пространства. Линейные преобразования
§ 5. Линейные пространства............................50
•1. Определение и основные свойства линейного пространства (50). 2. Линейно-независимые векторы. Размерность линейного пространства (51). 3. Базис линейного пространства (53). 4. Подпространство и его свойства. Линейное многообразие (59). ч . -
§ 6. Линейные преобразования линейных пространств ...........• • 60
1. Определение и основные свойства линейного преобразования (60). 2. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования (67). 3. Приведение матриц к диагональному виду (70). 4. Понятие о канонической форме Жордана (77).
SOU , :
Глава III
Евклидовы пространства и квадратичные формы § 7. Евклидовы и унитарные пространства.................• • • 79
I. Определение и свойства унитарного пространства (79). 2. Длина вектора, ортогональность векторов (80). 3. Норма матрицы. Экспоненциальная матрица (84). 4. Неравенство Коши — Буняковского (86). 5. Симметричные и ортогональные преобразования (88). § 8. Квадратичные формы.............................. 92
1. Определение и основные свойства квадратичной формы (92). 2. Канонический вид квадратичной формы (95). 3. Положительно определенные квадратичные формы (98).
. Часть вт.о рая ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава IV Элементы теории дифференциальных уравнений
§ 9. Общие сведения о дифференциальных уравнениях ............100
1. Дифференциальные уравнения. Геометрическая интерпретация решения (100).
2. Нормальная система дифференциальных уравнений (102).
§ 10. Теорема существования и единственности .................105
1. Теорема существования и единственности решения для одного уравнения (105).
2. Теорема существования и единственности решения для нормальной системы уравнений (111). 3. Ломаная Эйлера и е-приближенное решение (113). 4. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров (117).
§ 11. Линейные дифференциальные уравнения..................119
1. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений (119). 2. Общее решение линейной однородной системы (120). 3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля (122). 4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных (125). 5. Формула Коши (128). 6. Линейное уравнение п-го порядка (130). 7. Понижение порядка линейной однородной системы дифференциальных уравнений (135).
§ 12. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 138 1. Нормальная линейная однородная система уравнений с постоянными коэффициентами (13S). 2. Фундаментальная матрица однородной системы (143).' 3. Нормальная линейная неоднородная система уравнений с постоянными коэффициентами (144). 4. Линейное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами (151). 5. Линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (156).
§ 13.'Некоторые методы решения нелинейных дифференциальных уравнений 162 1. Метод последовательных приближений (.162). 2. Метод ломаных Эйлера (164).
3. Решение уравнений с помощью степенных рядов (165). 4. Метод фазовой плоскости (167). 5. Метод гармонической линеаризации (167).
§ 14. Фазовые траектории автономных систем..................167
1. Фазовые пространства автономных систем (167). 2. Фазовые траектории автономных систем второго порядка (172).
Глава V Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования
§ 15. Методика составления дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования.............................187
1. Общие замечания (187). 2. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов систем (187). 3. Операторы элементов систем автоматического
80]
регулирования Передаточные функции (202). 4. Классификация звеньев (204). 5. Составление дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования (207).
§ 16. Процессы в системах автоматического регулирования ........... 21Щ
1. Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (212).
2. Процессы в линейных систе ах (215). 3. Линейные дифференциальные уравне-ния, правая часть которых содержит производные от разрывной функции (222). 4. Импульсная переходная функция (225). 5. Особенности процессов в нелиней-ных системах (230). ч
Гл а в а VI Устойчивость систем автоматического регулирования
§ 17. Понятие устойчивости движения ........ '. .............. 237
1. Устойчивость в смысле Ляпунова (237). 2. Устойчивость тривиального реше- -, ния (239).
§ 18. Устойчивость линейных систем ........................ 240
1. Устойчивость однородной системы (240). 2. Устойчивость неоднородной системы (242). 3. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами (243). 4. Критерий Гурвица (245). § 19. Второй метод Ляпунова ........................... 251
1. Знакоопределенные и знакопостоянные функции (251). 2. Теорема Ляпунова об устойчивости (253). 3. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости (254). 4. Теоремч Ляпунова о неустойчивости (256).
§ 20. Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения .... 257 1. Уравнения первого приближения (257). 2. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению (253). '
§ 21. Исследование устойчивости нелинейных систем автоматического регули-
рования с помощью .второго метода Ляпунова ............... 281
1. Уравнения нелинейных систем. Состояния равновесия (261). 2. Приведение уравнений движения к канонической форме (264). 3. Достаточные условия устойчивости состояния равновесия (266).
Часть третья ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава VII Функции комплексного переменного
§ 22. Комплексные числа и действия над ними ................. 273
1. Комплексные числа; их геометрическая интерпретация (273). 2. Модуль и аргумент комплексного числа (274). 3. Сложение, вычитание, умножение и деление (274). 4. Возведение в степень и извлечение корня (276).
§ '23. Понятие о функции комплексного переменного .............. 279
1. Последовательность комплексных чисел. Бесконечно удаленная точка (279).
2. Множество точек на плоскости (280). 3. Функции комплексного переменного (281).
§ 24. Дифференцирование функций комплексного переменного ......... 285
1. Производная функции комплексного переменного (285). 2. Условия Коши - Ри-мана (286). 3. Гармонические функции- (288). 4. Геометрический смысл аргумента и модуля производной (290).
§ 25. Элементарные функции комплексного переменного ............ "
\. Линейная и дробно-линейная функции (292). 2. Показательная и логарифмическая функции (298). 3. Степенная функция (301). 4. Тригонометрические функции (303).
802
'
Глава VIII Интегрирование функций комплексного переменного
§ 26. Интеграл функции комплексного переменного.............. • 305
1. Понятие об интеграле функции комплексного переменного (305). 2. Интегральная теорема Коши (307).
§ 27. Формула Коши................................311
1. Формула Коши. Теорема о среднем (311). 2, Интегралы, зависящие от параметра (313). 3. Производные высших порядков (314). 4. Теорема Морера (316).
Гл ава IX Функциональные ряды
§ 28. Числовые и функциональные ряды.....................317
I. Числовые комплексные ряды (317V 2. Функциональные ряды (318). 3. Теорема Вейерштрасса (319).
§ 29. Степенные ряды................................320
1. Теорема Коши —Адамара (320). 2. Теорема Абеля (322). 3. Ряды Тейлора (322).
§ 30. Ряды Лорана.........ч........................325
§ 31. Особые точки.................................328
1. Классификация особых точек (328). 2. Разложение в ряд Лорана в окрестности особых точек (329).
Глава X Теория вычетов
§ 32. Теорема о вычетах..............................335
1. Понятие о вычете. Общая формула определения вычета относительно полюса (335). 2. Теорема о вычетах (337). 3. Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов (338).
§ 33. Принцип приращения аргумента.......................348
1. Логарифмический вычет (348). 2. Принцип приращения аргумента (350)
Часть четвертая
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава XI Ряды и интеграл Фурье
§ 34. Ряды Фурье..................................351
1. Гармонический анализ (351). 2. Сходимость ряда Фурье (363). 3. Разложение в интервале (0, л) (370). 4. Функции с периодом Т (372). 5. Комплексная форма ряда
Фурье (375). 6. Понятие о спектрах (377). § 35. Интеграл Фурье................................381
1. Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье (381). 2. Комплексная
форма интеграла Фурье (385).
Глава XII Преобразование Фурье
§ 36. Свойства преобразования Фурье.......................393
1. Прямое и обратное преобразования (393). 2. Спектральные характеристики суммы, производной и интеграла (3%). 3. Спектральная характеристика смещенной функции. Смещение спектральной характеристики. Сжатие и растяжение функции (399). 4. Теорема Парсеваля (402). 5. Умножение спектральных характеристик. Спектральная характеристика произведений двух функций (405).
803
§ 37. Спектральные характеристики некоторых функций............4|
1. Единичная ступенчатая функция. Дельта-функция (409) 2. Гармонические колебания (416).
§ 38. Спектральные характеристики, зависящие от времени..........41
Глава XIII ;
Применение методов спектрального анализа при решении задач теории автоматического регулирования
§ 39. Спектры сигналов в автоматических системах. Частотные характери- .;
стики......................................42
1. Преобразование линейной системой гармонического входного сигнала. Определение процесса регулирования (424). 2. Связь между частотными и временными характеристиками линейной системы (431).
§ 40. Частотные методы исследования устойчивости линейных автоматических систем.....................................43
1. Критерий Михайлова (435). 2. Критерий Найквнста (439).
§ 41. Приближенные исследования периодических режимов в нелинейных авто-
магических системах..............................44
1. Гармоническая линеаризация нелинейностей (444). 2. Определение параметров предельных циклов (453). 3. Устойчивость предельных циклов (456).
Часть пятая
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ' ДЛЯ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава XIV Операционное исчисление
§ 42. Преобразование Лапласа...........................4(
1. Основные понятия (461). Интеграл Лапласа. Аналитичность изображения (462). 3. Формула обращения (463). 4. Связь преобразований Фурье и Лапласа (471).
§ 43' Свойства преобразования Лапласа..................... . 41
1. Линейность преобразования (473). 2. Дифференцирование и интегрирование оригинала (474). 3. Смещение в области оригиналов и в области изображений. Изменение масштаба (477). 4. Умножение в комплексной и действительной областях (481>. 5. Дифференцирование и интегрирование изображений (484). 6. Начальное и предельное значения оригинала (4S7). 7. Вторая независимая переменная (488).
§ 44. Определение оригинала по изображению.....................4J
§ 45. Решение линейных дифференциальных уравнений.............4$
1. Уравнения с постоянными коэффициентами (49S). 2. Уравнения с переменным» , коэффициентами (502).
Глава XV
.....Применение преобразования Лапласа для анализа
непрерывных автоматических систем
§ 46. Передаточные функции и частотные характеристики системы ,......™
§ 47. Определение процесса регулирования ........,...........*>'
Часть шестая
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДИСКРЕТНОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ИССЛЕДОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава XVI
Разностные уравнения и их использование для описания импульсных систем автоматического регулирования
§ 48. Решетчатые функции.............................518
1. Определение решетчатой функции (518). 2. Конечные разности решетчатых функций (519). 3. Суммирование решетчатых функций (523).
§ 49. Разностные уравнения............................526
1. Основные понятия и определения (526). 2. Линейные разностные уравнения. Однородные уравнения (529). 3. Ли-иейные неоднородные разностные уравнения (536). 4. Разностные уравнения с постоянными коэффициентами (543).
§ 50. Системы разностных уравнений.......................546
1. Основные определения (546). 2. Однородные системы линейных разностных уравнений (549). 3. Неоднородные системы линейных разностных уравнений (553).
4. Линейные системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами (557).
§ 51. Уравнения импульсных систем автоматического регулирования.....561
1. Некоторые сведения об импульсных системах (561). 2. Уравнения импульсных систем, содержащие суммы решетчатых функций (564). 3. Уравнения импульсных систем в конечных разностях (576).
Глава XVII Дискретное преобразование Лапласа
§ 52. Определение дискретного преобразования Лапласа и его основные
свойства....................................582
1. Определение дискретного преобразования Лапласа (582). 2. Формула обращения t587). 3. Дискретное преобразование Фурье (590). 4. Дискретный ряд Фурье (591).
§ 53. Свойства дискретного преобразования Лапласа..............594
1. Линейность ^-преобразования (594). 2. Смещение в области оригиналов и в области изображений (595). 3. Изображения конечных разностей и сумм решетчатых функций (597). 4. Умножение изображений и оригиналов (600).
5. Дифференцирование и интегрирование изображений (603). 6. Теоремы о предельных значениях изображений и оригиналов (607). 7. Сумма квадратов значений решетчатых функций (609). __
§ 54. Связь между ^"-преобразованием и преобразованием Лапласа; ^"-преобразование ..................................610
1. Связь между ^-преобразованием и преобразованием Лапласа (610). 2. Прямое ^-преобразование (612). 3. Обратное ^-преобразование (614). 4. Связь между преобразованием Фурье непрерывных и решетчатых функций (615).
§ 65. Свойства .^"-преобразования.........................616
1. Линейность ^'-преобразования (616). 2. Смещение аргументов изображений (617). $. 3. Умножение изображений (618). 4. Дифференцирование изображений по Лап-/1 ласу (622). 5. Начальные значения изображений (622).
156. Применение дискретного преобразования Лапласа для исследования
импульсных систем автоматического регулирования............623
1. Уравнения импульсных систем в области изображений (623). 2. Использование дискретного преобразования Лапласа для решения разностных уравнений (629). 3. Применение дискретного преобразования Лапласа для определения процессов в импульсных системах при типовых воздействиях (633).
Глава XVIII
Устойчивость решений линейных разностных уравнений. Анализ устойчивости импульсных систем автоматического регулирования
§ 57. Устойчивость решений разностных уравнений...............64S
1. Основные теоремы об устойчивости решении систем линейных разностных уравнений (642). 2. Устойчивость систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами (644).
§ 58. Методы исследования устойчивости импульсных систем автоматического
регулирования.................................64|
1. Постановка задачи об исследовании устойчивости импульсных систем (648).
2, Алгебраический критерий устойчивости (648). 3. Исследование устойчивости -1!
с помощью принципа аргумента (651). 4. Критерий Найквиста (652). ';j
1
Частьседьмая •
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
ДЛЯ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ';
Глава XIX Основные сведения из теории вероятностей
§ 59. Событие. Классификация событий. Вероятность события ......... 658
1. Основные понятия (65S). 2. Алгебра событий (660). 3. Вероятность события (663). 4. Следствия из аксиом теории вероятностей (669). 5. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Бейеса (670). 6. Зависимые и независимые события (673). 7. Последовательность независимых испытаний ,(674).
§ 60. Случайные величины............................ . 67J
1. Определения (675). 2. Функция распределения вероятностей (676). 3. Плотность распределения вероятностей (680). 4. Законы распределения некоторых случайных величин (682). 5. Функции случайных величин (687).
§ 61. Векторные (многомерные) случайные величины . .............681
1. Основные определения (689). 2. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей случайного вектора (691). 3. Независимые и зависимые случайные величины. Условные функции распределения (697). 4. Неслучайные функции нескольких случайных аргументов (701).
§ 62. Числовые характеристики (моменты) случайных величин.........70!
1. Основные определения (705). 2. Свойства математического ожидания и дисперсии (708). 3. Моменты многомерных случайных величин (712). 4. Комплексные случайные величины (716).
§ 63. Характеристические функции........................71)
1. Характеристические функции одномерных случайных величин (718). 2. Характеристические функции и числовые характеристики некоторых случайных величин (720). 3. Характеристические функции векторных случайных величин (723). 4. Многомерное нормальное распределение и его числовые характеристики (725).
§ 64. Простейшие предельные теоремы......................72)
1. Неравенство Чебышева (728). 2. Теорема Чебышева (729). 3. Теорема Я. Бер-нулли (731). 4. Виды сходимости случайных последовательностей (731). 5. Теорема Муавра — Лапласа (733).
Глава XX Элементы теории случайных функций
§ 65. Корреляционная теория случайных функций ...............73
1. Понятие случайной функции (735). 2. Основные характеристики случайной функции (736). 3. Комплексные случайные функции (738). 4. Непрерывность случайной функции в среднем квадратическом (742). 5. Линейные операции над случайными функциями (745).
806 »
§ 66. Стационарные случайные функции.....................754
I. Определение стационарных случайных функций (754). 2. Свойства корреля-4 ционной функции стационарной случайной функции. Стационарно связанные
случайные функции (755). 3. Примеры стационарных случайных функций (756). 4. Спектральное представление стационарных случайных функций (760).
§ 67. Эргодические случайные функции......................765
1. Оценка математического ожидания (765). 2. Оценка корреляционной функции (768).
§ .68. Дискретные случайные функции.......................771
1. Основные понятия и определения (771). 2. Линейные операции над дискретными случайными функциями (773). 3. Стационарные дискретные случайные функции (77-1). 4. Эргодическце дискретные случайные функции (780).
§ 69. Примеры применения теории случайных функций для анализа автоматических систем.......-
1. Прохождение случайного сигн
2. Прохождение
3. Г
Пон . _ ___„^ ..кип^гическон линеаризации (791).
Литература...........-